2.2.1 三角恒等变换与解三角形 题点考法讲评(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学二轮复习专题增分方略

三角恒等变换与解三角形 习题讲评（二） 三角恒等变换主要考查利用和、差、倍角公式化简求值,以选择题、填空题为主;解三角形主要考查利用正、余弦定理求边、角、面积,判断三角形形状等,其中三角恒等变换可作为工具,将三角函数与解三角形相结合求解最值、范围问题,各种题型均可出现,可与三角函数、平面向量、基本不等式、立体几何等融合命题. 2 题点考法讲评 教学环节一 (每“教学点”学生先试作,教师再据情讲授) CONTENTS 目录 1 2 教学点(一)　三角恒等变换 教学点(二)　正弦定理与余弦定理 3 教学点(三)　解三角形中的范围、 最值问题 三角恒等变换 教学点（一） 5 [例1]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)= (　　) A.-3m B.- C. D.3m 解析:法一:因为cos(α+β)=m,所以cos αcos β-sin αsin β=m,而tan αtan β=2,所以sin αsin β=2cos αcos β,故cos αcos β-2cos αcos β=m,即cos αcos β=-m,从而sin αsin β=-2m,故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m,故选A. √ 6 法二: 思维路径:题干中有2个未知角,由题干条件可将其中一个角特殊化处理,即取β=,从而很容易得sin α,cos α. 取β=,α为第一象限角,则tan α=2,所以sin α=,cos α=,所以(sin α-cos α)=.又cos(α+β)=m,所以m=-,所以cos(α-β)=(cos α+sin α)==-3m. 7 [例2]　(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　　.  解析:由题意得tan(α+β)===-2, 因为α∈,β∈,k,m∈Z, 则α+β∈((2m+2k)π+π,(2m+2k)π+2π),k,m∈Z,又因为tan(α+β)=-2<0, - 8 则α+β∈, (注意:缩小α+β的范围)k,m∈Z, 则sin(α+β)<0,则=-2, 联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1, 解得sin(α+β)=-. 9 [思维建模] 1.三角恒等变换的“四大策略” (1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan 45°等. (2)项的分拆与角的配凑:如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等. (3)降幂与升幂:正用二倍角公式升幂,逆用二倍角公式降幂. (4)弦、切互化:一般是切化弦. 2.三角恒等变换的关键点 (1)解决三角函数的求值问题关键是把“所求角”用已知角表示. (2)求角问题要注意角的范围,根据已知条件将所求角的范围尽量缩小避免产生增解. [练1]　已知角α,β满足tan α=,sin(2α+β)+sin β=3cos(α+β)sin α,则tan β=(　　) A. B. C. D.2 解析:由2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α,得sin(2α+β)+sin β=sin[(α+β)+α]+sin[(α+β)-α]=2sin(α+β)cos α, √ 即时训练 12 (多元思维:题干中的等式可以直接利用和差化积公式“sin θ+sin φ=2sin·cos”秒得sin(2α+β)+sin β=2sin(α+β)cos α) 所以2sin(α+β)cos α=3cos(α+β)sin α,所以tan(α+β)=tan α=,所以tan β=tan[(α+β)-α]==. 13 [练2]　(2024·重庆模拟)已知sin=,α∈(0,π),则sin=(　　) A. B. C. D. √ 14 解析:因为α∈(0,π),所以α+∈.又0<<,所以α+∈,所以cos=-=-.所以sin 2=2sincos=-,所以cos 2α=sin=-.又cos 2=1-2sin2=, (注意:α∈(0,π),那么2α∈(0,2π),我们无法确定sin 2α的符号,所以不能直接根据cos 2α求sin 2α) 15 所以sin 2α=-cos=-,所以sin=sin 2αcos+cos 2αsin=-×-×=. [练3]　已知α,β∈(0,π),且cos α=,sin(α+β)=,则α-β=(　　) A.- B. C.-或 D.或- √ 17 解析:因为cos α=<,且α∈(0,π),所以α∈, 则sin α=,所以sin 2α=2sin αcos α=2××=, cos 2α=1-2sin2α=1-2×=-<0,则2α∈. 因为β∈(0,π),所以α+β∈. 18 又0<sin(α+β)=<,则α+β∈,所以cos(α+β)=-=-,故sin(α-β)=sin[2α-(α+β)]=sin 2αcos(α+β)-cos 2αsin(α+β)=×-×=-. 因为α∈,β∈(0,π),所以α-β∈,所以α-β=-. 正弦定理与余弦定理 教学点（二） 20 [典例]　(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,且a2+b2-c2=ab. (1)求B; 解:在△ABC中,a2+b2-c2=ab, 由余弦定理可知cos C===.因为C∈(0,π),所以C=. 因为sin C=cos B,所以cos B=,又B∈(0,π),所以B=. 21 (2)若△ABC的面积为3+,求c. 解: 由(1)可得B=,C=,则A=π--=,sin A=sin=sin= ×+×=,由正弦定理得==, 从而a=·c=c,b=·c=c, 由三角形面积公式,可知S△ABC=absin C=·c·c·=c2, 由已知△ABC的面积为3+,可得c2=3+,所以c=2. 22 [思维建模]　应用正、余弦定理解三角形的步骤 边角 互化 正确分析已知等式的边角关系,判断是角化边还是边化角 对于边的“一次齐次式”,常利用正弦定理化边为角 对于含角的余弦值的或含边的二次关系的,常利用余弦定理进行边角互化 化简 利用三角恒等变换或同角三角函数的基本关系式进行化简 得结论 结合三角形的内角和定理、大边对大角等求出三角形的基本量或边、角间的关系 [练1]　(2024·全国甲卷)在△ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+sin C=(　　) A. B. C. D. 即时训练 √ 即时训练 24 解析:因为B=,b2=ac,则由正弦定理得sin Asin C=sin2B=.由余弦定理,得b2=a2+c2-ac=ac,即a2+c2=ac.根据正弦定理得sin2A+sin2C=sin Asin C=,所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=.因为A,C为三角形内角,所以sin A+sin C>0,所以sin A+sin C=. 25 [练2]　在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin B=-bcos A,角A的平分线AD交边BC于点D,且AD=1. (1)求∠BAC; 解:由asin B=-bcos∠BAC,结合正弦定理可得sin∠BACsin B=-sin Bcos∠BAC,易知sin B≠0,所以sin∠BAC=-cos∠BAC,故tan∠BAC=-.又∠BAC∈(0,π),故∠BAC=. 26 (2)若BC=2,求△ABC的面积. 解:由题意可知S△ABD+S△ACD=S△ABC,即csin+bsin=bcsin,化简可得b+c=bc.在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC===-,从而=-,得bc=5或bc=-4(舍去).故S△ABC=bc·sin∠BAC=×5×=. 27 解三角形中的范围、最值问题 教学点（三） 28 [典例]　(2024·盐城模拟)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin2+bsin2=. (1)求角C的大小; 解:在△ABC中,asin2+bsin2=+ =-=-(acos B+bcos A) =-=, 29 因为asin2+bsin2=,所以=, 化简得a2+b2-c2=ab,由余弦定理得cos C==, 又C∈(0,π),所以C=. 30 (2)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围. 解:由正弦定理知== == =2=2sin, 31 由△ABC为锐角三角形可知而C=, 所以得<A<,所以<A+<, 所以<sin≤1,即 <2sin≤2, 则的取值范围为(,2]. 32 [思维建模] 1.最值、范围问题的解题策略 定基 本量 根据题意画出图形,找出三角形中的边、角,利用正弦、余弦定理求出相关的边、角,并选择边、角作为基本量,确定基本量的范围 构建 函数 根据正弦、余弦定理或三角恒等变换,将所求范围的变量表示成函数形式 求最值 利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值 2.最值、范围问题中的易错点 (1)涉及求范围的问题,一定要搞清变量的范围;若已知边的范围,求角的范围可利用余弦定理进行转化. (2)注意题目中的隐含条件,如A+B+C=π,0<A<π,|b-c|<a<b+c,三角形中大边对大角等.  在△ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c,已知=,a=3. (1)求角A; 解:因为=,由正弦定理得=, 整理得到2sin Bcos A-sin Ccos A=cos Csin A, 即2sin Bcos A=sin Ccos A+cos Csin A=sin(C+A)=sin B. 又B∈(0,π),所以sin B≠0,得到cos A=.又A∈(0,π),所以A=. 即时训练 35 (2)若点D在边AC上,且=+,求△BCD面积的最大值. 解:因为=+, 所以=+ =++=+=. 又S△BCD=S△ABC=×bcsin A=bcsin=bc, 36 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 得到32=b2+c2-2bccos≥2bc-bc=bc,所以bc≤9, 所以S△BCD=bc≤×9=, 当且仅当b=c=3时取等号, 所以△BCD面积的最大值为. 本课结束 $$