2.1.1 三角函数的图象与性质 题点考法讲评(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学二轮复习专题增分方略

三角函数的图象与性质 习题讲评（一） 三角函数的图象与性质的命题主要集中于由三角函数的周期性、单调性和图象的对称性求参数或函数值、三角函数图象的变换,由函数的部分图象求函数解析式中的参数,进而求值,及给出三角函数解析式,借助图象数形结合求最值、交点个数等,一般在选择题、填空题中呈现,难度中档,有时与向量、导数相结合在压轴题的位置出现. 2 题点考法讲评 教学环节一 (每“教学点”学生先试作,教师再据情讲授) CONTENTS 目录 1 2 教学点(一)　三角函数的图象及应用 教学点(二)　三角函数的性质及应用 3 教学点(三)　利用三角函数性质 求参数值或范围 三角函数的图象及应用 教学点（一） 5 [例1]　(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 √ 6 解析:因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π,函数y=2sin的最小正周期为T=,所以在x∈[0,2π]上函数y=2sin有三个周期的图象,在坐标系中结合五点法 画出两函数图象,如图所示, 由图可知,两函数图象有6个交点. 故选C. 7 [例2]　将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),然后向右平移个单位长度,得到函数g(x)=sin(ωx+φ) 的图象,函数g(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为(　　) 8 A.f(x)=sin B.f(x)=sin C.f(x)=sin D.f(x)=sin 解析:由题图得g=1,即sin=,又点出现在函数图象的上升阶段,则ω+φ=+2kπ,k∈Z　①.由题图得g=0,且点出现在函数图象的下降阶段,则ω+φ=π+2kπ,k∈Z　②. √ 9 联立①②,解得ω=2,φ=-+2kπ,k∈Z,又|φ|<,故φ=-,则g(x)=sin.函数g(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin=sin的图象, 然后将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到函数f(x)的图象,则f(x)的解析式为f(x)=sin. [思维建模] 确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步骤和方法 (1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b= . (2)求ω.确定函数的最小正周期T,则ω= . (3)求φ.常用方法如下: ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入. ②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口. [练1]　为了得到函数y=-cos的图象,只需将函数y=sin的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 √ 即时训练 12 解析:法一: 审题破题:先把平移前、后的函数化为同名三角函数,再根据“左加右减”判断.此题根据-cos=sin x变形. 因为y=-cos=-cos=sin=sin 2,y=sin 2=sin 2=sin, 所以将y=sin的图象向右平移个单位长度即可得到y=-cos的图象,故选D. 13 法二:函数y=sin的图象的一个最高点为,y=-cos的图象的一个最高点为,-=,所以应向右平移个单位长度. 收获感悟:平移关键点法解题的优势在于不需要将三角函数化为同名三角函数,直接找最高点即可快速判断. 14 [练2]　(2024·衡阳联考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) 的部分图象如图所示,f(0)=f =f,则f=(　　) A.0 B.-1 C.- D.- √ 15 解析:由题图可知,A=2,由f(0)=f=f,得T=-0=,且T=,所以=,解得ω=3,所以f(x)=2sin(3x+φ).由f=f,得f=f=-2,所以f=2sin=-2,即+φ=-+2kπ,k∈Z,即φ=-+2kπ,k∈Z,且|φ|<,当k=1时,φ=,所以f(x)=2sin,则f=2sin=-. 16 [练3]　(2024·长沙三模)已知函数f(x)=2sin x+2|cos x|,若f(x)=λ在[0,2π]上有且仅有4个不相等的实数根,则λ的取值范围为　　　 　.  解析:由题意知,当x∈[0,2π]时, f(x)=2sin x+2|cos x|= (2,2)∪(2,4) 17 作出f(x)在[0,2π]上的图象,如图所示, 结合图形可知,若f(x)=λ在[0,2π]上有且 仅有4个不相等的实数根,则2<λ<4且λ≠2, 即λ的取值范围为(2,2)∪(2,4). 解题关键:根据函数解析式作出函数图象,将方程的根的问题转化为f(x)的图象与直线y=λ的交点个数的问题,由于本题中函数f(x)是分段函数,故使用“五点作图法”作图时要找准关键点,作出准确图象,否则无法根据图象得解. 18 三角函数的性质及应用 教学点（二） 19 [例1]　(多选)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ) 满足:∀x∈R,f(x)-f≤0成立,且f(x)在上有且仅有2个零点,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)在区间上单调递减 C.函数f(x)的一个对称中心为 D.函数f是奇函数 √ √ √ 20 解析:因为∀x∈R,f(x)-f≤0恒成立,所以f(x)的最大值为f,所以ω+φ=2kπ,k∈Z,即φ=-ω+2kπ,k∈Z.当x∈时,ωx+φ∈,又φ∈,f(x)在上有且仅有2个零点,所以<ω+φ≤, 21 所以<ω-ω+2kπ≤,k∈Z,即<2kπ≤,k∈Z,解得k=1,所以φ=-ω+2π.因为0<ω<6,ω∈N*,φ∈,所以ω=5,φ=,所以f(x)=2cos.函数f(x)的最小正周期T=,故A错误; 当x∈时,5x+∈,又y=cos x在上单调递减,所以函数f(x)在区间上单调递减,故B正确; 因为f=2cos=2cos=0,所以函数f(x)的一个对称中心为,故C正确; 因为f=2cos=2cos=2sin 5x,为奇函数,故D正确. 知识拓展:“有界性”是一个高等数学中的概念,表述为如果存在正数M,使得|f(x)|≤M对任意x∈X成立,那么函数在X上有界.显然f(x)=sin x,f(x)=cos x都在R上有界,利用这个性质可求得f(x)=Asin(ωx+φ)+b (ω≠0,A≠0)的最值为±|A|+b.应用时注意自变量的范围. [例2]　已知函数f(x)=2sin(3x+φ)(-π<φ<0)的一条对称轴为x=,当x∈[0,t]时,f(x)的最小值为-,则t的最大值为　　.  解析:因为函数f(x)=2sin(3x+φ)(-π<φ<0)的一条对称轴为x=,所以3×+φ=+kπ(k∈Z),解得φ=-+kπ(k∈Z).又-π<φ<0,所以φ=-,所以f(x)=2sin. 24 当x∈[0,t]时,f(x)的最小值为-,令3x-=u∈,则y=2sin u,由y=2sin u的图象与性质知,3t-≤,解得t≤. 25 [思维建模] 研究三角函数性质首先将函数解析式进行化简,转化为y=Asin(ωx+φ)+b的形式,通过整体代换,结合正弦函数y=sin x的性质求解.把ωx+φ看成一个整体处理,但是一定要保证ω>0,否则易出错,有时候结合图象进行分析,能达到事半功倍的效果. [练1]　(2024·新课标Ⅱ卷)[多选]对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同零点 B.f(x)与g(x)有相同最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 即时训练 √ 即时训练 √ 27 解析:令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即为f(x)零点,令g(x)=sin=0,解得x=+,k∈Z,即为g(x)零点,显然f(x),g(x)零点不同,故A错误; 显然f(x)max=g(x)max=1,故B正确; 28 f(x),g(x)的最小正周期均为=π,故C正确; 根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+⇔x=+(k∈Z),g(x)的对称轴满足2x-=kπ+⇔x=+(k∈Z),显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,故D错误. [练2]　已知函数f(x)=2sin(0<ω<6)的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称,若f(x)在上的最小值为-1,则t的最大值是　　　　.  解析:函数f(x)=2sin(0<ω<6)的图象向左平移个单位长度后,图象所对应的解析式为y=2sin=2sin. 30 因为y=2sin的图象关于y轴对称,所以ω+=kπ+,k∈Z,可得ω=12k+2,k∈Z.