精品解析：江苏省无锡市2024-2025学年高三上学期期终教学质量调研测试数学卷

无锡市2024年秋学期高三期终教学质量调研测试 数学 2025.01 命题单位：锡山区教师发展中心 制卷单位：无锡市教育科学研究院 注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，根据即可求解. 【详解】. 故选：D. 2. 设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则和纯虚数的概念即可得到方程，解出即可. 【详解】为纯虚数， ，且， . 故选：B. 3. “”成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分，必要条件的定义逐项判断可得结论. 【详解】因为，可知是的不充分条件，故A错误； ，所以是的充分不必要条件，故B正确； ，所以是的充分必要条件，故C错误； 由，但，可知是的既不充分又不必要条件，故D错误. 故选：B. 4. 在二项式的展开式中二项式系数的和是32，则展开式中的系数为（ ） A. 40 B. 80 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数的和可得，再利用二项展开式的通项计算可得结果. 【详解】由展开式二项式系数和为，可得， 易知展开式第项， 令，即的系数为40， 故选：A. 5. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的顶点到渐近线的距离为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，一个焦点在抛物线的准线上，即可求出，进而得，得到顶点坐标，由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】双曲线渐近线的斜率为，则， 抛物线的准线为：，结合， ，不妨取顶点，渐近线， 故双曲线顶点到渐近线的距离为， 故选：C. 6. 已知向量，满足，且，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的运算得，然后利用模的运算求得，最后利用向量夹角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即，所以， 所以，所以， 所以，又，所以. 故选：A. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据求出，根据求出. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 8. 若定义在上的函数满足是奇函数，且，则的值为（ ） A. 42 B. 45 C. 420 D. 483 【答案】D 【解析】 【分析】利用可以得到函数的周期，利用为奇函数得到函数关于对称，进而可以求解. 【详解】，， ，则周期为， 为奇函数，关于对称， ，， ，， 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题抽出的题不再放回，则（ ） A. “第1次抽到代数题”与“第2次抽到代数题”相互独立 B. “第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件 C. “第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”的概率是 D. “在抽到有代数题的条件下，两道题都是代数题”的概率是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件，独立事件的定义判断AB，利用条件概率公式计算判断CD． 【详解】第一次抽到代数题为，第二次抽到代数题为 即不独立，故A错误； “第一次抽到代数题”与“第一次抽到几何体”是互斥事件，故B正确； ，故C正确； 记“抽到有代数题”为，两道题都是代数题为 ，故D正确. 故选：BCD. 10. 在棱长为2的正方体中，点是线段上的动点，则（ ） A. 平面 B. C. 存在点，使得 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】AB 【解析】 【分析】由平面可判断A；由平面，可判断B；由，可判断C；由，可判断D. 【详解】如图，正方体中，， ，，平面，平面 所以平面平面 平面平面对. 连接，则，又平面，平面， 所以，又，平面，所以平面, 又平面，所以， 同理可得，又，平面 所以平面，又平面，所以B对. 在中，，所以， C错； ，D错. 故选：AB. 11. 函数，下列说法中正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. ，使为周期函数 C. 当时，的极小值为1 D. 当时，恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用奇偶性和周期性的定义判断A，B；利用导数求函数极值判断C；设，利用导数求最小值大于0，判断D. 【详解】对于A，为偶函数，A对. 对于B，不是周期函数，则不可能是周期函数，B错. 对于C，时，， 令，则或 所以在和上单调递增，在和上单调递减， ，C对. 对于D，令， 设，则， 设，则， 当在上单调递增，， 在上单调递增，在上单调递增， ，即恒成立，D对. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：对于选项D，利用作差法判断不等式恒成立. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量与服从正态分布，且，则__________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据正态分布对称性求解指定区间的概率即可. 【详解】 ， ， 故答案为： 13. 在中，角所对的边分别为，若，则的面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据诱导公式和两角和正弦公式求出，利用正弦定理得，利用两角和正弦公式求出，最后代入三角形面积公式求解即可. 【详解】因为， 所以，所以， 所以，即，所以，所以， 所以， 所以. 故答案为： 14. 数学史上著名的“康托三分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作过程不断地进行下去.若使前次操作后剩余所有区间长度之和不超过，则需要操作的次数的最小值为__________，该次操作完成后依次从左到右第四个区间为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意抽象概括出去掉的各区间长度为通项公式为的数列，结合题意和等比数列前项求和法列出不等式，利用对数的运算性质解不等式，可得出的最小值；列举出最后一次操作后的前四个区间，即可得解. 【详解】第一次操作去掉了区间长度的，剩下、 第二次操作去掉个长度为的区间即长度和为， 剩下的区间从左到右依次为、、、， 以此类推，第次操作将去掉个长度为的区间， 则第次操作去掉的长度和为， 设，则， 所以，数列为等比数列，其首项为，公比为， 的前项和， 由题意令，则， 所以，即， 所以，所以， 第次操作后第个区间；第次操作后，第、个区间、， 第次操作后第、、、个区间分别为、、、 所以从左到右第个区间为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某学校对男女学生是否经常锻炼进行了抽样调查，统计得到以下列联表. 男生 女生 合计 经常锻炼 120 不经常锻炼 100 180 合计 200 （1）请完成表格，并判断有多大的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别有关； （2）（i）为了鼓励学生经常参加体育锻炼，采用分层抽样的方法从调查的不经常锻炼的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取4人参加座谈会，求“男女生都有人参会”的概率； （ii）用频率估计概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中经常锻炼的人数为，求的数学期望. 附表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 附：. 【答案】（1）表格见解析，有的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别有关. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用给定数据完善列联表，计算的观测值与临界值表比对作答即可； （2）（i）利用分层抽样求出抽取的9人中男女生人数，再利用古典概型结合对立事件概率求解作答；（ii）利用二项分布的期望公式计算作答. 【小问1详解】 男生 女生 合计 经常锻炼 120 100 220 不经常锻炼 80 100 180 合计 200 200 400 有的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别有关. 【小问2详解】 （i）男女抽取比例为抽取男生4人，女生5人 男女生都有人参会的概率. （ii）随机抽取一个经常锻炼的概率 的二项分布，. 16. 如图，四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧面底面是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系求出两平面的法向量，再结合图形即可得出二面角的余弦值. 【小问1详解】 证明：连接交于点，连接， 在平行四边形中，为的中点， 又为中点，， 平面平面， 平面. 【小问2详解】 平面平面， 在面内，过作，平面， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： ， 由可得，因此 设平面与平面的一个法向量分别为 所以，令，则，即； 同理，解得，令，则，即； 设二面角的平面角为，显然为锐角， 因此； 即二面角的余弦值为. 17 已知函数. （1）若在处有极小值，求的单调递增区间； （2）若函数的图象与直线相切，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据极值点的性质可得或6，并结合单调性检验即可得结果； （2）根据导数的几何意义求切线方程，结合题意列方程求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：， 因为在处有极小值，则，解得或6， 当时，则， 令，解得或；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 可知在处有极小值，符合题意； 当时，则， 令，解得或；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 可知在处有极大值，不符合题意； 综上所述：，的单调增区间为. 【小问2详解】 由（1）可知：， 设与切于， 则切线斜率， 可得切线方程为， 它与重合，则，显然， 整理可得，解得， 代入可得，所以. 18. 已知椭圆的右焦点为，且过点，直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）若四边形是平行四边形，求直线的方程； （3）若的内心在直线上，求证：直线过定点. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件代入可得； （2）法一:由四边形是平行四边形知过的中点，故为椭圆与椭圆关于对称椭圆的公共弦可求解；法二：设直线方程为，与椭圆方程联立结合中点坐标公式和韦达定理即可求解. （3）根据题意可得平分进而可得，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得，代回直线方程即可求解. 【小问1详解】 由题意知，得，故椭圆的方程为. 【小问2详解】 方法一：中点为，则也是中点， 原点关于点M对称的点为， 所以椭圆关于的对称椭圆方程为 则为这两个椭圆的公共弦，两方程相减得， 所以直线的方程为. 方法二：显然直线斜率存在，. 设直线方程为中点 由得，化简得， 所以，故， ， 四边形是平行四边形，的中点也是的中点， 得，符合， 故直线的方程为. 小问3详解】 证明：的内心在上，平分. 由题可设直线方程为， 由得，化简得， 所以，故， ，， 又，化简得， 所以 ，化简得，故， 代入，得， 直线方程为恒过定点. 【点睛】思路点睛：本题第三问根据内切圆圆心在上，轴，进而可得，进而联立方程利用韦达定理代入可得. 19. 从数列中选取第项，第项，第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”.已知数列中，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列. （1）求的值，并判断数列的“连续子列”是否是等比数列； （2）证明：； （3）若数列满足，且，数列的“连续子列”所有项的和记为，求，并求出满足的所有和的值. 【答案】（1）4，不是 （2）证明见解析 （3），或. 【解析】 【分析】（1）方法一：对恒成立，计算可得不成等比数列，可得结论；方法二：直接计算可得连续子列”，可得结论； （2）方法一：运用累乘法可求得结论；方法二：用数学归纳法证明即可； （3）方法一：，令，进而，进而求得，计算即可得的值.方法二：由（2）得，变形可得，累加得，计算即可得的值. 【小问1详解】 方法一：由题意知是公比为的等比数列， 对恒成立， 且，显然不成等比数列， 的“连续子列”不是等比数列. 方法二：， “连续子列”为，不等比； 【小问2详解】 方法一： 各式相乘 而时，也满足上式，. 法二：用数学归纳法证明，由（1）知成立，假设时成立，即， 由条件有，所以也成立， 综上所述：； 【小问3详解】 方法一：，令 ，又， 由 当时，，舍去；当时，，舍去；当时，符合. 当时，符合；时，矛盾，舍去 综上：或. 方法二：由（2）得， 注意到 将写成，就有 所以，这样就有 ， 只需计算，发现只有时分别有为正整数. 【点睛】方法点睛：由递推关系求通项公式时，常采用累加法与累乘法求通项公式，注意求数列前项和的方法中裂项相消法的运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 无锡市2024年秋学期高三期终教学质量调研测试 数学 2025.01 命题单位：锡山区教师发展中心 制卷单位：无锡市教育科学研究院 注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A B. C. 1 D. 2 3. “”成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 在二项式的展开式中二项式系数的和是32，则展开式中的系数为（ ） A. 40 B. 80 C. D. 5. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的顶点到渐近线的距离为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 6. 已知向量，满足，且，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 7 已知，则（ ） A. B. C. D. 5 8. 若定义在上的函数满足是奇函数，且，则的值为（ ） A. 42 B. 45 C. 420 D. 483 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题抽出的题不再放回，则（ ） A. “第1次抽到代数题”与“第2次抽到代数题”相互独立 B. “第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件 C. “第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”的概率是 D. “在抽到有代数题的条件下，两道题都是代数题”的概率是 10. 在棱长为2的正方体中，点是线段上的动点，则（ ） A. 平面 B. C. 存在点，使得 D. 三棱锥的体积为定值 11. 函数，下列说法中正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. ，使为周期函数 C. 当时，的极小值为1 D. 当时，恒成立 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量与服从正态分布，且，则__________. 13. 在中，角所对的边分别为，若，则的面积为______. 14. 数学史上著名的“康托三分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作过程不断地进行下去.若使前次操作后剩余所有区间长度之和不超过，则需要操作的次数的最小值为__________，该次操作完成后依次从左到右第四个区间为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某学校对男女学生是否经常锻炼进行了抽样调查，统计得到以下列联表. 男生 女生 合计 经常锻炼 120 不经常锻炼 100 180 合计 200 （1）请完成表格，并判断有多大的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别有关； （2）（i）为了鼓励学生经常参加体育锻炼，采用分层抽样的方法从调查的不经常锻炼的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取4人参加座谈会，求“男女生都有人参会”的概率； （ii）用频率估计概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中经常锻炼的人数为，求的数学期望. 附表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 附：. 16. 如图，四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧面底面是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 已知函数. （1）若在处有极小值，求的单调递增区间； （2）若函数的图象与直线相切，求实数的值. 18. 已知椭圆的右焦点为，且过点，直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）若四边形是平行四边形，求直线方程； （3）若的内心在直线上，求证：直线过定点. 19. 从数列中选取第项，第项，第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”.已知数列中，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列. （1）求的值，并判断数列的“连续子列”是否是等比数列； （2）证明：； （3）若数列满足，且，数列“连续子列”所有项的和记为，求，并求出满足的所有和的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$