数学（湖北武汉卷）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试（武汉卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数；的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示图形中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列事件中，是随机事件的是（    ） A．明天太阳从东方升起 B．平面内不共线的三点确定一个圆 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．经过有交通信号的路口时遇见红灯 4．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．现有三种类型卡片A、B、C，想要拼成如图所示长方形，则还需要C类型卡片（    ）张    A．3 B．4 C．5 D．6 5．下列各种现象中，属于中心投影现象的是（    ） A．阳光下旗杆的影子 B．台灯下书本的影子 C．太阳光下广告牌的影子 D．正午阳光下的树影 6．两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（   ） A． B． C． D． 7．如图，反比例函数的图象与直线交于点与轴交于点轴于点，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 9．如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ） A．3 B． C． D．2 10．如图，如图，直线与抛物线的图象都经过轴上的点，抛物线与轴交于、两点，其对称轴为直线，且．直线与轴交于点（点在点的右侧）．则下列命题中正确的个数是（　　） ①；②；③；④． A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若，则2x+6的平方根是 ． 12．你知道吗？我们赖以生存的美丽地球是一个近似于圆形的球体，它的半径长约千米．如果让你做一次旅行，沿着轨道乘“天宫一号”20天走完等于地球半径长的路程，则“天宫一号”平均每天要飞行 千米．（结果用科学记数法表示） 13．已知直线与直线交点在坐标轴上，则b= ． 14．如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米（精确到0.1米）（参考数据：，，，） 15．如图，在中，，点为射线上的动点（点不与，重合），直线于点，交直线于点．若，则 ． 16．如图，正方形和正方形的顶点在同一条直线上，顶点在同一条直线上，是的中点，的平分线过点，交于点，连接交于点，连接．以下四个结论：；；；，其中正确的有 （填序号）．    三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 解关于的分式方程：． 18． （8分） 如图，在和中，，点B、F、C、E在一条直线上．求证：． 19． （8分） “2024年9月22日，太原举行马拉松比赛”，赛事共有四项：A“马拉松”、B“半程马拉松”、C“迷你马拉松”、D“家庭亲子跑”．小凡、小明和小颖参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到四个项目组． (1)为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小凡对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“迷你马拉松”人数 21 45 79 200 401 参加“迷你马拉松”频率 ______ ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率______．（精确到） ③若本次参赛选手大约有40000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少？ (2)利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组的概率． 20． （8分） 如图，的直径为，点在圆周上（异于，），． （1）若，，求图中扇形的面积． （2）若是的平分线，求证：直线是的切线． 21． （8分） 如下图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点均为格点，请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)在图1中，将△ABC绕点O旋转得到，请画出和点O； (2)在图1中，在边上找点P，使得； (3)在图2中，经过A，B，C三个格点，作的角平分线； (4)在图2中，在（3）的条件下，上一点N不在网格线上，作弦弦． 22． （10分） 发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形ABCD，墙宽BC为2米，点B与点O的水平距离为23米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为9米． ①求函数解析式（不写x的范围）； ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括点B，C），求出a的取值范围？ 23． （10分） 在中，，E是边上一动点，连接． (1)如图1，若，交于点M，求证：． (2)在（1）的条件下，如图2，若，以为边，在右侧作正方形，连接，当点E在上运动时（不与B、C重合），的大小是否发生变化，如果变化，请说明理由．如果不变，请求出的度数． (3)如图3，点P在正方形的边延长线上，且，在直线的右侧作，且，R为线段的中点，当点E从点B运动到点C时，求出点R运动路径长度，并简要说明理由． 24．（12分） 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式． (2)若，求m的值． (3)在点P的运动过程中，是否存在m使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第一次模拟考试（武汉卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题6分，共18分） 11．_________________ 12．___________________ 13．__________________ 14．__________________ 15．___________________ 16. __________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 18. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（武汉卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B D C B C A C D D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．2 12． 13．2或 14．73.5 15．或 16.①③ 三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 【详解】解：方程两边都乘，得，（3分） 解这个方程，得，（6分） 经检验，是增根， 所以分式方程无解．（8分） 18． （8分） 【详解】证明：， ∴在和中， ，（6分） ∴，（6分） ∴， ∴，即．（8分） 19． （8分） 【详解】（1）解：①，（1分） 故答案为：； ②观察表格可知，说着调查人数的增多，参加“迷你马拉松”频率稳定在左右， ∴估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率， 故答案为：；（2分） ③人， ∴估计参加“迷你马拉松”的人数是16000人；（3分） （2）解：列表如下； 小明        小颖 A B C D A B C D 由表格额裤子，总共有16种等可能的结果，其中小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”目组的结果有7种，（6分） ∴P（至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组）．（8分） 【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，用频率估计概率，已知概率求数量，求频率等等，熟知相关知识是解题的关键． 20． （8分） 【详解】解：（1）， ， ， ；（4分） （2）证明：∵AC是∠DAB的角平分线 ∴∠OAC=∠DAC ∵OA=OC ∴∠0AC=∠OCA ∴∠DAC=∠OCA ∴OC//AD 又∵AD⊥DC. ∴OC⊥CD ∴DC是圆O的切线．（8分） 【分析】本题主要考查的是圆周角定理、求扇形的面积、切线的判定方法，掌握切线的判定方法是解答本题的关键． 21． （8分） 【详解】（1）解：如图所示，和点O，即为所求； 由作图可知，四边形为平行四边形， ∴可看作△ABC绕点O旋转得到；（2分） （2）如图所示，点即为所求； 由作图可知：；（4分） （3）如图所示，即为所求； 由作图和垂径定理可知：， ∴；（6分） （4）如图所示，点即为所求； 由作图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴点与点关于对称， 由圆的对称性可知：．（8分） 【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理等知识点，综合性强，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 22． （10分） 【详解】（1）解：①设石块运行的函数关系式为， 将代入，得， 解得． 所以抛物线的解析式为．（3分） ②石块不能飞跃防御墙． 理由如下：将代入，； 将代入，．所以石块不能飞跃防御墙．（6分） （2）解：∵过点 ∴ ∴ ∴ 依题意分别代入， 即或 解得： 或 ∴．（10分） 23． （10分） 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，且 ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴．（2分） （2）解：的大小不会变化， ∵四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形， 过点F作，交的延长线于H，如图， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；（6分） （3）解：如图中，连接，作交于J． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点R的运动轨迹是线段， ∵点E从B运动到C时，， ∴， ∴，（10分） ∴当点E从点B运动到点C时，点R运动的路径长为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 24．（12分） 【详解】（1）解：对于，当时，， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，, 当时，， ∴； 设直线的解析式为， 把,代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为；（4分） （2）解：∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为 ∴，， ∴；， ∵， ∴， 整理得，， 解得，，（不合题意，舍去） ∴；（8分） （3）解：由②知,，， ∵， ∴， 又轴， ∴ ∴, 若是等腰直角三角形，则有： ①当时，连接，如图， ∴， ∵ ∴ ∴轴， ∴ ∴， 解得，或（不合题意，舍去）（10分） ②当时，如图，连接则作于点K， 则且轴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得，或（不符合题意，舍去）， 综上，当或时，为等腰直角三角形.（12分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（武汉卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数；的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义．熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 相反数是指绝对值相等，正负号相反的两个数．根据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：的相反数是． 故选B． 2．如图所示图形中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 3．下列事件中，是随机事件的是（    ） A．明天太阳从东方升起 B．平面内不共线的三点确定一个圆 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．经过有交通信号的路口时遇见红灯 【答案】D 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、明天太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意； B、平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，不符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和是540°，是不可能事件，不符合题意； D、经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，符合题意； 故选：D． 4．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．现有三种类型卡片A、B、C，想要拼成如图所示长方形，则还需要C类型卡片（    ）张    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，利用长方形面积公式表示出长方形的面积，即可确定出所求． 【详解】解：根据题意得大长方形的长为，宽为， 所以，面积为：， 所以，需要C类卡片5张， 故选：C． 5．下列各种现象中，属于中心投影现象的是（    ） A．阳光下旗杆的影子 B．台灯下书本的影子 C．太阳光下广告牌的影子 D．正午阳光下的树影 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，根据平移投影和中心投影的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A、阳光下旗杆的影子为平行投影，所以A选项不合题意； B、台灯下书本的影子为中心投影，所以B选项符合题意； C、阳光下广告牌的影子为平行投影，所以C选项不合题意； D、正午阳光下的树影为平行投影，所以D选项不合题意． 故选：B． 6．两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图像的识别，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．根据题目中各函数图像，分析函数解析式中一次项系数和常数项的正负情况，然后结合函数解析式分析判断即可． 【详解】解：A.由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意； B. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意； C. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式满足此条件，本选项正确，符合题意； D. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意． 故选：C． 7．如图，反比例函数的图象与直线交于点与轴交于点轴于点，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数的性质和比例系数的几何意义，连接，由得，根据平行线间的距离可得，熟练掌握反比例函数的性质和比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】如图，连接， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 两边都乘以，得 ， 解得，且，；， ∴且， 解得：，， ∵正整数使关于的分式方程的解为整数， ∴， ∴或15或39或65或195， 即或5或29或55或185， 其中不符合题意， ∴， 故选C． 9．如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】D 【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为6的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵点M为中点，点A为中点， ∴是的中位线， ∴； 在中，， ∴， ∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转， ∴点C在以O为圆心，半径为6的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，解直角三角形，三角形中位线定理，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键． 10．如图，如图，直线与抛物线的图象都经过轴上的点，抛物线与轴交于、两点，其对称轴为直线，且．直线与轴交于点（点在点的右侧）．则下列命题中正确的个数是（　　） ①；②；③；④． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，解决本题的关键是利用图象判断系数的符号以及一次函数的性质．根据抛物线的性质逐项判断即可．由抛物线的开口判断的符号；由对称轴判断及与的关系；还可由图象上点的坐标判断． 【详解】解：抛物线开口向上， ． 抛物线对称轴是直线， 且． 抛物线与轴交于正半轴， ． ∴ ①错误； 故②是正确； 直线经过一、二、四象限， ． 当时，则， ， 点的坐标为． 直线当时，， 可得． ③正确； 直线与抛物线的图象有两个交点 ， 得，， 由图象知， ， ， ∴④正确． 综上，正确的命题有3个． 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若，则2x+6的平方根是 ． 【答案】2 【分析】根据，解得，继而计算，再根据平方根的定义解答． 【详解】解：， 4的平方根是2 故答案为：2． 【点睛】本题考查平方根与算术平方根，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 12．你知道吗？我们赖以生存的美丽地球是一个近似于圆形的球体，它的半径长约千米．如果让你做一次旅行，沿着轨道乘“天宫一号”20天走完等于地球半径长的路程，则“天宫一号”平均每天要飞行 千米．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】用半径除以时间，得出“天宫一号”平均每天要飞行距离，再用用科学记数法表示即可． 【详解】解：千米千米， ∴“天宫一号”平均每天要飞行距离（千米）， 7480000用科学记数法表示为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 13．已知直线与直线交点在坐标轴上，则b= ． 【答案】2或 【分析】求出直线与x轴y轴的交点坐标，即得直线与直线在坐标轴上的交点坐标，把两交点坐标分别代入即得b的值． 本题主要考查了两直线在坐标轴上的交点．熟练掌握一次函数与一元一次方程，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． 【详解】在中， 当时，， 当时，，， ∴图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为， ∵直线与直线交点在坐标轴上， ∴，或， ∴，或． 故答案为：2或． 14．如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米（精确到0.1米）（参考数据：，，，） 【答案】73.5 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．过点作于点，则米，在中和中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得和的长，从而可以求得的长，本题得以解决， 【详解】过点作于点， 由题意可得，米，， 在中，， 在中，， 即这栋楼的高度是73.5米． 故答案为：73.5． 15．如图，在中，，点为射线上的动点（点不与，重合），直线于点，交直线于点．若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解直角三角形，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别画出图形，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：当点在线段上时，如图所示，过点作于点， ∵ ∴ ∵ 设，则，， ∴， ∵ ∵， ∴， ∴，则 ∵ ∴， ∴，则 ∵ ∴； 当点在线段的延长线上时，如图所示，过点作交的延长线于点， ∵ 设，则，， ∴， ∵ ∵， ∴， ∴，则 ∵ ∴，则 ∵ ∴ ∴ ∴ 综上所述，或， 故答案为：或． 16．如图，正方形和正方形的顶点在同一条直线上，顶点在同一条直线上，是的中点，的平分线过点，交于点，连接交于点，连接．以下四个结论：；；；，其中正确的有 （填序号）．    【答案】①③ 【分析】先利用正方形的性质证明，然后有，通过等量代换可得，则，即可判断的正误； 通过直角三角形斜边中线的性质得出点在正方形的外接圆上，然后根据圆周角定理的推论得出，即可判断的正误； 首先证明 ，则有，进而可得，由此可判断的正误； 先得出是的中位线，则，然后根据平行线分线段成比例得出 ，则有，进而可求出 ，又因为 ，则可判断的正误． 【详解】∵四边形和四边形是正方形， ∴ ，，， 在和中， ∴ ， ∴． ∵， ， ∴， ∴ ， ∴，故正确； ∵是直角三角形，是的中点， ∴， ∴点在正方形的外接圆上． ∵， ∴， ∴，故错误； ∵平分， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∵， ∴ ， ∴，故正确； ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴． ∵与高相同， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴，故错误． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，掌握正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 解关于的分式方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：方程两边都乘，得，（3分） 解这个方程，得，（6分） 经检验，是增根， 所以分式方程无解．（8分） 18． （8分） 如图，在和中，，点B、F、C、E在一条直线上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用证明直角三角形全等是解题的关键． 先运用证明，由全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差即可证明结论． 【详解】证明：， ∴在和中， ，（6分） ∴，（6分） ∴， ∴，即．（8分） 19． （8分） “2024年9月22日，太原举行马拉松比赛”，赛事共有四项：A“马拉松”、B“半程马拉松”、C“迷你马拉松”、D“家庭亲子跑”．小凡、小明和小颖参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到四个项目组． (1)为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小凡对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“迷你马拉松”人数 21 45 79 200 401 参加“迷你马拉松”频率 ______ ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率______．（精确到） ③若本次参赛选手大约有40000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少？ (2)利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组的概率． 【答案】(1)①；②；③16000人 (2) 【分析】（1）①用频数除以总数即可得到答案；②根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值进行求解即可；③用总人数乘以参加“迷你马拉松”人数的概率即可得到答案． （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：①，（1分） 故答案为：； ②观察表格可知，说着调查人数的增多，参加“迷你马拉松”频率稳定在左右， ∴估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率， 故答案为：；（2分） ③人， ∴估计参加“迷你马拉松”的人数是16000人；（3分） （2）解：列表如下； 小明        小颖 A B C D A B C D 由表格额裤子，总共有16种等可能的结果，其中小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”目组的结果有7种，（6分） ∴P（至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组）．（8分） 【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，用频率估计概率，已知概率求数量，求频率等等，熟知相关知识是解题的关键． 20． （8分） 如图，的直径为，点在圆周上（异于，），． （1）若，，求图中扇形的面积． （2）若是的平分线，求证：直线是的切线． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】（1）根据圆周角定理确定圆心角，然后运用扇形的面积公式即可； （2）先根据角平分线的性质和相似三角形的知识得到∠OCA=∠CAD，OC//AD；再根据AD⊥CD ，得到OC⊥CD即可证明结论． 【详解】解：（1）， ， ， ；（4分） （2）证明：∵AC是∠DAB的角平分线 ∴∠OAC=∠DAC ∵OA=OC ∴∠0AC=∠OCA ∴∠DAC=∠OCA ∴OC//AD 又∵AD⊥DC. ∴OC⊥CD ∴DC是圆O的切线．（8分） 【分析】本题主要考查的是圆周角定理、求扇形的面积、切线的判定方法，掌握切线的判定方法是解答本题的关键． 21． （8分） 如下图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点均为格点，请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)在图1中，将△ABC绕点O旋转得到，请画出和点O； (2)在图1中，在边上找点P，使得； (3)在图2中，经过A，B，C三个格点，作的角平分线； (4)在图2中，在（3）的条件下，上一点N不在网格线上，作弦弦． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)图见解析 【分析】（1）根据中心对称图形的性质，得到，得到四边形为平行四边形，在下方确定点使四边形为平行四边形，连接，与的交点即为点； （2）取点关于的对称点，连接，交于点，点即为所求； （3）取的中点，过点作，交于点，连接，即为所求； （4）连接，交于点，取格点，连接交于点，连接并延长，交于点，连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，和点O，即为所求； 由作图可知，四边形为平行四边形， ∴可看作△ABC绕点O旋转得到；（2分） （2）如图所示，点即为所求； 由作图可知：；（4分） （3）如图所示，即为所求； 由作图和垂径定理可知：， ∴；（6分） （4）如图所示，点即为所求； 由作图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴点与点关于对称， 由圆的对称性可知：．（8分） 【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理等知识点，综合性强，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 22． （10分） 发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形ABCD，墙宽BC为2米，点B与点O的水平距离为23米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为9米． ①求函数解析式（不写x的范围）； ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括点B，C），求出a的取值范围？ 【答案】(1)①；②石块不能飞越防御墙 (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用； （1）①根据题意，设石块运行的函数关系式为，将代入解析式，待定系数求得； ②将代入，得出，将代入，得出，即可求解． （2）根据抛物线过原点，可得，将分别代入求得的值，进而结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：①设石块运行的函数关系式为， 将代入，得， 解得． 所以抛物线的解析式为．（3分） ②石块不能飞跃防御墙． 理由如下：将代入，； 将代入，．所以石块不能飞跃防御墙．（6分） （2）解：∵过点 ∴ ∴ ∴ 依题意分别代入， 即或 解得： 或 ∴．（10分） 23． （10分） 在中，，E是边上一动点，连接． (1)如图1，若，交于点M，求证：． (2)在（1）的条件下，如图2，若，以为边，在右侧作正方形，连接，当点E在上运动时（不与B、C重合），的大小是否发生变化，如果变化，请说明理由．如果不变，请求出的度数． (3)如图3，点P在正方形的边延长线上，且，在直线的右侧作，且，R为线段的中点，当点E从点B运动到点C时，求出点R运动路径长度，并简要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不变， (3)，理由见解析 【分析】（1）如图1中，先证明四边形是菱形，再证明即可解决问题． （2）由“”可证，可得，，可证，可求，即可求解； （3）连接，作交于J．利用全等三角形的性质证明，点R的运动轨迹是线段，求出的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，且 ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴．（2分） （2）解：的大小不会变化， ∵四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形， 过点F作，交的延长线于H，如图， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；（6分） （3）解：如图中，连接，作交于J． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点R的运动轨迹是线段， ∵点E从B运动到C时，， ∴， ∴，（10分） ∴当点E从点B运动到点C时，点R运动的路径长为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 24．（12分） 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式． (2)若，求m的值． (3)在点P的运动过程中，是否存在m使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)，,；直线的解析式为 (2) (3)当或时，为等腰直角三角形 【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判断与性质等知识： （1）令，求出x的值，得点A，B的坐标，令，得，可得点C坐标，再设直线的解析式为，把，代入并求出k，b的值即可； （2）设，得，，求出，，根据列方程，求出方程的解即可； （3）先证明是等腰直角三角形，得，再分和两种情况列出关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，, 当时，， ∴； 设直线的解析式为， 把,代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为；（4分） （2）解：∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为 ∴，， ∴；， ∵， ∴， 整理得，， 解得，，（不合题意，舍去） ∴；（8分） （3）解：由②知,，， ∵， ∴， 又轴， ∴ ∴, 若是等腰直角三角形，则有： ①当时，连接，如图， ∴， ∵ ∴ ∴轴， ∴ ∴， 解得，或（不合题意，舍去）（10分） ②当时，如图，连接则作于点K， 则且轴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得，或（不符合题意，舍去）， 综上，当或时，为等腰直角三角形.（12分） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（武汉卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数；的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示图形中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列事件中，是随机事件的是（    ） A．明天太阳从东方升起 B．平面内不共线的三点确定一个圆 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．经过有交通信号的路口时遇见红灯 4．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．现有三种类型卡片A、B、C，想要拼成如图所示长方形，则还需要C类型卡片（    ）张    A．3 B．4 C．5 D．6 5．下列各种现象中，属于中心投影现象的是（    ） A．阳光下旗杆的影子 B．台灯下书本的影子 C．太阳光下广告牌的影子 D．正午阳光下的树影 6．两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（   ） A． B． C． D． 7．如图，反比例函数的图象与直线交于点与轴交于点轴于点，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 9．如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ） A．3 B． C． D．2 10．如图，如图，直线与抛物线的图象都经过轴上的点，抛物线与轴交于、两点，其对称轴为直线，且．直线与轴交于点（点在点的右侧）．则下列命题中正确的个数是（　　） ①；②；③；④． A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若，则2x+6的平方根是 ． 12．你知道吗？我们赖以生存的美丽地球是一个近似于圆形的球体，它的半径长约千米．如果让你做一次旅行，沿着轨道乘“天宫一号”20天走完等于地球半径长的路程，则“天宫一号”平均每天要飞行 千米．（结果用科学记数法表示） 13．已知直线与直线交点在坐标轴上，则b= ． 14．如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米（精确到0.1米）（参考数据：，，，） 15．如图，在中，，点为射线上的动点（点不与，重合），直线于点，交直线于点．若，则 ． 16．如图，正方形和正方形的顶点在同一条直线上，顶点在同一条直线上，是的中点，的平分线过点，交于点，连接交于点，连接．以下四个结论：；；；，其中正确的有 （填序号）．    三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23每题10分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 解关于的分式方程：． 18． （8分） 如图，在和中，，点B、F、C、E在一条直线上．求证：． 19． （8分） “2024年9月22日，太原举行马拉松比赛”，赛事共有四项：A“马拉松”、B“半程马拉松”、C“迷你马拉松”、D“家庭亲子跑”．小凡、小明和小颖参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到四个项目组． (1)为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小凡对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“迷你马拉松”人数 21 45 79 200 401 参加“迷你马拉松”频率 ______ ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率______．（精确到） ③若本次参赛选手大约有40000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少？ (2)利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组的概率． 20． （8分） 如图，的直径为，点在圆周上（异于，），． （1）若，，求图中扇形的面积． （2）若是的平分线，求证：直线是的切线． 21． （8分） 如下图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点均为格点，请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)在图1中，将△ABC绕点O旋转得到，请画出和点O； (2)在图1中，在边上找点P，使得； (3)在图2中，经过A，B，C三个格点，作的角平分线； (4)在图2中，在（3）的条件下，上一点N不在网格线上，作弦弦． 22． （10分） 发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形ABCD，墙宽BC为2米，点B与点O的水平距离为23米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为9米． ①求函数解析式（不写x的范围）； ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括点B，C），求出a的取值范围？ 23． （10分） 在中，，E是边上一动点，连接． (1)如图1，若，交于点M，求证：． (2)在（1）的条件下，如图2，若，以为边，在右侧作正方形，连接，当点E在上运动时（不与B、C重合），的大小是否发生变化，如果变化，请说明理由．如果不变，请求出的度数． (3)如图3，点P在正方形的边延长线上，且，在直线的右侧作，且，R为线段的中点，当点E从点B运动到点C时，求出点R运动路径长度，并简要说明理由． 24．（12分） 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式． (2)若，求m的值． (3)在点P的运动过程中，是否存在m使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在请说明理由． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$