精品解析：山东省德州市高中五校2024-2025学年高二上学期1月联考数学试题

德州市高中五校联考2024—2025学年上学期 高二数学试题 （2025年1月） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷的答案涂在答题卡相应位置上，第II卷答案直接写在答题卡上.考试结束后，只交答题卡. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 在的展开式中，的系数是（ ） A. 40 B. 64 C. 20 D. 3. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ） A. B. C. D. 4. 为参加校园文化节，某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人．若每人只参加1个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同推荐方案的种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 5. 生态环境部2024年7月21日发布了《全国碳市场发展报告（2024）》，系统总结了全国碳排放权交易市场和全国温室气体自愿减排交易市场的最新建设进展，全方位展示了市场建设运行工作成效．为了解某地碳市场建设情况，相关部门对当地1000家企业的碳排放情况进行了综合评估，得到各企业的综合得分近似服从正态分布，则得分在区间内的企业大约有（参考数据：若，则，）（ ） A. 108家 B. 116家 C. 124家 D. 136家 6. 已知点，动点满足，设点的轨迹为曲线，直线与交于两点，则弦长（ ） A. B. C. D. 4 7. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量X服从两点分布，也称分布，且，则 B. 若随机变量X满足，则 C. 若随机变量，则 D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，若，则此人最有可能7次击中目标 10. 一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件发生的概率为 B. 事件与事件不互斥 C. 事件与事件相互独立 D. 事件发生的概率为 11. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若点到直线的距离相等，则a的值为1或. B. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则 C. 若圆与圆有公共点，则实数的取值范围为 D. 点关于直线的对称点的坐标为 第II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若随机变量X服从标准正态分布，则______． 13. 在平行六面体中，若，则__________. 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，直线与双曲线的一个交点为点，与双曲线的一条渐近线交于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知在的展开式中满足，且常数项为，求： （1）的值； （2）展开式中的系数； （3）含的整数次幂的项共有多少项. 16. 某地举行“庆元旦”抽奖活动，奖池中只有“幸运奖”和“安慰奖”两种奖项，已知每次抽奖抽中“幸运奖”得奖金30元，抽中“安慰奖”得奖金10元，累计奖金不少于50元时，停止抽奖，设甲每次抽中“幸运奖”的概率为，抽中“安慰奖”的概率为，且每次抽奖结果相互独立． （1）记甲抽奖2次所得的累计奖金为X，求X的分布列和数学期望； （2）求甲恰好抽奖3次后停止抽奖的概率． 17. 为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，提高市民“反诈”意识，某市进行了一次网络“反诈”知识竞赛，共有10000名市民参与了知识竞赛，现从参加知识竞赛的市民中随机地抽取100人，得分统计如下： 成绩（分） 频数 6 12 18 34 16 8 6 （1）现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，求这两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率； （2）若该市所有参赛市民的成绩近似服从正态分布，试估计参赛市民中成绩超过79分的市民数（结果四舍五入到整数）； （3）为了进一步增强市民“反诈”意识，得分不低于80分的市民可继续参与第二轮答题赠话费活动，规则如下： ①参加答题的市民的初始分都设置为100分； ②参加答题的市民可在答题前自己决定答题数量，每一题都需要用一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第k题时所需的分数为； ③每答对一题得2分，答错得0分； ④答完题后参加答题市民的最终分数即为获得的话费数（单位：元）． 