第八章 实数（单元重点综合测试，人教版2024）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（湖南专用）

第八章 实数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列说法： ①实数和数轴上的点是一一对应的； ②无理数是开方开不尽的数； ③负数没有立方根； ④的平方根是，用式子表示是； ⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是， 其中错误的是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（本题3分）已知的三边长分别为a，b，c，且满足，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．三边都不相等的三角形 3．（本题3分）若，则的值是（   ） A．12 B．12或4 C．12或 D．或4 4．（本题3分）已知，，则（ ） A． B． C． D． 5．（本题3分）若与是同一个数的平方根，则m的值是（　　） A． B． C．1 D．或1 6．（本题3分）估计的值在（  ） A．0 到 1之间 B．1 到 2 之间 C．2 到 3 之间 D．3 到 4 之间 7．（本题3分）若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 8．（本题3分）数轴上点A表示的数是2，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是（   ）． A． B． C． D． 9．（本题3分）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（　　　） A． B．± C．3 D．±3 10．（本题3分）一列实数a1，a2，a3，…，an，其中a1=﹣1，a2===，a3=，…，an=，则a1a2a3…a2021的结果为（　　） A．﹣ B． C．673 D．﹣2021 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）的立方根是 ，的平方根是 ，的绝对值是 ． 12．（本题3分）下列各数：，，，0，，，（两个8之间1的个数逐次多1）．其中是无理数的有 个． 13．（本题3分）若，则 ． 14．（本题3分）设的整数部分为，小数部分为，则的平方根是 ． 15．（本题3分）比较大小： 1， （填“”、“”或“”）． 16．（本题3分）实数a、b在数轴上的位置如图，则化简的结果是 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）计算： (1)； (2)． 18．（本题6分）将下列各数填入相应的括号内： 0，，，，，，，，，9，，…（相邻两个3之间依次多一个0），． 有理数：{                                                   }； 无理数：{                                                   }； 正整数：{                                                   }； 负整数：{                                                   }． 19．（本题6分）已知的两个平方根分别是，的算术平方根为2． (1)求的平方根； (2)若的算术平方根是3，求的立方根． 20．（本题8分）已知a，b互为相反数且，c，d互为倒数，m是2的算术平方根，求的值． 21．（本题8分）“*”表示一种新运算，它的意义是，求： (1)； (2)； (3)． 22．（本题9分）实数和在数轴上对应的点如图所示． (1)将，，，按从小到大的顺序排列起来； (2)若实数为8的立方根，求代数式的值． 23．（本题9分）求值： (1)已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是3，是的整数部分，求的算术平方根； (2)已知与互为相反数，求的值； 24．（本题10分）阅读《无理数》课堂实录，解决问题： 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全地写出来，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数字之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下，的小数部分； (2)若为的小数部分，为的小数部分，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的平方根． 25．（本题10分）庆祝元旦期间，王老师出了一道“年份题”：求的算术平方根． 王老师提示可将上述问题一般化为：求 的算术平方根（n为正整数），然后对n进行特殊化： 当时， ； 当时， ； 当时， ； … (1)根据以上规律，请直接写出 的算术平方根； (2)根据以上等式规律，请写出第n（n为正整数）个等式，并验证其正确性； (3)小喆同学将上述问题更一般化为：求的算术平方根，并猜想 ，其中m，n为正整数．你认为这个猜想成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请说明以上猜想成立时，m，n应满足什么关系并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 实数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列说法： ①实数和数轴上的点是一一对应的； ②无理数是开方开不尽的数； ③负数没有立方根； ④的平方根是，用式子表示是； ⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是， 其中错误的是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用实数的分类，无理数定义，立方根及平方根定义判断即可． 【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，正确； ②无理数不一定是开方开不尽的数，例如，错误； ③负数有立方根，错误； ④的平方根是，用式子表示是，错误； ⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是，正确， 综上，错误的共有个． 故选：C． 【点睛】此题考查了实数，相反数，绝对值，平方根及立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键， 2．（本题3分）已知的三边长分别为a，b，c，且满足，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．