2.1.2 三角函数的图象与性质课时作业讲评(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学二轮复习专题增分方略

课时作业讲评 教学环节二 (教师批阅作业后,据情选点讲评) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1.(2024·苏锡常镇调研)函数f(x)=sin在区间(0,2π)内的零点个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:令f(x)=sin=0,得2x+=kπ(k∈Z),则x=-+(k∈Z).故当k=1时,x=;当k=2时,x=;当k=3时,x=;当k=4时,x=,所以f(x)在(0,2π)内共有4个零点,故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 2.(2024·潍坊二模)将函数f(x)=cos x的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到g(x)的图象,则g(x)=(　　) A.sin 2x B.sin C.-sin D.cos 2x √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 解析:将函数f(x)=cos x的图象向右平移个单位长度,得到y=cos=sin x的图象,再将所得图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到g(x)=sin的图象.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 3.(2024·鹰潭三模)已知函数f(x)=acos ωx+sin ωx(ω>0),若f=且f(x)≥f,则ω的最小值为(　　) A.11 B.5 C.9 D.7 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 解析:由f(x)≥f可知,f(x)在x=取得最小值,所以函数f(x)的一条对称轴为x=.又0+=2×,因此f=f(0)=,即a=.所以f(x)=cos ωx+sin ωx=2sin.又f(x)在x=取得最小值,可知ω+=+2kπ,k∈Z,解得ω=7+12k,k∈Z.又ω>0,所以k=0时,ω取得最小值为7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 4.已知f(x)=Asin+B(A>0,ω>0),f(x)max=f(x1)=3,f(x)min =f(x2)=-1,且|x1-x2|的最小值为,则函数f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=2sin-1 B.f(x)=2sin+1 C.f(x)=2sin-1 D.f(x)=2sin+1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 解析:由f(x)max=A+B,f(x)min=-A+B,即解得设f(x)的最小正周期为T,由|x1-x2|的最小值为,得T=,即T=π.因为ω>0,所以ω==2,故f(x)=2sin+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 知识拓展: (1)正弦曲线和余弦曲线相邻的两条对称轴之间距离的2倍是一个周期. (2)正弦曲线和余弦曲线相邻的一条对称轴和一个对称中心之间距离的4倍是一个周期. (3)正切曲线相邻的两个对称中心之间距离的2倍是一个周期. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 5.(2024·梅州二模)若把函数f(x)=sin x+acos x的图象向左平移个单位长度后得到的是一个偶函数,则a=(　　) A. B.- C. D.- 解析:把函数f(x)=sin x+acos x的图象向左平移个单位长度后得到g(x)=sin+acos的图象, √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 又g(-x)=g(x),则sin+acos=sin+acos, 即cos x-sin x+a=sin x+cos x+a,即sin x=sin x, 该方程对任意x∈R恒成立,则a-=-a,解得a=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 6.(2024·天津高考)已知函数f(x)=sin 3(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)在的最小值为(　　) A.- B.- C.0 D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 解析:由f(x)的最小正周期为π,得π=,所以ω=, 所以f(x)=sin(2x+π)=-sin 2x.当x∈时,2x∈, 当2x=时,y=sin 2x取得最大值.所以f(x)min=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 7.(2024·山东二模)[多选]已知函数f(x)=sin x·|cos x|,下列说法正确的是 (　　) A.f(x)是奇函数 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)的最小值为- D.f(x)在上单调递增 解析:函数f(x)的定义域为R,有f(-x)=sin(-x)|cos(-x)|=-sin x|cos x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,A正确; √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 因为f=sin=-,f=sin·=, f≠f,所以π不是f(x)的周期,B错误;因为f(x)=sin x·|cos x|≥-|sin xcos x|=-|sin 2x|≥-,f=-,所以f(x)的最小值为-,C正确;因为f=sin=0,f(0)=sin 0|cos 0|=0,故f=f(0),所以f(x)在上不单调递增,D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 8.(2024·聊城三模)设函数f(x)的图象与函数y=2cos πx的图象关于x轴对称,将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则函数y=的图象与y=g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 解析:由题意得f(x)=-2cos πx,则g(x)=-2cos =-2sin πx(x∈[0,2]). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 函数y=的图象由函数y=的图象向右 平移1个单位长度得到.因为函数y=的图象 与y=g(x)的图象均关于点(1,0)对称,在定义域 内有4个交点.所以函数y=的图象与y=g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为2×2=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 9.[多选]函数f(x)=Ksin(ωx+φ)的部分图象如图所示,A,D为图象与x轴的交点,B,C分别为图象的最高点与最低点,若·=,则下列结论正确的是(　　) A.K= B.△ABC的面积为2 C.ω=2 D.x=是f(x)的一条对称轴 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 解析: 审题破题:利用三角函数的图象求解选项A;利用·=计算出∠BAC=90°,利用三角函数图象的对称性求解AD=2,求解选项B,C;利用三角函数对称轴处三角函数值取最值求解选项D. 由题图可知K=,故A正确. 因为·==||||cos∠ABC=,所以||cos∠ABC=||,所以cos∠ABC=,所以∠BAC=90°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 由对称性知AB=BD=CD,则AD=BD=AB,所以△ABD为正三角形.又函数最高点函数值为,所以AD=2,所以AB=2,AC=2,所以△ABC的面积为×AB·AC=×2×2=2,故B正确. 因为函数周期为2×2=4,所以ω==,故C错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 由上知f(x)=Ksin(ωx+φ)=sin,将x=代入得f=sin=0,则结合图象解得φ=,故f(x)=sin.令x=,得f=sin=-,则x=是f(x)的一条对称轴.故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 10.[多选]已知函数f(x)=sin(ω>0),则下列说法正确的是(　　) A.若ω=1,则点是f(x)图象的对称中心 B.若f(x)≤f恒成立,则ω的最小值为2 C.若f(x)在上单调递增,则0<ω≤ D.若f(x)在[0,2π]上恰有2个零点,则≤ω≤ √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 解析:若ω=1,则f=sin=sin π=0,由正弦函数的图象可知是f(x)图象的对称中心,故A正确; 若f(x)≤f恒成立,则ω×+=+2kπ(k∈Z), 解得ω=2+12k(k∈Z).又ω>0,所以ω的最小值为2,故B正确; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 令g(x)=ωx+(ω>0),显然g(x)在上单调递增,且g(0)=,若f(x)在上单调递增,则g=ω×+≤,解得ω≤,所以0<ω≤,故C正确; 当x∈[0,2π]时,ωx+∈,若f(x)在[0,2π]上恰有2个零点,则2π≤2ωπ+<3π,(注意:这里要大于等于第2个零点2π,而小于第3个零点3π,注意不等式端点值的取舍)解得≤ω<,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 11.[多选]已知函数f(x)=sin 2x-cos2xsin 2x,则 (　　) A.f(x)是周期为的周期函数 B.点是函数f(x)图象的对称中心 C.f(x)的最大值为 D.直线x=是函数f(x)图象的对称轴 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 解析:由f(x)=sin 2x-cos2xsin 2x=sin 2x(1-cos2x)=sin 2x·sin2x= sin 2x·=-,因为的最小正周期为=π,的最小正周期为=,故函数f(x)的最小正周期为π,故A错误; 由f+f=sin(π+2x)sin2+sin(π-2x)sin2=0,可得点是函数f(x)图象的对称中心,故B正确; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 f'(x)=cos 2x-cos 4x=cos 2x-(2cos22x-1)=-2cos22x+cos 2x+1=(1-cos 2x)(2cos 2x+1),因为1-cos 2x≥0,所以当f'(x)≥0时,即2cos 2x+1≥0,则cos 2x∈,当f'(x)≤0时,即2cos 2x+1≤0,则cos 2x∈,因为f(x)的周期为π,所以只需讨论x∈[0,π]内的f(x)的最大值,此时当2x∈,2x∈时,f'(x)≥0,当2x∈,f'(x)≤0,所以当2x=时,即x=时,f(x)有极大值.又f=sin -sin =>f(π)=0,故C正确; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 因为f(0)=0,f=-,且0与关于直线x=对称, 所以f≠f, 所以x=不是函数f(x)的对称轴,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 12.(2024·南通考前押题卷)已知函数f(x)=sin 2x,若存在非零实数a,b,使f(x+a)=bf(x)恒成立,则满足条件的一组值可以是a=　 　　,b=　 　　　.  解析:若f(x+a)=bf(x),则sin[2(x+a)]=bsin 2x, 当a=2π时,sin 2x=bsin 2x,所以b=1, 故可取a=2π,b=1.(答案不唯一) 2π(答案不唯一) 1(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 13.已知函数f(x)=(sin x+cos x)cos x-,若f(x)在区间上的值域为,则实数m的取值范围是　　　　 .  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 解析:依题意,f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin,当x∈时,2x+∈.显然sin=-,sin=1,且正弦函数y=sin x在上单调递减,则由f(x)在区间上的值域为,得≤2m+≤,解得≤m≤,所以实数m的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 14.(2024·厦门质检)将函数f(x)=sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,若函数y=f(x)和y=g(x)在(0,π)上都恰好存在两个零点,则ω的取值范围是　　　　　.  审题破题:本题的解题关键是由角的范围确定函数y=f(x)和y=g(x)在(0,π)上两个零点的值,进而通过不等式求ω的取值范围. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 解析:当x∈(0,π)时,ωx+∈,函数y=f(x)在(0,π)上的两个零点只能满足ωx+=π或ωx+=2π,所以2π<ωπ+≤3π,解得<ω≤　①.由题意,得g(x)=sin,当x∈(0,π)时,ωx-+∈.由①知-∈,函数y=g(x)在(0,π)上的两个零点只能满足ωx-+=0或ωx-+=π,所以π<+≤2π,解得1<ω≤　②.由①②,得ω的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 15.[多选]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图中实线所示,图中圆C与f(x)的图象交于M,N两点,且M在y轴上,则下列结论正确的有 (　　) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 A.函数f(x)的最小正周期是π B.函数f(x)在上单调递减 C.曲线y=f(x)向左平移个单位长度后关于直线x=对称 D.若圆C的半径为,则f(x)=sin 解析:由题图可知C点的横坐标为=①,则T=-=,即T=π,故A正确; √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 因为ω>0,所以ω==2,得f(x)=Asin(2x+φ),将点代入f(x),得Asin=0,即-+φ=2kπ(k∈Z)②,得φ=+2kπ(k∈Z).因为0<φ<π,所以φ=,故f(x)=Asin.当-<x<-时,-<2x+<-,又A>0,y=Asin z在上不具有单调性,故函数f(x)在上不是单调递减的,故B错误; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 记函数f(x)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为g(x)=Asin=Asin=Acos 2x,其中g=Acos π=-A,故g(x)的图象关于直线x=对称,故C正确; 若圆C的半径为,连接CM(图略),则CM=,又xC=,所以+OM2=,解得OM=.将代入f(x)=Asin中,得Asin=,解得A=,则f(x)=sin,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 关键点拨:①处,掌握三角函数的对称性是关键,否则得不出M,N关于C对称; ②处,注意点是函数f(x)的“上升零点”,因此-+φ=2kπ(k∈Z),而不是-+φ=kπ(k∈Z). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 16.[多选]已知函数f(x)=asin πx+bcos πx(b>0)的图象关于点对称,若|f(x1)-f(x2)|=|f(x3)-f(x4)|=|f(x5)-f(x6)|=4b(0<x1<x2<x3<x4<x5<x6),则下列说法正确的有(　　) A.a=-b B.函数f(x)的最大值为4b C.|x1-x2|的最小值为1 D . xi的最小值为10 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 解析:由f(x)的图象关于点对称,得f=0,即a+b=0,解得a=-b,故A正确; 因为f(x)=-bsin πx+bcos πx,b>0,所以f(x)=2bcos,f(x)的最大值为2b,最小值为-2b,故B错误; 由|f(x1)-f(x2)|=4b,得f(x1)与f(x2)一个是最大值,另一个是最小值,即|x1-x2|的最小值为==1(T为f(x)的最小正周期),故C正确; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 作出f(x)的大致图象,如图所示, 令πx+=kπ,k∈Z,得f(x)图象的对称轴 方程为x=k-,k∈Z,结合C中分析与|f(x1)- f(x2)|=|f(x3)-f(x4)|=|f(x5)-f(x6)|=4b,得当 xi 最小时,f(x1)=f(x3)=f(x5)=-2b,f(x2)=f(x4)=f(x6)=2b且xi是f(x)在y轴右侧连续的最值点,即对应的x1,x2,…,x6如图所示, xi的最小值为++…+=19.故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 习得方法:三角函数与直线、曲线交点问题的解法 (1)抓住性质,利用诱导公式及辅助角公式化简三角函数式. (2)作图象,根据解析式确定周期、振幅、相位等基础位置把图象作出来. (3)确认交点位置,注意如果两个三角函数值相差2A,必然有一个是最大值,一个是最小值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 17.函数f(x)=Acos x(A≠0)的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到曲线C,若C在x=0对应的点处的切线方程是y=x+,写出曲线C的一条对称轴方程:　　　 　.  解析:记函数f(x)=Acos x(A≠0)的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后所得图象对应的函数为g(x),则f(x-φ)=Acos(x-φ)=g(x),切点坐标为(0,Acos φ),g'(x)=-Asin(x-φ),(注意:复合函数求导注意系数的符号)g'(0) =-Asin(0-φ)=Asin φ. x=(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 所以切线方程为y-Acos φ=Asin φ(x-0),即y=Asin φ·x+Acos φ,则又0<φ<π,解得所以g(x)=2cos.由x-=kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z,当k=0时,x=,所以曲线C的一条对称轴的方程可以为x=. 多元思维:得到g(x)的解析式后,其实无须利用整体代入法求对称轴,只需找到一个特值,如根据余弦函数图象的一条对称轴为直线x=0,令x-=0,得直线x=即为所求. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 18.已知函数f(x)=1+tan(ω∈Z且ω≠0)在区间上单 调递减,则函数g(x)=2cos2ωx+2sin ωxcos ωx-1在上的最大值与最小值的和为　　 .  解析:设f(x)的最小正周期为T,则 -π=,则|ω|≤2①.因为f(x)=1+tan(ω∈Z且ω≠0)在上单调递减,而函数y=tan x在(k∈Z)上单调递增, 所以ω<0.又ω∈Z,所以ω=-1或ω=-2②. -1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 ①当ω=-1时,f(x)=1+tan,由π<x<⇒-<-x+<-,即-x+∈⊆,符合题意; ②当ω=-2时,f(x)=1+tan,由π<x<⇒-<-2x+<-,-∈,结合正切函数图象可知-2x+≠-,则函数f(x)在上不具有单调性,不符合题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 所以ω=-1,则g(x)=2cos2x-2sin xcos x-1=cos 2x-sin 2x=2=2cos,当x∈时,≤2x+≤,所以g(x)max=2cos= , 所以g(x)max+g(x)min=-1.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 易错提醒:①处,不要混淆y=sin x,y=cos x与y=tan x的最小正周期; ②处,不要忽视验证ω=-1或ω=-2是否满足单调性,否则造成多解; ③处,y=2cos的最大值为2,最小值为-2,但结合余弦函数的图象可知在上,g(x)=-2可以取到,g(x)=2取不到,不要想当然地以为都能取到. 本课结束 $$