已知市民甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量为多少时，他获得的平均话费最多？ 参考数据：若，则，， 18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，平面平面. （1）求证：平面平面； （2）点是棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于不同于的两点. （1）求的方程； （2）若，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网列组卷网 德州市高中五校联考2024一2025学年上学期 高二数学试题 (2025年1月) 本试卷分第I卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分，第I卷的答案涂在答题卡相应位 置上，第IⅡ卷答案直接写在答题卡上考试结束后，只交答题卡. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置、 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上 无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.若C=Cg,则C+C+C++C的值为《） A45 855 c120 165 D. 【答案】D 【解析】 第1页/共26页 命学科网 命组卷网 【分折1利用组合数的性质求出m的值，再利用组合数的性质可求得C+C+C+…+C:的值 【详解】因为C公=C罗，则m+m+2=2,解得m=10, 故C+C+C好++C%=C+C写+Cg+…+C%=C+C++C% =C+C+…+C。=…=C30+C2。=Ci,=165 故选：D. 2)5 2.在x- x2 的展开式中，x1的系数是() A.40 B.64 C.20 D -40 【答案】A 【解析】 【分析】求出通项公式，再令的幂次等于1，从而求出'的值，最后得到的系数 2 【详解】根据二项式定理， 展开式的通项公式为： Ta-CY-C-C-C 令5-3r=-1,则3r=6,解得r=2. 当7=2时，x的系数为C(-2) 5！5×4 根据组合数公式，可得C25-2》2X1 =10 所以的系数为10×(-2)=10×4=40 故选：A 3.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有5的学生每天玩手机超过，这些人近 第2页/共26页 6学科网命组卷网 3 视率约为2，其余学生的近视率约为8，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是() 1 7 ny 7 A.5 B.16 C.5 D.8 【答案】C 【解析】 【分析】根据近视情况分为超过h和低于h两种可能，利用全概率公式计算可得. 必 【详解】某学校学生中，大约有5的学生每天玩手机超过1h,则有5的学生每天玩手机不超过1h, J 超过1h近视率约为2，不超过1h近视率约为8， 11,4、34_2 所以从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是5258105. 故选：C 4.为参加校园文化节，某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人， 舞蹈2人，演唱2人.若每人只参加1个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同推荐方案的 种数为() A.12 B.24 C.36 D.48 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知不同的推荐方案的种数分为以下两种： 一种方案是：有两名女生参加舞蹈与演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加另一个，再从2名男生中选 一名参加另一个项目，剩下的男生参加乐器项目 另一种方案是：有两名女生分别参加舞蹈、演唱项目中的一个，两名男生也分别参加舞蹈、演唱项目中的 一个，剩下的一名女生参加乐器项目 再利用排列组合的有关知识即可得出. 【详解】由题意可知不同的推荐方案的种数分为以下两种： 一种方案是：有两名女生参加舞蹈与演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加另一个，再从2名男生中选 第3页/共26页 6学科网命组卷网 一名参加另一个项日，剩下的另生参加乐器项日，共有cciqcq=2×3x1×2x1=12种，即12种， 另一种方案是：有两名女生分别参加舞蹈、演唱项目中的一个，两名男生也分别参加舞蹈、演唱项目中的 一个，剩下的一名女生参加乐器项日，共有ccqq=3x2x2x1x1=12 ，即12种。 