三边都不相等的三角形 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质，等边三角形的判定，根据非负数的性质求出即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 解得，即， 故是等边三角形，一定是等腰三角形． 故选A． 3．（本题3分）若，则的值是（   ） A．12 B．12或4 C．12或 D．或4 【答案】B 【分析】本题考查了平方根与立方根，求代数式的值，根据平方根与立方根的概念求出a与b的值是解题的关键；由可求得，再代入求值即可． 【详解】解：∴， ∴， 当时，； 当时，； 综上，的值是12或4； 故选：B． 4．（本题3分）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．由得到，即可求解． 【详解】解：，， ， 故选：B． 5．（本题3分）若与是同一个数的平方根，则m的值是（　　） A． B． C．1 D．或1 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根定义，根据与是同一个数的平方根得出或，求出m的值即可． 【详解】解：∵与是同一个数的平方根， ∴或， 解得：或． 故选：D． 6．（本题3分）估计的值在（  ） A．0 到 1之间 B．1 到 2 之间 C．2 到 3 之间 D．3 到 4 之间 【答案】B 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．首先确定的取值范围，再确定的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 即， 故选：B． 7．（本题3分）若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义可得m-n=2，根据立方根的定义可得m-2n+3=3，再解得m、n的值即可求得A与B的值，再求即可． 【详解】解：∵A=是m+n+3的算术平方根， ∴m-n=2， ∵B=是m-2n+3的立方根， ∴m-2n+3=3， ∴     解得 ∴A==3，B= ∴B-A=2-3=-1． 故选B． 【点睛】本题主要考查了算术平方根及立方根，属于基础题，解答本题的关键是熟记算术平方根、立方根概念． 8．（本题3分）数轴上点A表示的数是2，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的大小比较等知识点，熟练掌握数轴及实数的相关知识是解题的关键． 根据题意直接列式计算即可． 【详解】解：由题意可知，点C表示的数是： ， 故选：． 9．（本题3分）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（　　　） A． B．± C．3 D．±3 【答案】B 【分析】将9取平方根，然后判断所得结果不是无理数，然后再将所得结果取平方根，再判断所得结果即可． 【详解】解：∵不是无理数 ∴将3取平方根，得3的平方根为±，都是无理数 ∴最后输出的y值是± 故选B． 【点睛】此题考查的是条件程序图和实数的运算，掌握算术平方根和平方根的定义是解题关键． 10．（本题3分）一列实数a1，a2，a3，…，an，其中a1=﹣1，a2===，a3=，…，an=，则a1a2a3…a2021的结果为（　　） A．﹣ B． C．673 D．﹣2021 【答案】B 【分析】首先根据公式计算出a1、a2、a3、…的值，找到规律可得结论． 【详解】解：当a1=-1， ， ， ， …， 所以每3个数一循环； 2021÷3=673…2， 第2020个数是﹣1， 第2021个数是， （﹣1）××2=﹣1，（﹣1）673=﹣1； （﹣1）×（﹣1）×． 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的运算，通过运算找到规律是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）的立方根是 ，的平方根是 ，的绝对值是 ． 【答案】 / 【分析】此题主要考查了平方根，算术平方根和立方根和绝对值．直接利用立方根以及算术平方根和平方根、绝对值的性质分别分析得出答案． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； 的平方根是； ∵ ∴ ∴ ∴， ∴的绝对值是． 故答案为：，，． 12．（本题3分）下列各数：，，，0，，，（两个8之间1的个数逐次多1）．其中是无理数的有 个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断． 【详解】解：，，，（两个8之间1的个数逐次多1）4个数为无理数， 故答案为：4． 13．（本题3分）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式组，二次根式有意义的条件是：被开方数大于等于零．根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后相加计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且 ， 解得且 ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 14．（本题3分）设的整数部分为，小数部分为，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的估算．由于，所以可求出a，进而求出b，代入计算即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分为，小数部分为， ∴， ∴的平方根是． 故答案为：． 15．（本题3分）比较大小： 1， （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查实数大小比较，无理数的估算，根据，估计取值范围即可；估计和的取值范围，再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，即； ∵，， ∴， 故答案为：，． 16．（本题3分）实数a、b在数轴上的位置如图，则化简的结果是 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简二次根式和计算立方根，根据数轴可得到，则，据此计算立方根和化简二次根式并合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，平方根解方程，掌握实数的混合运算法，平方根的计算方法是解题的关键． （1）先开立方，去绝对值，再根据实数运算法则计算即可； （2）等式两边同时开方得到，由此即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 等式两边同时开方得，， ∴或， 解得，或． 