又0<ω<6,所以ω=2,即f(x)=2sin.要使f(x)在上的最小值为-1,则y=sin在上的最小值为-.当x∈时,2x+∈.又sin=sin=-,所以-<2t+≤,解得-<t≤,即t的最大值是. [练3]　(2024·北京模拟)已知函数f(x)=sin ωx-2cos ωx(ω>0),且f(α+x)=f(α-x).若两个不等的实数x1,x2满足f(x1)f(x2)=5且|x1-x2|min=π,则sin 4α=　　　　.  解析:因为f(x)=sin ωx-2cos ωx=sin(ωx-φ),其中tan φ=2,由f(α+x)=f(α-x),得f(x)关于x=α对称,又两个不等的实数x1,x2满足f(x1)f(x2)=5且|x1-x2|min=π,所以f(x)的最小正周期T=π.又ω>0,所以=π,解得ω=2,所以f(x)=sin(2x-φ),所以2α-φ=+kπ,k∈Z,则2α=φ++kπ,k∈Z,所以sin 4α=sin 2=sin(2φ+π+2kπ)=-sin 2φ====-. 利用三角函数性质求参数值或范围 教学点（三） 34 [例1]　已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且在区间上具有单调性,则φ和ω的值为(　　) A.φ=,ω=或ω=3 B.φ=,ω=或ω=2 C.φ=,ω=或ω=2 D.φ=,ω=或ω=2 √ 35 解析:由f(x)是偶函数,得f(x)=f(-x),故sin(ωx+φ)=sin(-ωx+φ),所以cos φsin ωx=-cos φsin ωx对任意x都成立,且ω>0,所以cos φ=0.又0≤φ≤π,所以φ=.由f(x)的图象关于点M对称,得f=-f.令x=0,得f=-f,所以f=0. 因为f=sin=cos,所以cos=0. 又ω>0,得=+kπ,k=0,1,2,…,解得ω=(2k+1),k=0,1,2,…. 36 当k=0时,ω=,(巧变通:根据选项可以发现ω的取值不止一个, 所以要对k分类讨论)f(x)=sin在上单调递减;当k=1时,ω=2, f(x)=sin在上单调递减;当k≥2时,ω≥,f(x)=sin(ωx+φ)在上不具有单调性. 综上可得,ω=或ω=2.故选C. [例2]　(2024·合肥三模)已知函数f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx+ (ω>0)在区间[0,π)上只有一个零点和两个最大值点,则ω的取值范围 是　　　　.  解析:由题意,f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx+=sin 2ωx+cos 2ωx+1=sin+1,由x∈[0,π),ω>0,得2ωx+∈. 当f(x)=0时,sin=-1,当f(x)最大时,sin也最大.若f(x)在区间[0,π)上只有一个零点和两个最大值点,则只需<2πω+≤, (解题关键:这里要大于第2个最大值点,小于等于第2个零点,注意端点值的取舍) 解得<ω≤. [思维建模]　利用三角函数性质求参数的一般步骤 (1)根据题目的条件,得到函数f(x)图象的对称轴、对称中心(零点)或函数的最值点所满足的关系,从而建立方程(组)或不等式(组). (2)解这些方程(组)或不等式(组),得到答案. [练1]　已知函数f(x)=2cos+1(ω>0)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. √ 即时训练 41 解析:由x∈(0,2π),ω>0,令z=ωx-,则z∈, (注意:换元后,要注意新元的取值范围) 画出y=2cos z+1的图象,如图所示,要使函数f(x)的图象在区间(0,2π)内至多存在3条对称轴,则2ωπ-∈,解得ω∈,故选A. 42 [练2]　已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x),若g(x)在上具有单调性,则φ的最小值为　　　　.  解析:∵函数f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,∴函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度后得到g(x)=2sin=2sin. 43 当-≤x≤时,2φ-≤2x+2φ+≤2φ+,又g(x)在上具有单调性,由正弦函数的单调性可知, ⊆ (k∈Z)或⊆(k∈Z) ①.要使φ最小,则k取0, 故有或结合φ>0,解得≤φ≤. 故φ的最小值为. 44 关键点拨:①处,题干中只说了g(x)在区间上具有单调性,没说是单调递增还是单调递减,因此要分类讨论. 本课结束 $$