综上可知：满足条件的不同的推荐方案的种数=12+12=24. 故选：B. 5.生态环境部2024年7月21日发布了《全国碳市场发展报告(2024)》，系统总结了全国碳排放权交易 市场和全国温室气体自愿减排交易市场的最新建设进展，全方位展示了市场建设运行工作成效.为了解某 地碳市场建设情况，相关部门对当地1000家企业的碳排放情况进行了综合评估，得到各企业的综合得分 X近似服从正态分布V(51,256),则得分在区间[67,83]内的企业大约有（参考数据：若X一V(4,o) 则P(M-o≤X≤+o)≈0.6827.P(H-2G≤X≤u+2o)≈0.9545 () A.108家 B.116家 C.124家 D.136家 【答案】D 【解析】 【分析】由所给条件得出“和·的值，依据正态分布的对称性可得出得分在区 [67,83]内的概率，从而 求出结果 【详解】血腿行“=51,0=16，测 P(67≤X≤83)=P(51≤X≤51+2×16)-P(51≤X≤51+16) =[P(u-2a≤X≤u+2o）-P(u-o≤X≤u+o]×(09545-06827)=0.1359 故得分在区间[67,83]内的企业大约有1000×0.1359≈136家。 故选：D 第4页/共26页 6学科网6组卷网 。2知点4(3,0，B3,0,动点p满足P82,设p点的轨迹为曲线r,直线1：x-y-1=0与T 交于C,D两点，则弦长|CD=() A.2V2 B.4V2 a v2 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】设P(,),根据题意可得曲线「是以(5,0)为圆心，半径r=4,结合垂径定理求弦长即可 【详解】设P(G) Vx+3+ 2则x-或+ =2 因为PB ,整理可得(x-5)}2+y2=16 可知曲线「是以5,0)为圆心，半径r=4, 则圆心(5,0)到直线1：x-y-1=0的距离d=P0-=2√2 √2 所以弦长|CD=2VP2-d2=4V2 故选：B 7.如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，△APC为等腰直角三角形，PA=PC,平面 PAC⊥ABC,DAB AC,PD 平面 为的中点，则异面直线与 所成角的余弦值为() 第5页/共26页 6学科网可组卷网 B 5 -√2 A. B. 4 C.4 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由面面垂直的性质定理结合题意可证得OA,OB,OP两两垂直，以O为坐标原点， OA OB OP 的方向分别为，’，2轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别表示出4C,PD ,再由异面直线 所成角的向量公式代入即可得出答案 【详解】取AC的中点O,连接OP,OB，,因为PA=PC,所以AC⊥OP. 又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,OPC平面PAC, 所以OP⊥平面ABC.又AB=BC,所以AC⊥OB, 可得OA,OB,OP两两垂直，所以以O为坐标原点， OA,0B,0P的方向分别为，y,2轴的正方向， 建立空间直角坐标系，不妨设P4=4,则A(22,00),C(-2V20,0),D(V2,V6,0)】 P0,0,22),所以AC=(4W2,00PD=(26,-22), 所以cos AC,PD= ACPD。-8V2 ACPD42×4 4, 第6页/共26页 6学科网命组卷网 汉是面直线所成角的取值范围克入 2 所以异面直线AC与PD所成角的余弦值为4· ZA D 故选：C. 32 5 8.已知甲、乙去北京旅游的概率分别为4,3，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为6，且甲 是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为() 4 3 2 A.7 B.5 C.3 D.2 【答案】D 【解析】 P(AB)= > 【分析】根据两个事件的和事件的概率公式求出 12,利用全概率公式得 P回-，再利 用条件概率求解即可 【详解】记事件A:甲去北京旅游，事件B:乙去北京旅游， 0-Pr@.U8-8 则 6, 因为PAUB=PA)+PB)-PAB),即64+5PAB ，解得 P(4B)=7 12, 第7页/共26页 命学科网命组卷网 0=+P回.子品P叫国，eP回 因为N园-号，所P(回=1-风8专 所以P(AB) P(AB_6-1 P(B)12 3 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.下列选项正确的是() A.若随机变量X服从两点分布，也称0-1分布，且 D(X)= B若随机变量x满足P(X=k)=C,k=0,,2，则E(X)= C若随机变是X~N(4o)P(X≤4)=P(X≥0)，则u=2 D.某人在10次射击中，击中目标的次数为乙，若乙~B(10,0.7),则此人最有可能7次击中目标 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两点分布的特征，直接求方差，判断A错；根据离散型随机变量期望的概念，直接计算，可 判断B正确：根据正态分布的对称性，可判断C正确；根据二项分布的概率公式，构造不等式组 P(Z=k)≥P(Z=k+1) P(Z=k)≥P(亿=k-),由此解得6的范围，从而可得概率最大时，的取值，判断D正确 【保1石随安果秋西在分布，且()-片.则P(X=小-，P(X=0)=1} 第8页/共26页 6学科网命组卷网 则0-对-数A 若随变量x清足P(X=)-CC,太=012 C2 ()-0xCCC2x 十 C2 C2 、C2 15153,故B正确： 若随机变量X-N(么o),P(X≤4)=P(X≥0)，则u-4号0-2，放C正确： 2 某人在10次射击中，击中目标的次数为乙，若Z~B(10,0.7)】 则P(Z=)=C%×0.7*×0.30-(k=01,23,45,67,89,10) ∫P(Z=k)≥P(Z=k+1)∫C6x0.7*×0.310-≥C8x0.7+×0.39-k 由P(Z=k)≥P(Z=k-)得{C6x0.7*×0.30-≥C×0.71x0.31-, Ax0.3≥A%x0,7 A 3≥10-2x7 (k+1) 即1 A城×0.7 A 站x03 (10-k+×7≥3 解得 A 6.7≤k≤7.7 所以k=7,即P(Z=7)最大，此人最有可能7次击中目标，故D正确： 故选：BCD 10.一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1,2,3,4，抛掷该正四面体两次，记事件M为 “第一次向下的数字为1或2”，事件N为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是() A.事件M发生的概率为2 B.事件M与事件N不互斥 C.事件M与事件N相互独立 第9页/共26页 6学科网列组卷网 D.事件M+N发生的概率为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式判断A,根据互斥事件、相互独立事件的定义判断B、C,根据 P(M+N)=P(M)+P(N)-P(MN)判断D. 2-1 【详1白5可利P(M)-子2，板A正确 当两次抛痴的点数为（L,4)时，事件M与事件N同时发生，所以事件M与事件N不互斥，故B正确： 事件M与事件N同时发生的情况有，2，4)(2,1).(2,3)共4种。 所PN)E6手之PN。2.所P(MN)PM)P四敌事件与件N相明 独立，故C正确： Pw+=Pw)-ww)号，教D误 故选：ABC 11.以下四个命题表述正确的是() A若点4(4,3)，B(3,5)到直线1：2x+y+1=0的距离相等，则a的值为1或-2 B.设0为坐标原点，直线y=-V3(x-)过抛物线C:少=2px(p>0)的焦点，且与C交于M,N两点， 则WM=16v5 3 C.若圆(-a'+少=1(a≥0)与圆x2+0-2}2=25有公共点，则实数a的取值范围为[25,4V2] D.点P(4,5)关于直线y=3x+3的对称点的坐标为（-2,7) 第10页/共26页 命学科网命组卷网 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，根据点到直线距离公式，构造方程计算即可；对于B选项，先求得抛物线方程为 广=4，再结合韦达定理和抛物线定义计算即可；对于C选项，求出圆心距，进而由位置关系构造不等 式计算即可：对于D选项，设点P(4,5)关于直线'=3x+3的对称点为Q(,%）,运用中点及直线垂直 性质计算即可 【详解】对于A选项，根据点到直线距离公式，对于点 44,3)到直线 1:2x+ay+1=0 的距离 4=12×4+3a+1川 ,=12×3+5a+1则 V4+a2,点B(3,5)到直线1的距离 V4+a2 |2×4+3a+1_2×3+5a+1 因为d1=d2,即V4+a2 V4+a2 ,也就是9+3a曰7+5a: 当9+3a=7+50时，解得a=1,当9+3a=-(7+5 ；当 时，解得a=-2 所以A选项正确 2,0) 对于B选项，对于抛物线y2=2p(p>0),其焦点坐标为 , 直线y=-√3(x-1)过焦点2 ,将焦点坐标代入直线方程可得 =-V3(2-1 2 ,解得P=2,则抛物 线方程为=4x y=-V3(x-1) 联立直线与抛物线方程户=4r，将y=-V5(x-)代入y2=4x得3x2-10x+3=0 10 设M(x,),N(x,y),根据韦达定理 X+=3 第11页/共26页 6学科网6组卷网 0*21 16 MN=x+x2+p= 由抛物线弦长公式 3 3,所以B选项错误 对于C选项，两圆的圆心分别为 C(a,0)C2(0,2) 半径分别为=1,5=5 两圆有公共点，则-5SCC2K5+2 1CC2上Va2+4.4≤Va2+4≤6 对于4≤V0+4,解得a≥2W5或a≤-2V5(因为a≥0，合去a≤-2W5) 对于Va2+4≤6，解得4W2≤a≤4V2 综合得25≤a≤4W5,所以C选项正确 对于D选项，设点P(4,5)关于直线y=3x+3 对称点为 e(xo,o) 4+x25+0) 则PQ中点2,2在直线y=3x+3上，且k阳×3=-1， 6-5x3=-10 由kg×3=-1得x。