18．（本题6分）将下列各数填入相应的括号内： 0，，，，，，，，，9，，…（相邻两个3之间依次多一个0），． 有理数：{                                                   }； 无理数：{                                                   }； 正整数：{                                                   }； 负整数：{                                                   }． 【答案】0，，，，，，，9，；，，，…（相邻两个3之间依次多一个0）；，，9；， 【分析】本题考查了实数的分类，掌握有理数、无理数的定义与特点是解题的关键．根据有理数、无理数、正整数及负整数的定义挑选即可． 【详解】解：有理数：{ 0，，，，，，，9，， }； 无理数：{，，，…（相邻两个3之间依次多一个0）， }； 正整数：{ ，，9，}； 负整数：{ ，， }． 19．（本题6分）已知的两个平方根分别是，的算术平方根为2． (1)求的平方根； (2)若的算术平方根是3，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根，解题关键是根据平方根和立方根的意义求出字母的值，会熟练求一个数的平方根和立方根． （1）根据平方根和立方根的意义求出字母m，n的值，再求的平方根即可； （2）求出p的值，再求的立方根即可． 【详解】（1）解：∵的两个平方根分别是，的算术平方根为2， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是； （2）解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得：， ∴， ∴的立方根是． 20．（本题8分）已知a，b互为相反数且，c，d互为倒数，m是2的算术平方根，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根定义，算术平方根定义，倒数定义，代数式求值，先根据相反数定义，倒数定义，算术平方根定义得出，，，，然后再代入求值即可． 【详解】解：，互为相反数且， ，， ，互为倒数， ， ， ， 原式． 21．（本题8分）“*”表示一种新运算，它的意义是，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键． （1）由新定义运算法则把，代入到式子中计算即可； （2）由新定义运算法则即是把，代入到式子中计算即可； （3）先利用乘方和二次根式运算化简在由新定义运算法则代入计算即可； 【详解】（1）解：根据新运算可得 ； （2）解：根据新运算可得 ； （3）解：，， 根据新运算可得 ． 22．（本题9分）实数和在数轴上对应的点如图所示． (1)将，，，按从小到大的顺序排列起来； (2)若实数为8的立方根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的比较大小，立方根和算术平方根； （1）根据数轴得到，，然后比较大小即可； （2）先求出的值，然后得到，，，，再化简绝对值和算术平方根，最后合并解题． 【详解】（1）解：由数轴可得，， ，， 将，，，按从小到大的顺序排列起来为． （2）解：实数为8的立方根， ， ． 由（1）可得，，， 原式． 23．（本题9分）求值： (1)已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是3，是的整数部分，求的算术平方根； (2)已知与互为相反数，求的值； 【答案】(1)4； (2)8． 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根、无理数的估算． （1）先根据平方根和立方根的定义得出，，估算出得出，即可得解； （2）由题意可得，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：∵某正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∵的立方根是3， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的整数部分， ∴， ∴， ∴的算术平方根为4； （2）解：∵与互为相反数， ∴， 解得：， ∴． 24．（本题10分）阅读《无理数》课堂实录，解决问题： 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全地写出来，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数字之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下，的小数部分； (2)若为的小数部分，为的小数部分，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能够熟练运用夹逼法是解题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，再求出a、b的值，再代入求解即可； （3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的小数部分为； （2）解：， ，， ，， ； （3）解： ， ∴， ∴， 又∵，其中是整数，且， ∴， ∴， ∴的平方根是． 25．（本题10分）庆祝元旦期间，王老师出了一道“年份题”：求的算术平方根． 王老师提示可将上述问题一般化为：求 的算术平方根（n为正整数），然后对n进行特殊化： 当时， ； 当时， ； 当时， ； … (1)根据以上规律，请直接写出 的算术平方根； (2)根据以上等式规律，请写出第n（n为正整数）个等式，并验证其正确性； (3)小喆同学将上述问题更一般化为：求的算术平方根，并猜想 ，其中m，n为正整数．你认为这个猜想成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请说明以上猜想成立时，m，n应满足什么关系并证明． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)不成立；成立时的条件 【分析】本题考查了等式的探究规律，整式乘法的混合运算，完全平方公式和算术平方根的性质； （1）观察等式得，即可求解； （2）可得猜想：，分别对左边、右边进行运算，即可求解； （3）由，可判断是否成立， 若成立，可得，即可求解； 找出规律是解题的关键． 【详解】（1）解： ∴的算术平方根为； （2）解：由题意得 ， 左边 ， 右边 ， 左边右边， 故原式成立； （3）解：不成立； ， 不成立， 若成立，则有 ， ， ， ，为正整数， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$