精品解析：广东省汕尾市2024-2025学年高二上学期教学质量监测数学试题

汕尾市2024—2025学年度第一学期高中二年级教学质量监测 数 学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 135° 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程化成斜截式，求出其斜率，再由斜率定义即可求得直线的倾斜角. 【详解】由可得，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，因，故得. 故选：D. 2. 已知空间向量，，若，则x的值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. －3 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性坐标运算结合向量垂直的坐标运算列式求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，所以，解得. 故选：B 3. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相离 C. 相交 D. 外切 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两圆的圆心和半径，再利用圆和圆位置关系的判断方法即得. 【详解】由两圆的方程可知，圆心坐标依次为：，，半径依次为， 则，由，可得两圆相交. 故选：C. 4. 双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】结合题设条件可得，再由离心率定义和的关系式即可求得. 【详解】因双曲线的焦点在轴上，由渐近线方程易得， 于是C的离心率为：. 故选：B. 5. 如图，在平行六面体中，M为AC和BD的交点，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合空间向量的运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 6. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为1或2”，记事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件A与事件B互斥 C. 事件A与事件B相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式，分别写出样本空间和事件表示的集合，求出相关事件的概率，利用互斥事件，独立事件的定义与和事件的概率公式计算即可逐一判断. 【详解】由题意，用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数， 则该试验的样本空间为：， 则，事件，， 事件，. 对于A，，故A错误； 对于B，因，故事件A与事件B相容，故B错误； 对于C，因，，则， 而，因，故事件A与事件B相互独立，即C正确； 对于D，因，，故D错误. 故选：C. 7. 两位游客来到汕尾·保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上（B点处），一人站在楼梯斜坡上（A点处），如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线l，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为60°，A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧，A点到直线l的距离为AD，测得，B点到直线l的距离为BC，测得，且测得，则A，B两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的模长即可求解. 【详解】由于,, 由于斜面与地面所成的坡度角为60°，故 故, 故 ， 因此, 故选：A 8. 已知，函数在上的最大值不超过4，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的范围可求得；分别在、和的情况下求得，利用构造不等式求得结果. 【详解】当时，         ①当，即时， ，满足题意 ②当，即时，令, 当时，单调递减；当时，单调递增 又， 若最大值不超过，则，即     ③当，即时， ，解得：（舍） 综上所述：. 故选：C. 【点睛】关键点点睛；关键是能够得到绝对值内的函数的值域，进而通过分类讨论的方式去除绝对值符号，根据单调性求得最值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数，，，用表示，中的较大者，记为．例如，则．下列选项正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 在上不单调 【答案】BD 【解析】 【分析】利用作图思想，可求交点位置，利用数形结合，即可作出判断. 【详解】由，故A错误； 作出函数的图象： 由于 所以由图可知：当时，，故B正确； 当时，，当时，，故C错误； 由图可知在上不单调，故D正确； 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据28，13，15，31，16，18，20，24的中位数是20 B. 从小到大顺序排列的数据3，5，x，8，9，10，其极差与平均数相等，则方差为6.8 C. 数据，，，…，的平均数为，数据，，，…，的平均数为，则有 D. ，其中P为平面ABC上的一点，O是平面ABC外一点，则有 【答案】CD 【解析】 【分析】按照中位数的计算方法可判断A；由极差与平均数相等求得，再求方差可判断B； 【详解】对于A，将这组数据按从小到大的顺序排列：13，15，16，18，20，24，28，31， 最中间的两个是18，20，所以中位数是.故A不正确； 对于B，由题意可知：极差为，平均数为， 则，解得，所以平均数为， 方差为； 故B不正确； 对于C，因为，所以， 则，故C正确； 对于D，， 因为共面，故，故，故D正确. 故选：CD 11. 已知双曲线方程为，和分别为双曲线的左焦点和右焦点．设直线：和直线：相交于点Q，且恒有，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 平面上存在定点P，使得为定值 C. 的最大值为64 D. 点Q到直线距离的最大值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可得，所以点Q的轨迹为以为直径的圆，方程为，设点，则，可得其最大值判断A；由圆的性质可判断B，D；利用基本不等式判断C. 详解】根据题意，双曲线方程，则， 因为恒有，，则有，， 解得，所以：，：， 又，所以， 所以点Q的轨迹为以为直径的圆，方程为， 设点， 则 当，上式取最大值为，所以的最大值为，A正确； 平面上存在定点P（原点O），使得为定值4，B正确； 又因为，所以， 当且仅当点Q为圆与轴的交点时成立，C错误； 点Q到直线距离的最大值为圆的半径4，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：根据题意发现，从而点Q轨迹为以为直径的圆，方程为是解题关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与直线平行，则与之间的距离为______． 【答案】6 【解析】 【分析】由可得，利用两平行直线的距离公式即可求得. 【详解】由可得， 因，则，解得， 则与之间的距离为. 故答案为：6. 13. 在一家人工智能企业中，有一项重要的软件开发任务．甲、乙两位程序员独立地负责不同模块的开发工作．甲程序员技术扎实，在以往的项目中表现出色，他成功完成自己负责模块的概率为，乙程序员富有创新精神，善于解决复杂的技术问题，他成功完成自己负责模块的概率为，这个软件开发任务对于公司在人工智能领域的发展至关重要，只有当甲、乙程序员中的至少一人成功完成自己负责的模块，才能确保整个软件项目的顺利推进．那么，这个软件开发任务能够成功完成的概率为______． 【答案】##0.7 【解析】 【分析】根据条件，利用相互独立事件同时发生的概率公式及对立事件发生的概率公式，即可求解. 【详解】记事件：甲程序员成功完成自己负责的模块，事件：乙程序员成功完成自己负责的模块， 由题知，又当甲、乙程序员中的至少一人成功完成自己负责的模块，才能确保整个软件项目的顺利推进， 所以这个软件开发任务能够成功完成的概率为， 故答案为：. 14. 正方体的棱长为4，P是平面上一动点，E是棱CD上一点，若，且的面积是面积的4倍，则三棱锥体积的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件先证明，结合面积关系可得，在平面上建立平面直角坐标系，确定点的轨迹方程，结合体积公式求三棱锥体积的最大值. 【详解】由已知平面平面，所以， 因为平面平面，所以， 所以，又，所以, 又的面积是面积的4倍，可得, 在平面上以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 设，则， 由得，整理得， 即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 所以取最大值为，的最大值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线l：上． （1）分别求出直线AB的方程和线段AB的垂直平分线的方程； （2）求圆C的标准方程． 【答案】（1），． （2）． 【解析】 【分析】（1）由题可得AB中点的坐标及斜率，然后利用点斜式即可得出答案. （2）联立，求出圆心坐标，再由两点间的距离公式求出圆的半径，即可得出圆C的标准方程. 【小问1详解】 由题意得直线AB的斜率为， 直线AB的方程为，即， 又因为A，B两点的坐标为，，所以AB中点的坐标为， 因此，线段AB的垂直平分线的方程是，即． 【小问2详解】 由垂径定理可知，圆心C在AB的垂直平分线上也在直线l上， 联立，解得，所以圆心C的坐标为， 圆的半径为， 所以，圆C的标准方程为． 16. 某校高一年级设有篮球训练课，期末对学生进行篮球四项指标（往返运球上篮、一分钟投篮、四角移动、比赛）考核，满分100分．参加考核学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示． （1）由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的第40百分位数； （2）为了提升同学们的篮球技能，校方准备招聘高水平的教练．现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求至少一人来自的概率． 【答案】（1），77.5． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和为1列方程求出，再根据百分位数的定义列方程求解即得； （2）根据分层抽样，先求抽取的5人中分别来自和的人数，设出样本点，写出试验的样本空间和事件所含的样本点，利用古典概率模型公式求解即得. 【小问1详解】 由题意得：，解得， 因为，， 设第40百分位数为x，则， 解得，即第40百分位数为77.5． 【小问2详解】 由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有（人），记为， 在的有人，记为. 则“从中挑出两人进行试课”这个试验的样本空间为： ，则， 设事件M为“至少一人来自”， 则，则， 因此， 所以至少一人来自的概率为． 17. 函数，已知的图象上两相邻最高点的横坐标分别为和，点在图象上，且在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）求a与的值； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1），． （2）6 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式将函数化成，结合题设条件即可确定a与的值； （2）根据（1）已得，由求得，方法一：利用正弦定理和恒等变换知识，将表示成，由三角函数的性质即可求得周长的最大值；方法二：利用余弦定理和基本不等式，推理求出周长的最大值. 【小问1详解】 ． 由题意知，，因，则可得， 故， 由在的图象上，可得，故． 【小问2详解】 （解法一）由（1）知，则， 即，因为，所以， 所以，解得， 由正弦定理，， 则得，，因， 则 ． 因为，所以， 所以，即有， 从而，所以周长的最大值为6． （解法二）由（1）知，所以， 即，因为，所以， 所以，即， 在中，由余弦定理，， 由（1）知，即， 所以， 故，即， 当且仅当时，等号成立， 故，所以周长的最大值为6． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，是棱（含端点）上一点． （1）若．求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）是否存在这样的点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）． （3）存在，0或, 【解析】 【分析】（1）根据平面，由线面垂直的性质得线线垂直，即可根据平面得，结合线面垂直的判定即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角公式求解； （3）求解平面法向量，根据直线的方向向量与平面法向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 证明：因为底面，底面，所以， 因为底面是正方形，所以， 平面 所以平面， 又因为平面，则有， 在中，，是的中点，故有， 因为，平面，所以平面， 平面，则， 又因为，EF，平面，且， 所以平面． 【小问2详解】 以向量，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，，，． 