-4 5+y0=3 又2 4+0+3@ 2 联立0②求解，由0得=-3%+19 将6=-3+19. 代入②解得儿=7 将% 7代入=-3%+19相=-2所以D选项正确 故选：ACD, 第Ⅱ卷 第12页/供26页 6学科网 命组卷网 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若随机变量X服从标准正态分布N(0,1),则P(X<0)= 【答案】2#0.5 【解析】 【详解】因为随机变量X服从标准正态分布 (0,l）,即4=0， 所以P(X<0)=2 故答案为：2. 13.在平行六面体ABCD-AB,CD中，若AC=xAB+2yBC+3zCC,则x+y+z= 7 【答案】6 【解析】 【分析】把AC用AB、BC和CC来表示出来，与题中给的式子比较系数就可以算出+y+?的值. 【详解】如下图所示，有.AC=AB+BC+CC_AB+BC-CC A 第13页供26页 6学科网命组卷网 x=1 1 又因为 ,所以 x=1 解得 y= 2 2y=1 AC=xAB+2yBC+3zCC 3z=-1 3 > 所以x+y+z=6 【点睛】本题是空间几何与空间向量结合的题目，要注意把其中关系找出来. x2 y2 14已知双曲线C京=1(a>0,b>0) C: 的左、右焦点分别为F,F2,直线x-C=0与双曲线C的一个 交点为点P,与双曲线C的一条渐近线交于点Q,O为坐标原点，若 0P=oF2+00 3 则双曲线C的 离心率为 【55 【解析】 0=10F2+200】 .2 【分析】根 53 3 - 得到 2且F,P,Q三点共线，从而求出P,O的纵坐标， b2 求出EP=，F,g= a’ a，列出方程，求出3b=2c,进而求出离心率. 【详解】如图，因为 m-0:+号0.u0n-0f:-0f,+o0-am,F-F0 3 b2 b 所以，卫，0三点共线，将x=c代入双曲线中，n=一a,双曲线海近线为y=一。，把x=C代入 第14页/共26页 6学科网 命组卷网 渐近线中，。=、c ℃EP=6F@=故=26c」 a,故a3a,解得：3b=2c,因为c2=a2+b2, 解得：a5 F2 3V5 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ar? 10 1 45 15.已知在 2 的展开式中满足。>0：且常数项为4，求： (1)a的值： (2)展开式中 的系数： (3)含x的整数次幂的项共有多少项 【答案】(1)a=1 105 (2)32 第15页/共26页 6学科网列组卷网 (3)共有6项 【解析】 【分析】根据二项展开式结合宿数项先求出“的值，然后再利用二项展开式的通项求”的系数和”的整 数次幂的项。 【小问1详解】 10-k 由己知得二项展开式的通项=(~1)号 因为资数项，20-。=0，解符仁8此时方C%二巧a4乃 45 a 21 44,结合a>0可解得a=1 【小问2详解】 .20--10,-4 10-k 由(1)知T41=(-1)* 1)6 所以1o的系数为2 【小问3详解】 20-56 要 2为整数，只需k为偶数，由于0≤k≤10，k∈N,故k=0,2,4,6,8,10, 因此含人的整数次幂的项共有6项，分别为展开式的第 ,3,5,7,9,11 项 16.某地举行“庆元旦”抽奖活动，奖池中只有“幸运奖”和“安慰奖”两种奖项，己知每次抽奖抽中“幸运奖”得 奖金30元，抽中“安慰奖”得奖金10元，累计奖金不少于50元时，停止抽奖，设甲每次抽中“幸运奖”的概 1 2 率为3，抽中“安慰奖”的概率为3，且每次抽奖结果相互独立. (1)记甲抽奖2次所得的累计奖金为X,求X的分布列和数学期望： (2)求甲恰好抽奖3次后停止抽奖的概率。 【答案】(1)X的分布列为 第16页/共26页 6学科网组卷网 X 20 40 60 4 4 1 P 9 9 9 100 16 3 (2)27. 【解析】 【分析】(1)求出X的可能取值，并求出对应的概率，写出分布列，利用数学期望的定义计算即可. (2)甲恰好抽奖3次后停止抽奖的情况有两种：①甲抽中“幸运奖”1次，抽中“安慰奖”2次，②甲抽中“幸 运奖”2次，抽中“安慰奖1次，且第3次抽中“幸运奖，利用独立事件概率的乘法公式和互斥事件的加法公 式求解即可 【小问1详解】 20,40,60 的所有可能取值为 2.24 1.11 P(X=20)=二×二 且 3391 ePX=40=C3×3=。PX=60=x 339, 所以X的分布列为 X 20 40 60 × 4 1 9 9 9 E(X)=20x +40x+60×g. 1100 9 【小问2详解】 设“甲恰好抽奖3次后停止抽奖”为事件A, 甲恰好抽奖3次后停止抽奖，则甲累计奖金为50元或70元. ①若甲累计奖金为50元，则甲抽中“幸运奖1次，抽中“安慰奖”2次， )2 其概率为C 14 39 ②若甲累计奖金为70元，则甲抽中“幸运奖2次，抽中“安慰奖”1次，且第3次抽中“幸运奖”， 第17页/共26页 6学科网 命组卷网 1214 其概率为 g3327 一×一X一 4.416 所 P0=g+27-27 17.为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，提高市民“反诈”意识，某市进行了一次网络“反诈知识竞赛， 共有10000名市民参与了知识竞赛，现从参加知识竞赛的市民中随机地抽取100人，得分统计如下： [30,40 「40,50) [50,60) [60,70) [70,80) 80,90 90,100 成绩（分） 频数 6 12 18 34 16 8 (1)现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，求这两名市民中恰有一名市民得分不低于0分的概率； (2)若该市所有参赛市民的成绩X近似服从正态分布N(64,15）, 试估计参赛市民中成绩超过79分的 市民数（结果四舍五入到整数）： (3)为了进一步增强市民“反诈”意识，得分不低于80分的市民可继续参与第二轮答题赠话费活动，规则 如下： ①参加答题的市民的初始分都设置为100分： ②参加答题的市民可在答题前自己决定答题数量mm≤20，n∈N) 每一题都需要用一定分数来获取答题 .1k(k=1,2,…,n) 资格（即用分数来买答题资格），规定答第k题时所需的分数为 ③每答对一题得2分，答错得0分： ④答完题后参加答题市民的最终分数即为获得的话费数（单位：元）· 已知市民甲答对每道题的概率均为0.6，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量n为多少时，他 获得的平均话费最多？ 参考数据：若Z~N4,o),则Pu-o≤Z≤u+o)≈0.6827，Pu-o≤Z≤u+2o)≈0.9545 P(u-3o≤Z≤u+3o)≈0.9973 第18页/供26页 6学科网 命组卷网 14 【答案】(1)33 (2)1587 (3)n=11或n=12 【解析】 【分析】(1)由表可知，现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，基本事件总数为 ,这两名市 民中恰有一名市民得分不低于70分包含的基本事件的个数为 利用古典概型公式即可得解. (2)根据正态分布区间概率公式求解即可， (3)以随机变量5表示甲答对的题数，则5-B(m,0.6)且E()=0.6”,记甲答完n题所加的分数为随 机变量X,则X=25,所以E(X)=2E()=1.2n,列出甲答完u慰后的最终得分为() 即可得出 结果 【小问1详解】 从该样本中随机抽取两名市民的克赛成绩。基本事件总数为C。,设“抽取的两名市民中恰有一名市民得 分不低于0分”为事件A,则事件A包含的基本事件的个数为CC,因为每个基本事件出现的可能性都 相等，所以P(A)= CC30-14 C033, 14 即抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率为33； 【小问2详解】 因为4+6=79，所 P(X>79)≈1-0.6827 2 =0.15865 故参赛市民中成绩超过79分的市民数约为0.15865×10000≈1587： 第19页/共26页 6学科网列组卷网 【小问3详解】 以随机变量表示甲答对的题数， 则5-B(m,0.6且E(5)=0.6n 记甲答完n题所加的分数为随机变量X, 则X=25,所以E(X)=2E(5)=12n 依题意为了获取答n道题的资格， 甲需要的分数为：0.1×(1+2+3++n)=0.05(n2+列) 设甲答完”题后的最终得分为f(”）, 则f(n）=100-0.05(n2+n）+1.2n =-0.05m2+23 3+100=-m-23}+8529 20 20N 80 由于n∈N,所以当n=11或n=12时，f(n取最大值 即当他的答题数量为n=11或n=2时，他获得的平均话费最多. 【点睛】本题考查古典概型、正态分布的性质、二项分布的性质及数学期望的实际应用，考查学生对数据 的分析与处理能力： 18如图，在四棱锥P-ABCD中，底面4BCD是平行四边形，且BC=2√2，AB=2,∠ABC=45°， 平面PABL平面 ABCD,PA=PB=BC 第20页/共26页 6学科网组卷网 0 A D B (1)求证：平面PAB⊥平面PAC: (2)点P是楼P℃上靠近点P的三等分点，求直线D与平面 PC BDO 所成角的正弦值： (3)求点C到平 BDO 的距离。 【答案】(1) 在△ABC中， BC=V2AB,∠ABC=45° 由余弦定理，得1C2=AB+BC2-2AB-BC-c0s45=AB2 所以AC+AB=BC,即AB LAC 因为平 PHB上平面MBCD.平 PAB∩ABCD=AB,AB⊥AC,ACC ABCD ，平面 平面 平面 所以AC⊥平面PAB 又ACC平面PAC,所以平面PAB⊥平面PAC. √0 (2)10 2w5 (3)5 【解析】 【分析】(1)根据余弦定理及勾股定理结合题设易得AB⊥AC,由平面PAB∩平面ABCD=AB可得 第21页/供26页 6学科网列组卷网 AC⊥ PAB 平面 ,进而结合面面垂直的判定定理即可求证； AB,BC O,E OP,OE OB,OE,OP (2)设 的中点分别为 ，连接 ,分析易得 两两互相垂直，进而建立空间 直角坐标系，利用空间向量求解即可： (3)直接利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设BBC O,E OP,OE 中点分别为 ，连接 为AB PA=PB,O 因为 的中点，所以P0LAB 又平面PAB上平面ABCD ,平面P1Bn平面1BCD=1B,POC平面PMB 所以PO⊥平面ABCD, 又OEC平面ABCD,所以PO⊥OE O,E AB,BC 因为分别为 的中点，所以OE∥AC 又BL4C,所以OE LAB,即OB,OE,OP 两两互相垂直， 以0为坐标原点， OB,OE,OP 所在直线分别为轴，'轴，2轴建立如图所示的空间直角坐标系， 8-24010080.c-120.1320PQaQ5号Y 则BD=(-4,2,0),B0= 4227 333 设m=(x,水，2列是平面BD0的一个法向量， 第22页/供26页 6学科网 组卷网 [-4x+2y=0 m·BD=0 则 ,即_4x+22 m.B0=0 厂3x+3y+ 3 320, 令x=1,则m=(12,0) 设直线AD与平面BD所成角为0，又AD=(-2,20), 则sin=cosD,m AD·m 2 10 AD·m列 2W2×V510, √10 所以直线AD与平面BDQ所成角的正弦值为10· ZA D 【小问3详解】 由(2)知，平面BD0的一个法向量为m=(（1,2,0),BC=(-22,0) 由点到平面的距离公式得：C到平面BD 的距离d= BC.m 225 |m55 25 所以C到平面BDQ的距离为5· 如国C号+发Q>b>0的离心李为2，点A0,在C上，直线5C交于不同F M,N 两点 (1)求C的方程： 第23页/共26页 命学科网命组卷网 (2)若W.孤=0，求MMN 面积的最大值， x 【答案】(1)4+=1 64 (2)25 【解析】 a,b,c 【分析】(1)根据题中条件，列出方程组，求出 ,即可得出椭圆方程： (2)由题意先得直线1的斜率存在，设直线：y=+m(m≠)，M(,),V(,）, 联立直线与椭 3 m=- 圆方程，结合韦达定理，以及题中条件，得5’再表示出三角形的面积，构造函数，求出最值即可 【小问1详解】 b=1 a=2 由题意可知： e= a 2，解得b=1, a2=b2+c2 (c=5 所以椭圆C的方程为4 +y2=1 【小问2详解】 若4M.N=0 可知直线的斜率存在， 设直线：y=+m(m≠1)，M(G,y),N(,乃) y=kx+m 联方程年+y=1:第去，可（6-0小++n-4=0:对 第24页/供26页 命学科网命组卷网 △=64km2-4(4k2+1(4m2-4)>0,整理可得m2<42+1, 8km _4m2-4 可得+=4+=4状+ 因为4(0,1，则4W=(,片-)，4A=(3,-) 由.=0，可得+(y-仍-)=0，则+(a+m-1,+m-)=0 整理可得(k2+小6+k(m-10(:+x)+(m-1=0 k2+1(4m2-4）8kmm-+(m-y=0,且m+1则m-1≠0 则 4k2+1 4k2+1 4阳++@-)=0，得四=子 可得 4k2+14k2+1 且满足2<42+，可知直线：y=x-过定京 则△AMN面积 w)- 8km24(4m2-4）_16V4k2+1-m_32V25k2+4 4k2+1 4k2+1 5(4k2+1）254k2+1, 令1e2s2+42.则-54 25 w32 t -=321=32 25，t2-4 可得 4× 4+14+94+9 25 第25页/供26页 命学科网命组卷网 tt2 所以0在B,+o)内单调送清.测f02f2)- 2 64 所以当t=2,k=0时，△AMN面积取到最大值25 【点睛】思路点睛： 求解椭圆中三角形面积问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式、三角形面积公 式等表示出三角形面积，再进行求解即可·有时也需要将三角形分割成小三角形，由小三角形的面积和表示 出大三角形面积 第26页/共26页