精品解析：山东省德州市高中五校2024-2025学年高二上学期1月联考数学试题

德州市高中五校联考2024—2025学年上学期 高二数学试题 （2025年1月） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷的答案涂在答题卡相应位置上，第II卷答案直接写在答题卡上.考试结束后，只交答题卡. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 在展开式中，的系数是（ ） A 40 B. 64 C. 20 D. 3. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ） A. B. C. D. 4. 为参加校园文化节，某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人．若每人只参加1个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同推荐方案的种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 5. 生态环境部2024年7月21日发布了《全国碳市场发展报告（2024）》，系统总结了全国碳排放权交易市场和全国温室气体自愿减排交易市场的最新建设进展，全方位展示了市场建设运行工作成效．为了解某地碳市场建设情况，相关部门对当地1000家企业的碳排放情况进行了综合评估，得到各企业的综合得分近似服从正态分布，则得分在区间内的企业大约有（参考数据：若，则，）（ ） A. 108家 B. 116家 C. 124家 D. 136家 6. 已知点，动点满足，设点的轨迹为曲线，直线与交于两点，则弦长（ ） A. B. C. D. 4 7. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列选项正确是（ ） A. 若随机变量X服从两点分布，也称分布，且，则 B. 若随机变量X满足，则 C. 若随机变量，则 D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，若，则此人最有可能7次击中目标 10. 一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件发生的概率为 B. 事件与事件不互斥 C. 事件与事件相互独立 D. 事件发生的概率为 11. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若点到直线的距离相等，则a的值为1或. B. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则 C. 若圆与圆有公共点，则实数取值范围为 D. 点关于直线的对称点的坐标为 第II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若随机变量X服从标准正态分布，则______． 13. 在平行六面体中，若，则__________. 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，直线与双曲线的一个交点为点，与双曲线的一条渐近线交于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知在的展开式中满足，且常数项为，求： （1）的值； （2）展开式中的系数； （3）含的整数次幂的项共有多少项. 16. 某地举行“庆元旦”抽奖活动，奖池中只有“幸运奖”和“安慰奖”两种奖项，已知每次抽奖抽中“幸运奖”得奖金30元，抽中“安慰奖”得奖金10元，累计奖金不少于50元时，停止抽奖，设甲每次抽中“幸运奖”的概率为，抽中“安慰奖”的概率为，且每次抽奖结果相互独立． （1）记甲抽奖2次所得的累计奖金为X，求X的分布列和数学期望； （2）求甲恰好抽奖3次后停止抽奖的概率． 17. 为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，提高市民“反诈”意识，某市进行了一次网络“反诈”知识竞赛，共有10000名市民参与了知识竞赛，现从参加知识竞赛的市民中随机地抽取100人，得分统计如下： 成绩（分） 频数 6 12 18 34 16 8 6 （1）现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，求这两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率； （2）若该市所有参赛市民的成绩近似服从正态分布，试估计参赛市民中成绩超过79分的市民数（结果四舍五入到整数）； （3）为了进一步增强市民“反诈”意识，得分不低于80分的市民可继续参与第二轮答题赠话费活动，规则如下： ①参加答题的市民的初始分都设置为100分； ②参加答题的市民可在答题前自己决定答题数量，每一题都需要用一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第k题时所需的分数为； ③每答对一题得2分，答错得0分； ④答完题后参加答题市民的最终分数即为获得的话费数（单位：元）． 已知市民甲答对每道题概率均为，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量为多少时，他获得的平均话费最多？ 参考数据：若，则，， 18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，平面平面. （1）求证：平面平面； （2）点是棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于不同于的两点. （1）求的方程； （2）若，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德州市高中五校联考2024—2025学年上学期 高二数学试题 （2025年1月） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷的答案涂在答题卡相应位置上，第II卷答案直接写在答题卡上.