设平面的法向量，则即 令，得，所以平面的法向量， 设平面的法向量，则即 令，得，所以平面的法向量， 设平面和平面的夹角为，则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由（2）知，，，， ，，，， 假设存在这样的点F则有， ， 设平面的法向量，则即 令，得，，所以平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，解得或， 因为，所以的值为0或， 故有的值为0或． 19. 已知动点到定点的距离是它到定直线的距离的倍，动点的轨迹与y轴的交点为M，的面积为． （1）求动点P的轨迹方程C； （2）直线l：与点P的轨迹方程C交于D，E两点，O为坐标原点．试求当t为何值时，恒为定值？并求此时面积的最大值． 【答案】（1） （2），1 【解析】 【分析】（1）由的面积为可求出，再根据题意可得，由此可得，再由结合两点间的距离公式化简可求出椭圆的方程. （2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及为定值求出t的值，再利用三角形的面积公式及基本不等式求出面积的最大值. 【小问1详解】 因为的面积为，， 所以，有， 又因为M到定直线的距离为， 由题意可知，， 又因， 所以，则定直线为， 因为，所以， 化简，整理得， 所以动点P的轨迹方程为C：． 【小问2详解】 设，，联立得， 则，即． 则有，， ． 当为定值时，即与无关，故，得， 此时 ， 又因为点O到直线l的距离， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 经检验，此时成立，所以面积的最大值为1． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汕尾市2024—2025学年度第一学期高中二年级教学质量监测 数 学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 135° 2. 已知空间向量，，若，则x的值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. －3 3. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相离 C. 相交 D. 外切 4. 双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 如图，在平行六面体中，M为AC和BD的交点，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为1或2”，记事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件A与事件B互斥 C 事件A与事件B相互独立 D. 7. 两位游客来到汕尾·保利金町湾“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上（B点处），一人站在楼梯斜坡上（A点处），如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线l，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为60°，A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧，A点到直线l的距离为AD，测得，B点到直线l的距离为BC，测得，且测得，则A，B两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数在上的最大值不超过4，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数，，，用表示，中较大者，记为．例如，则．下列选项正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 上不单调 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据28，13，15，31，16，18，20，24的中位数是20 B. 从小到大顺序排列的数据3，5，x，8，9，10，其极差与平均数相等，则方差为6.8 C. 数据，，，…，的平均数为，数据，，，…，的平均数为，则有 D. ，其中P为平面ABC上一点，O是平面ABC外一点，则有 11. 已知双曲线方程为，和分别为双曲线的左焦点和右焦点．设直线：和直线：相交于点Q，且恒有，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 平面上存在定点P，使得为定值 C. 的最大值为64 D. 点Q到直线距离的最大值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与直线平行，则与之间的距离为______． 13. 在一家人工智能企业中，有一项重要的软件开发任务．甲、乙两位程序员独立地负责不同模块的开发工作．甲程序员技术扎实，在以往的项目中表现出色，他成功完成自己负责模块的概率为，乙程序员富有创新精神，善于解决复杂的技术问题，他成功完成自己负责模块的概率为，这个软件开发任务对于公司在人工智能领域的发展至关重要，只有当甲、乙程序员中的至少一人成功完成自己负责的模块，才能确保整个软件项目的顺利推进．那么，这个软件开发任务能够成功完成的概率为______． 14. 正方体的棱长为4，P是平面上一动点，E是棱CD上一点，若，且的面积是面积的4倍，则三棱锥体积的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线l：上． （1）分别求出直线AB的方程和线段AB的垂直平分线的方程； （2）求圆C的标准方程． 16. 某校高一年级设有篮球训练课，期末对学生进行篮球四项指标（往返运球上篮、一分钟投篮、四角移动、比赛）考核，满分100分．参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示． （1）由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的第40百分位数； （2）为了提升同学们的篮球技能，校方准备招聘高水平的教练．现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求至少一人来自的概率． 17. 函数，已知的图象上两相邻最高点的横坐标分别为和，点在图象上，且在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）求a与的值； （2）若，求周长的最大值． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，是棱（含端点）上一点． （1）若．求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）是否存在这样的点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知动点到定点的距离是它到定直线的距离的倍，动点的轨迹与y轴的交点为M，的面积为． （1）求动点P的轨迹方程C； （2）直线l：与点P的轨迹方程C交于D，E两点，O为坐标原点．试求当t为何值时，恒为定值？并求此时面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $