1.7.2 导数与函数的零点 课时作业讲评(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学二轮复习专题增分方略

课时作业讲评 教学环节二 (教师批阅作业后,据情选点讲评) 1 2 3 4 1.(2024·河南三模)函数f(x)=eλx-4sin x+λ-2的图象在x=0处的切线为y=ax-a-3,a∈R. (1)求λ的值; 解:因为f(x)=eλx-4sin x+λ-2,f'(x)=λeλx-4cos x, 所以f'(0)=λ-4,所以切线斜率为λ-4,即a=λ-4,所以切线方程为y=(λ-4)x-λ+1. 又f(0)=λ-1,所以切点坐标为(0,λ-1),代入切线方程得λ-1=-λ+1,解得λ=1. 1 2 3 4 (2)求f(x)在(0,+∞)上零点的个数. 解: 由(1)得f(x)=ex-4sin x-1,则f'(x)=ex-4cos x. 令g(x)=f'(x)=ex-4cos x,则g'(x)=ex+4sin x, 当x≥π时,f'(x)=ex-4cos x>0恒成立,所以f(x)在[π,+∞)上单调递增, 所以f(x)≥f(π)=eπ-4sin x-1≥eπ-5>0, 因此f(x)在[π,+∞)上无零点. 当0<x<π时,g'(x)=ex+4sin x>0恒成立,所以f'(x)单调递增. 1 2 3 4 又f'(0)=-3<0,f'(π)=eπ+4>0, 所以f'(x)在(0,π)内存在唯一的零点x0, 当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(x0,π)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 又f(0)=0,f(x0)<f(0)=0,f(π)=eπ-1>0, 因此f(x)在(0,π)内仅有1个零点; 综上,f(x)在(0,+∞)上仅有1个零点. 1 2 3 4 2.(2024·芜湖模拟)已知函数f(x)=ex-ln x+x2-ax(a∈R). (1)当a=0时,求函数f(x)在x=1处的切线方程; 解:由f(x)=ex-ln x+x2-ax(a∈R),得f'(x)=ex-+2x-a, 当a=0时,f(1)=e+1,f'(1)=e+1, ∴函数f(x)在x=1处的切线方程为y-f(1)=f'(1)(x-1), 即y-e-1=(e+1)(x-1),所以y=(e+1)x. 1 2 3 4 (2)若函数至多一个零点,求a的取值范围. 解:由函数f(x)的定义域为(0,+∞), 又f(x)=ex-ln x+x2-ax=0,分离参变量得a=-+x.令g(x)=-+x, 则g'(x)=-+1=. 令h(x)=(x-1)ex+ln x+x2-1,则h'(x)=xex++2x>0, ∴h(x)在(0,+∞)上单调递增. 1 2 3 4 又∵h(1)=0, ∴在(0,1)内g'(x)<0,在(1,+∞)上g'(x)>0, ∴g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴g(x)min=g(1)=e+1. 又当x→0时,g(x)→+∞,当x→+∞时,g(x)→+∞, ∴a的取值范围为(-∞,e+1]. 1 2 3 4 3.(2024·武汉模拟)已知函数f(x)=ex-ln x-a,g(x)=ex-ln(x+a),其中a为整数且a≥1.记x0为f(x)的极值点,若f(x)存在两个不同的零点x1,x2(x1<x2). (1)求a的最小值; 解:f'(x)=ex-(x>0),令h(x)=f'(x)=ex-(x>0),则h'(x)=ex+>0, 故f'(x) 在 (0,+∞) 上单调递增, 且f'=-2<0,f'(1)=e-1>0, 1 2 3 4 由函数零点存在定理知,存在唯一的x0∈,使得f'(x0)=0,即=,且当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0, 所以f(x)在(0,x0)内单调递减,在(x0,+∞)上单调递增, 故f(x)min=f(x0)=-ln x0-a=x0+-a. 又x→+∞,f(x)→+∞,x→0,f(x)→+∞, 若f(x)存在两个不同的零点,则f(x0)=x0+-a<0,a>x0+, 由x0∈知x0+∈,所以整数a的最小值为3. 1 2 3 4 (2)求证:g(ln x1)=g(ln x2)=0. 解:证明:由题意f(x1)=f(x2)=0,即a=-ln x1=-ln x2, 故g(ln x1)=x1-ln(ln x1+-ln x1)=x1-x1=0,同理g(ln x2)=0. 所以g(ln x1)=g(ln x2)=0. 1 2 3 4 4.已知函数f(x)=. (1)当a=2时,求f(x)的单调区间; 解:当a=2时,f(x)=,则f(x)的定义域为(0,+∞), ∵f'(x)====, ∴当x∈(0,)时,f'(x)>0,当x∈(,+∞)时,f'(x)<0. ∴f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞). 1 2 3 4 (2)若曲线y=f(x)与直线y=有且仅有两个交点,求a的取值范围. 解:由题意知a>0且a≠1. ∵y=f(x)与y=有且仅有两个交点, ∴方程=有且仅有两个不等实根,即方程=有且仅有两个不等实根, 即方程=有且仅有两个不等实根. 1 2 3 4 令F(x)=,则F(x)的定义域为(0,+∞),F'(x)=, ∴当x∈(0,e)时,F'(x)>0,当x∈(e,+∞)时,F'(x)<0. ∴F(x)在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)上单调递减, ∴F(x)max=F(e)=,当x→+∞时,F(x)→0; 当x→0时,F(x)→-∞. 可得F(x)的大致图象如图所示, 1 2 3 4 令t=xa,则t∈(0,+∞), ∴F(t)=F(a)有且仅有两个不同实根的充要条件为0<<, 即F(1)<F(a)<F(e),∴实数a的取值范围为(1,e)∪(e,+∞). 关键点拨:本题根据曲线与直线交点个数求解参数范围的关键是能够首先将问题转化为方程根的个数问题,进而采用同构的逻辑,通过构造函数的方式进一步将问题转化为同一函数不同函数值大小关系的比较问题. 本课结束 $$