考试结束后，只交答题卡. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用组合数的性质求出的值，再利用组合数的性质可求得的值. 【详解】因为，则，解得， 故 . 故选：D. 2. 在的展开式中，的系数是（ ） A. 40 B. 64 C. 20 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出通项公式，再令的幂次等于，从而求出的值，最后得到的系数. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为： 令，则，解得. 当时，的系数为. 根据组合数公式，可得， 所以的系数为. 故选：A. 3. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据近视情况分为超过和低于两种可能，利用全概率公式计算可得． 【详解】某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，则有的学生每天玩手机不超过， 超过近视率约为，不超过近视率约为， 所以从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是． 故选：C． 4. 为参加校园文化节，某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人．若每人只参加1个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同推荐方案的种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知不同的推荐方案的种数分为以下两种： 一种方案是：有两名女生参加舞蹈与演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加另一个，再从2名男生中选一名参加另一个项目，剩下的男生参加乐器项目. 另一种方案是：有两名女生分别参加舞蹈、演唱项目中的一个，两名男生也分别参加舞蹈、演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加乐器项目. 再利用排列组合的有关知识即可得出. 【详解】由题意可知不同的推荐方案的种数分为以下两种： 一种方案是：有两名女生参加舞蹈与演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加另一个，再从2名男生中选一名参加另一个项目，剩下的男生参加乐器项目，共有种，即12种； 另一种方案是：有两名女生分别参加舞蹈、演唱项目中的一个，两名男生也分别参加舞蹈、演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加乐器项目，共有种，即12种. 综上可知：满足条件的不同的推荐方案的种数=12+12=24. 故选：B. 5. 生态环境部2024年7月21日发布了《全国碳市场发展报告（2024）》，系统总结了全国碳排放权交易市场和全国温室气体自愿减排交易市场的最新建设进展，全方位展示了市场建设运行工作成效．为了解某地碳市场建设情况，相关部门对当地1000家企业的碳排放情况进行了综合评估，得到各企业的综合得分近似服从正态分布，则得分在区间内的企业大约有（参考数据：若，则，）（ ） A. 108家 B. 116家 C. 124家 D. 136家 【答案】D 【解析】 【分析】由所给条件得出和的值，依据正态分布的对称性可得出得分在区间内的概率，从而求出结果. 【详解】由题得，，则 ， 故得分在区间内的企业大约有家． 故选：D 6. 已知点，动点满足，设点的轨迹为曲线，直线与交于两点，则弦长（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据题意可得曲线是以为圆心，半径，结合垂径定理求弦长即可. 【详解】设， 因为，则，整理可得， 可知曲线是以为圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 所以弦长. 故选：B. 7. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由面面垂直的性质定理结合题意可证得，，两两垂直，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别表示出，，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案. 【详解】取的中点，连接，，因为，所以． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又，所以， 可得，，两两垂直，所以以为坐标原点， ，，的方向分别为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，所以， ， 所以， 又异面直线所成角的取值范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故选：C. 8. 已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个事件的和事件的概率公式求出，利用全概率公式得到，再利用条件概率求解即可. 【详解】记事件A：甲去北京旅游，事件B：乙去北京旅游， 则，，， 因为，即，解得， 又因为，即，解得， 因为，所以， 所以. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量X服从两点分布，也称分布，且，则 B. 若随机变量X满足，则 C. 若随机变量，则 D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，若，则此人最有可能7次击中目标 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两点分布的特征，直接求方差，判断A错；根据离散型随机变量期望的概念，直接计算，可判断B正确；根据正态分布的对称性，可判断C正确；根据二项分布的概率公式，构造不等式组，由此解得的范围，从而可得概率最大时的取值，判断D正确. 【详解】若随机变量X服从两点分布，且，则，， 则，故A错； 若随机变量X满足， 则，故B正确； 若随机变量，，则，故C正确； 某人在10次射击中，击中目标的次数为，若， 则， 由得， 即，即，解得， 所以，即最大，此人最有可能7次击中目标，故D正确； 故选：BCD 10. 一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件发生的概率为 B. 事件与事件不互斥 C. 事件与事件相互独立 D. 事件发生的概率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式判断A，根据互斥事件、相互独立事件的定义判断B、C，根据判断D. 详解】由题意可得，故A正确； 当两次抛掷的点数为时，事件与事件同时发生，所以事件与事件不互斥，故B正确； 事件与事件同时发生的情况有共4种， 所以，又，所以，故事件与事件相互独立，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC. 11. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若点到直线的距离相等，则a的值为1或. B. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则 C. 若圆与圆有公共点，则实数的取值范围为 D. 点关于直线的对称点的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，根据点到直线距离公式，构造方程计算即可； 对于B选项，先求得抛物线方程为，再结合韦达定理和抛物线定义计算即可；对于C选项，求出圆心距，进而由位置关系构造不等式计算即可；对于D选项，设点关于直线的对称点为，运用中点及直线垂直性质计算即可. 【详解】对于A选项，根据点到直线距离公式，对于点到直线的距离，点到直线的距离. 因为，即，也就是. 当时，解得；当时，解得.所以A选项正确. 对于B选项，对于抛物线，其焦点坐标为. 直线过焦点，将焦点坐标代入直线方程可得，解得，则抛物线方程为. 联立直线与抛物线方程，将代入得. 设，，根据韦达定理. 由抛物线弦长公式，所以B选项错误. 对于C选项，两圆的圆心分别为，，半径分别为，. 两圆有公共点，则. ，. 对于，解得或（因为，舍去）. 对于，解得. 综合得，所以C选项正确. 对于D选项，设点关于直线的对称点为. 则中点在直线上，且， 由得 ①. 又 ②. 联立①②求解，由①得. 将代入②解得 将代入得.所以D选项正确. 故选：ACD. 第II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12 若随机变量X服从标准正态分布，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为随机变量X服从标准正态分布，即， 所以. 故答案为：. 13. 在平行六面体中，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】把用、和来表示出来，与题中给的式子比较系数就可以算出的值． 【详解】如下图所示，有.= 又因为,所以解得 所以=. 【点睛】本题是空间几何与空间向量结合的题目，要注意把其中关系找出来． 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，直线与双曲线的一个交点为点，与双曲线的一条渐近线交于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据得到且，P，Q三点共线，从而求出P，Q的纵坐标，求出，，列出方程，求出，进而求出离心率. 【详解】如图，因为，所以，即，所以，P，Q三点共线，将代入双曲线中，，双曲线渐近线为，把代入渐近线中，，故，，故，解得：，因为，解得： 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知在的展开式中满足，且常数项为，求： （1）的值； （2）展开式中的系数； （3）含的整数次幂的项共有多少项. 【答案】（1） （2） （3）共有项 【解析】 【分析】根据二项展开式结合常数项先求出的值，然后再利用二项展开式的通项求的系数和的整数次幂的项. 【小问1详解】 由已知得二项展开式的通项 因为常数项，令，解得，此时，结合可解得 【小问2详解】 由（1）知，令，得 所以的系数为 【小问3详解】 要使为整数，只需为偶数，由于，，故， 因此含的整数次幂的项共有项，分别为展开式的第项. 16. 某地举行“庆元旦”抽奖活动，奖池中只有“幸运奖”和“安慰奖”两种奖项，已知每次抽奖抽中“幸运奖”得奖金30元，抽中“安慰奖”得奖金10元，累计奖金不少于50元时，停止抽奖，设甲每次抽中“幸运奖”的概率为，抽中“安慰奖”的概率为，且每次抽奖结果相互独立． （1）记甲抽奖2次所得的累计奖金为X，求X的分布列和数学期望； （2）求甲恰好抽奖3次后停止抽奖的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2）． 【解析】 【分析】（1）求出X的可能取值，并求出对应的概率，写出分布列，利用数学期望的定义计算即可. （2）甲恰好抽奖3次后停止抽奖的情况有两种：①甲抽中“幸运奖”1次，抽中“安慰奖”2次，②甲抽中“幸运奖”2次，抽中“安慰奖”1次，且第3次抽中“幸运奖，利用独立事件概率的乘法公式和互斥事件的加法公式求解即可. 【小问1详解】 的所有可能取值为． 且， 所以X的分布列为 X 20 40 60 P 故. 【小问2详解】 设“甲恰好抽奖3次后停止抽奖”为事件， 甲恰好抽奖3次后停止抽奖，则甲累计奖金为50元或70元. ①若甲累计奖金为50元，则甲抽中“幸运奖”1次，抽中“安慰奖”2次， 其概率为. ②若甲累计奖金为70元，则甲抽中“幸运奖”2次，抽中“安慰奖”1次，且第3次抽中“幸运奖”， 其概率为. 所以. 17. 为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，提高市民“反诈”意识，某市进行了一次网络“反诈”知识竞赛，共有10000名市民参与了知识竞赛，现从参加知识竞赛的市民中随机地抽取100人，得分统计如下： 成绩（分） 频数 6 12 18 34 16 8 6 （1）现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，求这两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率； （2）若该市所有参赛市民的成绩近似服从正态分布，试估计参赛市民中成绩超过79分的市民数（结果四舍五入到整数）； （3）为了进一步增强市民“反诈”意识，得分不低于80分的市民可继续参与第二轮答题赠话费活动，规则如下： ①参加答题的市民的初始分都设置为100分； ②参加答题的市民可在答题前自己决定答题数量，每一题都需要用一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第k题时所需的分数为； ③每答对一题得2分，答错得0分； ④答完题后参加答题市民的最终分数即为获得的话费数（单位：元）． 已知市民甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量为多少时，他获得的平均话费最多？ 参考数据：若，则，， 【答案】（1） （2）1587 （3）或 【解析】 【分析】（1）由表可知，现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，基本事件总数为，这两名市民中恰有一名市民得分不低于70分包含的基本事件的个数为，利用古典概型公式即可得解. （2）根据正态分布区间概率公式求解即可. （3）以随机变量表示甲答对的题数，则且，记甲答完题所加的分数为随机变量，则，所以，列出甲答完n题后的最终得分为，即可得出结果. 【小问1详解】 从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，基本事件总数为，设“抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于70分”为事件A，则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以， 即抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率为； 【小问2详解】 因为，所以， 故参赛市民中成绩超过79分的市民数约为； 【小问3详解】 以随机变量表示甲答对题数， 则且， 记甲答完题所加的分数为随机变量， 则，所以， 依题意为了获取答道题的资格， 甲需要的分数为：， 设甲答完题后的最终得分为， 则 . 由于，所以当或时，取最大值. 即当他的答题数量为或时，他获得的平均话费最多. 【点睛】本题考查古典概型、正态分布的性质、二项分布的性质及数学期望的实际应用，考查学生对数据的分析与处理能力. 18. 如图，在四棱锥中，底面平行四边形，且，平面平面. （1）求证：平面平面； （2）点是棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理及勾股定理结合题设易得，由平面平面可得平面，进而结合面面垂直的判定定理即可求证； （2）设的中点分别为，连接，分析易得两两互相垂直，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）直接利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 证明：在中，， 由余弦定理，得， 所以，即. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 设的中点分别为，连接， 因为为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以. 因为分别为的中点，所以， 又，所以，即两两互相垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则，， 则， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则. 设直线与平面所成角为，又， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，平面的一个法向量为， 由点到平面的距离公式得：到平面的距离， 所以到平面的距离为. 19. 已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于不同于的两点. （1）求的方程； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，列出方程组，求出，即可得出椭圆方程； （2）由题意先得直线的斜率存在，设直线，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，以及题中条件，得再表示出三角形的面积，构造函数，求出最值即可. 【小问1详解】 由题意可知：，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 若，可知直线的斜率存在， 设直线， 联立方程，消去可，则，整理可得， 可得 因为，则， 由，可得，则， 整理可得， 则，且，则， 可得，解得 且满足，可知直线过定点， 则面积， 令，则 可得， 令， 任取，则， 所以在内单调递增，则， 所以当时，面积取到最大值 【点睛】思路点睛： 求解椭圆中三角形面积问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式、三角形面积公式等表示出三角形面积，再进行求解即可.有时也需要将三角形分割成小三角形，由小三角形的面积和表示出大三角形面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $