5.3.4 带电粒子在磁场中的四类动态圆模型(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考物理二轮复习专题增分方略(福建专版)

主题(四)　带电粒子在磁场中的四类动态圆模型 模型1　“放缩圆”模型 1.模型适用条件:带电粒子进入匀强磁场的速度方向一定,进入磁场后做匀速圆周运动的半径不同。 2.轨迹圆特点:轨迹圆相切于入射点,圆心在垂直于初速度方向的同一直线上,如图所示。 3.常见分析思路:以入射点P为定点,圆心位于PP'直线上,将半径放缩作出粒子运动轨迹,从而探索出临界条件。 　　[例1]　(2024·上杭高三模拟)(双选)如图所示,边长为2L的等边三角形ABC内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场,D是AB边的中点。一质量为m、电荷量为-q的带电粒子从D点以不同的速率平行于BC边方向射入磁场,不计粒子重力。下列说法正确的是 (　　) A.粒子可能从B点射出 B.若粒子从C点射出,则粒子做匀速圆周运动的半径为L C.若粒子从C点射出,则粒子在磁场中运动的时间为 D.若粒子从AB边射出,则粒子在磁场中运动的时间相同,且时间最长 [解析]　带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场,由左手定则可知,粒子向下偏转,但由于BC边的限制,粒子不能到达B点,故A错误;若粒子从C点射出,如图甲所示,根据几何关系可得=+(2L-Lcos 60°)2,解得R2=L,则粒子轨迹对应的圆心角的正弦值为sin∠O==,则∠O=60°,粒子在磁场中运动的时间为t=T=×=,故B错误,C正确;由牛顿第二定律可知qvB0=m,解得r=,则粒子的速度越大,轨迹半径越大,如图乙所示,若粒子从AB边射出,则圆心角θ相同,且为最大,根据t=T,又T=,可知粒子在磁场中运动的时间相同,且时间最长,故D正确。 [答案]　CD 模型2　“旋转圆”模型 1.模型适用条件:带电粒子进入匀强磁场的速度大小一定,方向不同。 2.轨迹圆特点:如图所示,所有带电粒子的轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R=的圆上。 3.常见分析思路:将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转,从而探索粒子不同的出射范围所对应的临界条件。 [例2]　(2024·湖北三模)如图所示,在直角三角形MON区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场(未画出),磁感应强度大小为B,O点处的粒子源可向纸面内磁场区域各个方向发射带电粒子。已知带电粒子的质量为m、电荷量为+q、速率均为v=,ON长为d且∠ONM=30°,忽略粒子的重力及相互间的作用力。下列说法正确的是 (　　) A.自MN边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 B.自MN边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为 C.MN边上有粒子到达区域的长度为 D.ON边上有粒子到达区域的长度为 [解析]　粒子在磁场区域内做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力得qvB=m,结合v=,解得粒子的轨迹半径为r=,自MN边射出的粒子在磁场中运动的最短时间对应的运动轨迹交MN于A点,对应的圆心角为60°,自MN边射出的粒子在磁场中运动的最长时间对应的运动轨迹交MN于B点,对应的圆心角为90°,如图所示,根据T=,解得粒子的运动周期为T=,则自MN边射出的粒子在磁场中运动的最短时间和最长时间分别为tmin=T=,tmax=T=,故A、B错误;MN边上有粒子到达区域的长度为AB之间的距离,由几何关系可得AB=r=,故C正确;ON边上有粒子到达区域的长度为OC之间的距离,由几何关系可得OC=2×cos 30°=d,故D错误。 [答案]　C 模型3　“平移圆”模型 1.模型适用条件:带电粒子进入匀强磁场的速度大小和方向均相同,但入射点的位置不同。 2.轨迹圆特点:带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径相等,因入射点的位置不同,通过平移能确定在不同入射点的运动轨迹。射入直线边界的各粒子运动轨迹如图所示。 3.常见分析思路:将半径为R=的圆进行平移,从而探索粒子的临界条件。 　　[例3]　(2024·南安高三检测)如图所示,在xOy平面直角坐标系内,OA与x轴的夹角为37°,OA足够长,OA与x轴之间存在垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B=,在OA上分布着足够多的粒子源,可以向磁场中发射速度大小为v0、方向垂直于OA的带电粒子,带电粒子的质量为m、电荷量为+q,则带 电粒子能打到x轴距坐标原点最远位置的横坐标为 (　　) A.3L0 B.4L0 C.5L0 D.6L0 [解析]　带电粒子在磁场中运动过程中洛伦兹力提供向心力,有qv0B=,将磁感应强度B=代入解得r=3L0,OA上的粒子源向外发射的所有带电粒子在磁场中运动的轨迹为一平移圆,如图(a)所示,根据几何关系可得当粒子轨迹半径O1P与OA垂直时,打到x轴上的P点距坐标原点最远,根据几何关系得OP===5L0。另外要注意本题中带电粒子打到最远的距离不是轨迹与x轴相切时,如果相切时作出轨迹图如图(b)所示,根据几何关系有OQ===4L0,所以Q点不是距离坐标原点最远的点。故选C。 [答案]　C 模型4　“聚焦圆”模型 1.模型适用条件:带电粒子以相同速度平行进入圆形磁场且做圆周运动的半径与圆形磁场的半径相同。 2.轨迹圆特点:所有带电粒子偏转后会聚于一点,如图所示。 3.常见分析思路:以对准圆形磁场的圆心入射的粒子为研究对象,其必背离圆心离开磁场,从而得到聚集点。 　　[例4]　如图所示,x轴正方向水平向右,y轴正方向竖直向上。两个半径为r的圆形区域内有与xOy平面垂直的匀强磁场(包括圆形区域边界),宽度为2r的带电粒子流(粒子的质量为m、电荷量为+q)沿x轴正方向以速度v0射入圆心为A(0,r)、半径为r的圆形匀强磁场B1中,带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O,经过圆心为C(0,-r)、半径为r的圆形匀强磁场B2后,沿x轴正方向射出,不计粒子重力及带电粒子之间的相互作用。求: (1)这两个圆形匀强磁场的磁感应强度B1、B2的大小和方向; (2)带电粒子在这两个圆形匀强磁场中运动的最长时间; (3)增大带电粒子射入的速度,使正对圆心A(0,r)射入的粒子恰好不经过下方的磁场,求粒子射入的速度大小。 [解析]　(1)带电粒子流沿x轴正方向以速度v0射入圆心为A(0,r)、半径为r的圆形匀强磁场B1中,带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O,结合磁聚焦的原理可知,粒子的运动轨迹半径与磁场半径相等,即r1=r 由洛伦兹力提供向心力可得qv0B1=m 联立解得磁感应强度B1的大小为B1= 由左手定则可知,磁感应强度B1的方向垂直纸面向外; 全部粒子从O点进入圆心为C(0,-r)、半径为r的圆形匀强磁场B2后,沿x轴正方向射出,故该过程为磁聚焦的逆过程,同理可得r2=r 由洛伦兹力提供向心力可得qv0B2=m 联立解得磁感应强度B2的大小为B2= 由左手定则可知,磁感应强度B2的方向垂直纸面向里。 (2)粒子在两个磁场中的运动周期均为T= 当粒子从(0,2r)点射入,恰好沿磁场边缘运动,从(0,-2r)点射出,在磁场中的运动时间最长,恰好为一个周期T,故带电粒子在这两个圆形匀强磁场中运动的最长时间为tmax=T=。 (3)如图所示,当粒子的运动轨迹恰好与圆心为C、半径为r的圆形匀强磁场边缘相切时,恰好不经过下方的磁场,由几何关系可得sin θ==,解得θ=30°,故粒子的偏转角为60°,设轨迹半径为r3,可得tan 30°= 联立解得r3=r 由洛伦兹力提供向心力可得qv3B1=m 联立解得粒子速度大小为v3=v0。 [答案]　(1)大小均为,B1垂直纸面向外,B2垂直纸面向里　(2)　(3)v0 主题作业评价 (选择题每小题5分,本检测卷满分50分) 1.(2024·河南许昌一模)(双选)某科研小组为了芯片的离子注入而设计了一种新型质谱仪,装置如图所示。直边界MO的上方有垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,其中以O点为圆心、半径为R的半圆形区域内无磁场,芯片的离子注入将在半圆形区域内完成。离子源P放出的正离子经加速电场加速后在纸面内垂直于MO从M点进入磁场,加速电场的加速电压U的大小可调节,已知M、O两点间的距离为2R,离子的比荷为k,不计离子进入加速电场时的初速度及离子的重力和离子间的相互作用。下列说法正确的是 (　　) A.若加速电压U=,离子能进入半圆区域 B.若加速电压U≥,所有离子均不能进入半圆区域 C.若离子的运动轨迹刚好过O点,则该离子的速率为 D.能进入到半圆形区域内的离子在磁场中运动的最短时间为 解析:选AD　由动能定理得qU=m-0,由Bqv0=m,解得r==,离子能进入半圆形区域有rmin=,rmax=,解得≤U≤,A正确,B错误;离子能够经过圆心,则由几何关系+R2=,解得r1=R,由r1==,可得离子的速率v1=,故C错误; 离子运动时间最短时,其轨迹圆的圆心角最小,如图,由几何关系,当MN与半圆弧相切时α最大,最大满足sin αmax==,解得αmax=30°,可得圆心角最小为θmin=180°-2αmax=120°,由T==,能进入到半圆形区域内的离子在磁场中运动的最短时间为tmin=T=,故D正确。 2.(2024·漳州高三质检)(双选)如图,在直角三角形ABC内存在垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出),AB边长度为d,∠C=,现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子,已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0,运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为,不计粒子重力,则 (　　) A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为2t0 B.该匀强磁场的磁感应强度大小为 C.粒子在磁场中运动的轨道半径为d D.粒子进入磁场时速度大小为 解析:选BD　带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是T,即T=t0,则得周期T=4t0,故A错误;由T=,得B==,故B正确;设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ,则有T=,得θ=,画出该粒子的运动轨迹如图,设轨道半径为R,由几何知识得+Rcos 30°=d,可得R=d,故C错误;根据=,解得v=,故D正确。 3.如图所示,在x>0、y>0的空间中有恒定的匀强磁场,磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里,大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子,从x轴上的某点P沿着与x轴成30°角的方向射入磁场。不计重力的影响,则下列有关说法正确的是 (　　) A.只要粒子的速率合适,粒子就可能通过坐标原点 B.粒子在磁场中运动所经历的时间一定为 C.粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 D.粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 解析:选C　粒子由P点沿着与x轴成30°角的方向入射,则轨迹圆心在过P点且与速度方向垂直的直线上,如图所示,粒子在磁场中要想到达O点,转过的圆心角肯定大于180°,而因磁场有边界,故粒子不可能通过坐标原点,故A错误。当在x轴上射出磁场,其圆心角最大均为300°,运动时间均为t1=T=;当在y轴上射出磁场,其圆心角最小为120°,运动时间为t2==;当在y轴上射出磁场,临界的轨迹与y轴相切时,在y轴射出时的圆心角最大为240°,运动时间为t2==;故粒子在y轴上射出磁场所经历的时间为≤t≤,故B、D错误,C正确。 4.(2024·厦门高三质检)(双选)如图所示,半径为R的半圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,其中O点为圆心,M点为圆弧的中点。直径PQ处有一接收屏,粒子打到接收屏上即被吸收。一粒子源可以向纸面内各个方向发射速度为v(v未知)的带电粒子,粒子源可沿圆弧PQ移动。已知粒子的质量为m、电荷量为+q,忽略粒子重力及相互间的作用力,则下列说法正确的是 (　　) A.若粒子源位于M点,粒子速度v=,则粒子到达接收屏的最短时间为 B.若粒子源位于M点,粒子速度v=,则粒子到达接收屏的最短时间为 C.若粒子速度v=,则将粒子源沿圆弧从P移动到Q过程中,接收屏上有粒子到达区域的长度为R D.若粒子速度v=,则将粒子源沿圆弧从P移动到Q过程中,接收屏上有粒子到达区域的长度为R 解析:选BD　粒子在磁场中做匀速圆周运动,若粒子源位于M点,粒子速度v=,由洛伦兹力提供向心力qvB=m,可得r=,如图1所示,由几何关系可知,当粒子到达接收屏的时间最短时,弦长最短,最短弦长为R,则所对的圆心角为90°,最短时间为t=T=,A错误,B正确;若粒子速度v=,则在磁场中的运动半径为r=,在PM圆弧部分射出的粒子打到接收屏上离O最近的位置在图2中H点,在接收屏上HP部分有粒子打上,则HP=2r=,MQ圆弧部分射出的粒子打到接收屏上最靠近O的粒子圆周半径为r,圆心为O1,与PQ相切于L点,则接收屏上QL部分有粒子打上,设OL距离为x,由几何关系可知(R-r)2=r2+x2,解得x=R,则接收屏能接收到粒子的总长度为s=R+R-R=R,C错误,D正确。 5.(2024·陕西汉中一模)(双选)如图所示,等腰梯形abcd区域内存在垂直该平面向外的匀强磁场,ab=cd=2L,bc=L,∠bad=30°,磁感应强度大小为B,磁场外有一粒子源O,能沿同一方向发射速度大小不等的同种带电粒子,带电粒子的质量为m、电荷量为q,不计粒子重力。现让粒子以垂直于ad的方向正对b射入磁场区域,发现带电粒子恰好都从cd之间飞出磁场,则 (　　) A.粒子源发射的粒子均为带负电的粒子 B.粒子在磁场中运动的最短时间为 C.带电粒子的发射速度取值范围为<v≤ D.带电粒子的发射速度取值范围为<v≤ 解析:选BC　根据题意,粒子在磁场中向右偏转,由左手定则可知,粒子源发射的粒子均为带正电的粒子,故A错误;当粒子从c点飞出时,其运动的速度最大,轨迹所对应的圆心角最小,则运动时间最短,运动轨迹如图1所示,根据几何知识可知,粒子在磁场中运动的半径为R1=L,则由牛顿第二定律有qvmB=,解得vm=,粒子在磁场中运动的周期为T==,则在磁场中运动的最短时间为t=T=,故B正确;根据题意可知,当粒子的运动轨迹和cd相切时,粒子的速度是最小的,其运动轨迹如图2所示,设粒子做圆周运动的半径为R2,根据几何知识有R2+2R2=L+L,解得R2=L,解得带电粒子的最小发射速度为vmin=,可知带电粒子的发射速度取值范围为<v≤,故C正确,D错误。 6.(12分)(2023·福建高考)阿斯顿(F.Aston)借助自己发明的质谱仪发现了氖等元素的同位素而获得诺贝尔奖,质谱仪分析同位素简化的工作原理如图所示。在PP'上方存在一垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。两个氖离子在O处以相同速度v垂直磁场边界入射,在磁场中发生偏转,分别落在M和N处。已知某次实验中,v=9.6×104 m/s,B=0.1 T,落在M处氖离子比荷(电荷量和质量之比)为4.8×106 C/kg;P、O、M、N、P'在同一直线上;离子重力不计。 (1)求OM的长度; (2)若ON的长度是OM的1.1倍,求落在N处氖离子的比荷。 解析:(1)离子进入匀强磁场,洛伦兹力提供其做圆周运动的向心力,则有qvB=m 解得r== m=0.2 m OM的长度为OM=2r=0.4 m。 (2)若ON的长度是OM的1.1倍,则落在N处的离子运动轨迹半径为落在M处的离子运动轨迹半径的1.1倍,根据洛伦兹力提供向心力得q'vB=m' 整理得==≈4.4×106 C/kg。 答案:(1)0.4 m　(2)4.4×106 C/kg 7.(13分)如图所示,匀强磁场的磁感应强度B0=0.2 T,边界DE是圆弧,F点是圆心,半径R=EF=DF=0.4 m,BCFE是正方形,边界DC无磁场。一群不计重力、质量m=8×10-7 kg、电荷量q=2×10-3 C的带正电粒子以速度v=2×102 m/s沿垂直于AB且垂直于磁场方向射入磁场区域,不计粒子间的相互作用。试回答: (1)通过计算得出从AE边射入的粒子从哪些区域射出磁场? (2)从EB边射入的粒子从哪些区域射出磁场? 解析:(1)粒子进入磁场后做匀速圆周运动,根据洛伦兹力提供向心力,可得B0qv=,解得r=0.4 m 从AE边射入的粒子先做直线运动,设某一粒子从M点进入磁场,其轨迹圆心为O',如图所示,因r=R=0.4 m,可得虚线四边形O'MFD是菱形,则该粒子一定从D点射出,同理,从AE边射入的粒子全部从D点射出磁场; (2)由(1)中分析得,从EB边射入的粒子轨迹均为半径为r的圆弧,从E点射入的粒子从D点射出,从B点射入的粒子到达F点后,因CD边界上无磁场,做直线运动从D点射出,所以从EB边射入的粒子全部通过DF边界最后从D点射出磁场。 答案:(1)全部从D点射出磁场　(2)全部从D点射出磁场 学科网（北京）股份有限公司 $$