精品解析：四川省眉山市东坡区2024-2025学年高一上学期1月期末联合考试数学试题

2024级高一年级期末联合考试 数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 下列各式中关系符号运用正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 以下命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A. 锐角三角形有一个内角是钝角 B. 至少有一个实数，使 C. 两个无理数的和必是无理数 D. 存在一个负数，使 4. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 5. 已知全集，集合，集合，用如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. {2，4} B. {0，3，5，6} C. {0，2，3，4，5，6} D. {1，2，4} 6. 某快递公司为降低新冠肺炎疫情带来的经济影响，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本.已知购买台机器人的总成本为（单位：万元）.若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人（ ） A. 100台 B. 200台 C. 300台 D. 400台 7. 定义集合运算：.若集合， ，则（ ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二．选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 下列命题正确的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则： B. 若，，则： C. 若，，则： D. 若，，则： 11. 下列选项中正确的是（ ） A. 已知集合，若，则 B. 若不等式的解集为，则 C. 若集合满足，则满足条件的集合有8个 D. 已知集合，若，则的取值范围为 三．填空题（共20分） 12. 命题“，”的否定为_________. 13. 已知，，，则的取值范围是____________. 14. 若不等式的解集为，则的值是___________. 四．解答题（共70分） 15. 设 ​. （1）求 ​的值及​; （2）求​. 16. 在① ；②““是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题. 问题：已知集合. （1）当时，求A∪B； （2）若_______，求实数a的取值范围. 17. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求，的值； （2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 18. 如图，计划依靠一面墙建一个植物角.墙长为18m.用栅栏围成四个相同的长方形区域种植若干种植物. （1）若每个长方形区域的面积为，要使围成四个 区域的栅栏总长度最小，每个长方形区域长和宽分别是多少米？并求栅栏总长度的最小值； （2）若每个长方形区域的长为m（），宽为长的一半.每米栅栏价格为5元，区域的重建费用为每平方米10元.要使总费用不超过180元，求长方形区域的长的取值范围. 19. 已知 . （1）若，求的解集； （2）若的解集是集合的真子集，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一年级期末联合考试 数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 下列各式中关系符号运用正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可. 【详解】根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误； 根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误； 根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确. 故选：C. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用解一元二次不等式，可得解集，再求交集即可. 【详解】由集合，可得， 由，可得， 所以， 故选：A. 3. 以下命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A. 锐角三角形有一个内角是钝角 B. 至少有一个实数，使 C. 两个无理数的和必是无理数 D. 存在一个负数，使 【答案】B 【解析】 【分析】分别对每个命题是否为存在量词命题及真假进行判断即可. 【详解】对于A，“锐角三角形”省略了全称量词“（所有的）锐角三角形”是全称量词命题，且该命题为假命题，故选项A错误； 对于B，含存在量词“至少有一个”，为存在量词命题，且当时，成立，该命题为真命题，所以选项B正确； 对于C，“两个无理数的和”省略了全称量词“（任意）两个无理数的和”，是全称量词命题，且无理数与的和为，是有理数，该命题为假命题，所以选项C错误； 对于D，含存在量词“存在一个”，当时，，故不成立，该命题为假命题，所以选项D错误. 故选：B. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用分式不等式的解题方法仔细求解即可. 【详解】不等式可化为，所以，所以，解得或，所以原不等式的解集为． 故选: D. 5. 已知全集，集合，集合，用如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. {2，4} B. {0，3，5，6} C. {0，2，3，4，5，6} D. {1，2，4} 【答案】B 【解析】 【分析】根据文氏图求解即可. 【详解】，，阴影部分为. 故选：B． 6. 某快递公司为降低新冠肺炎疫情带来的经济影响，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本.已知购买台机器人的总成本为（单位：万元）.若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人（ ） A. 100台 B. 200台 C. 300台 D. 400台 【答案】C 【解析】 【分析】计算每台机器人的平均成本的表达式，利用均值不等式可求得最小值以及购买的台数，即得答案. 【详解】每台机器人的平均成本为（万元）， 当且仅当，即时取等号., 因此应买300台机器人，可使每台机器人的平均成本最低, 故选:C. 7. 定义集合运算：.若集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出后可求得，故可得正确的选项 【详解】由题设可得，， 因为，，，， 故， 故选：D. 8. 关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，与三种情况下原不等式的解集，结合题意可得该整数，再利用数轴法即可得到的取值范围. 【详解】由可得， 当时，，即原不等式无解，不满足题意； 当时，原不等式解得，由于解集中恰有1个整数，所以该整数解为2，因此由数轴法可得； 当时，原不等式解得，由于解集中恰有1个整数，所以该整数解为0，因此由数轴法可得； 综上：或，所以实数的取值范围为或. 故选：C. 二．选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 下列命题正确的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据特称命题和全称命题的定义，对每一选项逐一判断即可. 【详解】解：对于A，由，得，，故A不正确； 对于B，当时， 所以B正确； 对于C，当时， 所以C不正确； 对于D，因为，所以 ，所以D正确. 故选：BD. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则： B. 若，，则： C. 若，，则： D. 若，，则： 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式性质，结合反例，逐项检验，可得答案. 【详解】对于A，由，，即，则，故A正确； 对于B，由，则，由，则，故B错误； 对于C，由，则，由，则，故C正确； 对于D，当，且时，，即，故D错误. 故选：AC. 11. 下列选项中正确的是（ ） A. 已知集合，若，则 B. 若不等式的解集为，则 C. 若集合满足，则满足条件的集合有8个 D. 已知集合，若，则的取值范围为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据集合的包含关系及集合元素的性质可判断A，根据二次不等式的解法可判断B，根据集合的关系及集合子集的个数可判断C，根据集合的包含关系可判断D. 【详解】由，可知，所以或， 解得或或，根据集合元素的互异性，可得或，故A错误； 因为的解集为，所以， 解得，故B错误； 由，可知集合必有2,4，的个数为集合的子集数8个，故C正确； 因为，， 所以，故D正确。 故选：CD. 三．填空题（共20分） 12. 命题“，”的否定为_________. 【答案】， 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为存在量词命题， 该命题的否定为“，”. 故答案为：，. 13. 已知，，，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，结合不等式性质，可得答案. 【详解】令，则，即， 由，即，可得，则. 故答案为：. 14. 若不等式的解集为，则的值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集，可得一元二次方程的根，利用韦达定理建立方程组，可得答案. 【详解】由题意可得方程的两个根分别为与，且， 则，解得，所以. 故答案为：. 四．解答题（共70分） 15. 设 ​. （1）求 ​的值及​; （2）求​. 【答案】（1）​，​，​ （2）​ 【解析】 【分析】（1）由题意得，代入方程中可求出​的值，从而可求出， （2）先求出和，从而可求出. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 解得，， 所以​ 【小问2详解】 因为， 所以，， 所以. 16. 在① ；②““是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题. 问题：已知集合. （1）当时，求A∪B； （2）若_______，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）若选择①：实数a的取值范围是. 若选择②：实数a的取值范围是. 若选择③：实数a的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）由并集运算求解即可； （2）选①：由交集运算的结果列出不等式，得出实数a的取值范围.选②：由是的真子集，结合包含关系得出实数a的取值范围.选③：由，结合包含关系得出实数a的取值范围. 【小问1详解】 当时，集合， 所以. 【小问2详解】 若选择①， 因为，所以， 又，所以或，解得或， 所以实数a的取值范围是. 若选择②，“”是“”的充分不必要条件，则， 因为，所以， 又，所以或解得， 所以实数a的取值范围是. 若选择③，则， 因为 ，所以， 又，所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 17. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求，的值； （2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，由韦达定理即可求解. （2）利用不等式的乘“1”法求解最值，即可由一元二次不等式求解. 【小问1详解】 不等式的解集为或 和是方程的两个实数根且 ，解得 【小问2详解】 由（1）知，于是有， 故， 当且仅当时，等号成立， 依题意有，即， 得，解得， 的取值范围为 18. 如图，计划依靠一面墙建一个植物角.墙长为18m.用栅栏围成四个相同的长方形区域种植若干种植物. （1）若每个长方形区域的面积为，要使围成四个 区域的栅栏总长度最小，每个长方形区域长和宽分别是多少米？并求栅栏总长度的最小值； （2）若每个长方形区域的长为m（），宽为长的一半.每米栅栏价格为5元，区域的重建费用为每平方米10元.要使总费用不超过180元，求长方形区域的长的取值范围. 【答案】（1）每个长方形区域的长和宽分别为6m和4m时，栅栏总长度最小，且最小值为48m （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式即可求得栅栏总长度的最小值； （2）根据题意可知总费用，解不等式即可求得的取值范围. 【小问1详解】 设每个长方形区域的长为m（），则宽为， 则栅栏总长为. 当且仅当，即时等号成立， 所以每个长方形区域的长和宽分别为6m和4m时，栅栏总长度最小，且最小值为48m； 【小问2详解】 由题可知每个长方形区域的长为m，宽为m，， 则长方形区域的面积为，栅栏总长为， 总费用，又总费用不超过180元， ，解得：, 又，, 故当时，总费用不超过180元. 19. 已知 . （1）若，求的解集； （2）若的解集是集合的真子集，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，利用一元二次不等式的解法可得出集合； （2）对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合是集合的真子集，可得出关于实数的不等式，综合可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意，当时，不等式，即， 即，解得，所以. 【小问2详解】 由，可得， 当 时，不等式的解集为. 由集合是集合的真子集可得，所以， 当时，不等式的解集为，满足题意； 当时，不等式的解集为， 由集合是集合的真子集，可得，所以， 综上可得，实数的取值范围为是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $