1.4.2 利用导数研究函数的极值、最值 课时作业讲评(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学二轮复习专题增分方略

课时作业讲评 教学环节二 (教师批阅作业后,据情选点讲评) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.函数f(x)=在[2,+∞)上的最小值为(　　) A. B.e2 C. D.2e √ 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 解析:依题意f'(x)=(x2-2x-3)=(x-3)(x+1),故函数在区间(2,3)上单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,故函数在x=3处取得极小值也是最小值,且最小值为f(3)==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.(2024·安阳一模)已知函数f(x)=ex-λ(x2+1)有两个极值点p,q,若q=2p,则f(0)= (　　) A.1- B.1- C.1-ln 2 D.1- √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:依题意,f'(x)=ex-2λx,则 因为q=2p,所以显然λ,p≠0,两式相除得ep=2, 则p=ln 2,代入ep=2λp中,解得λ=,则f(0)=1-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 3.(2024·楚雄模拟)已知定义域为[-3,5]的函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)的图象如图所示,则 (　　) A.f(x)在(-2,2)上先递增后递减 B.f(x)有极小值f(2) C.f(x)有2个极值点 D.f(x)在x=-3处取得最大值 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:由f'(x)的图象可知x∈(-2,2)或x∈(4,5)时,f'(x)<0,则f(x)单调递减,故A错误; 又x∈(-3,-2)或x∈(2,4)时,f'(x)>0,则f(x)单调递增,所以当x=2时,f(x)有极小值f(2),故B正确; 由f'(x)的图象结合单调性可知x=-2,2,4时,f(x)有极值,所以f(x)有3个极值点,故C错误; 当x∈(-3,-2)时,f'(x)>0,则f(x)单调递增,所以f(-3)<f(-2),f(x)在x=-3处不能取得最大值,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 4.(2024·台州调研二)若函数f(x)=eax+2x有大于零的极值点,则实数a的取值范围为 (　　) A.(-2,+∞) B. C.(-∞,-2) D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:函数f(x)=eax+2x,可得f'(x)=aeax+2,若a≥0,则f'(x)>0恒成立,此时f(x)单调递增,无极值点,故a<0,令f'(x)=aeax+2=0,解得x=ln,当x>ln时,f'(x)>0,当x<ln时,f'(x)<0,故x=ln是f(x)=eax+2x的极值点,由于函数f(x)=eax+2x有大于零的极值点,∴ln>0,即ln<0,∴0<-<1,解得a<-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 5.(2024·沈阳模拟)在同一平面直角坐标系内,函数y=f(x)及其导函数y=f'(x)的图象如图所示,已知两图象有且仅有一个公共点,其坐标为(0,1),则 (　　) A.函数y=f(x)·ex的最大值为1 B.函数y=f(x)·ex的最小值为1 C.函数y=的最大值为1 D.函数y=的最小值为1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:由导数与函数单调性的关系得f(x)的图象为实曲线,f'(x)的图象为虚曲线,且当x<0时,f(x)<f'(x),当x>0时,f(x)>f'(x),设g(x)=f(x)·ex,则g'(x)=[f(x)+f'(x)]·ex>0,∴g(x)在R上单调递增,故A、B错误; 设h(x)=,则h'(x)==,则h(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,∴h(x)在x=0处有最大值h(0)==1,故C正确,D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 6.[多选]已知函数f(x)=(x+1)ex,则下列结论正确的是 (　　) A.f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增 B.f(x)的最小值为- C.方程f(x)=2的解有2个 D.导函数f'(x)的极值点为-3 解析:易知f(x)=(x+1)ex,可得f'(x)=(x+2)ex,令f'(x)<0,x∈(-∞,-2),令f'(x)>0,x∈(-2,+∞),故f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,故f(x)的最小值为f(-2)=-,故A、B正确; √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 若讨论方程f(x)=2的解,即讨论g(x)=(x+1)ex-2的零点,易知g(-2)=--2,g(1)>0,故g(1)·g(-2)<0,故由函数零点存在定理得到存在x0∈(-2,1)作为g(x)的一个零点,而当x→-∞时,g(x)→-2,显然g(x)在(-∞,-2)内无零点,故g(x)=(x+1)ex-2只有一个零点,即f(x)=2只有一个解,故C错误; 令h(x)=f'(x)=(x+2)ex,则h'(x)=(x+3)ex,令h'(x)=0,解得x=-3.而h'(0)>0,h'(-4)<0,故x=-3是h'(x)的变号零点,即x=-3是h(x)的极值点,故得导函数f'(x)的极值点为-3,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 7.[多选]利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的.某同学利用所学数学知识,探究函数f(x)=xx,x∈(0,+∞),则下列命题正确的是 (　　) A.f(x)有且只有一个极值点 B.f(x)在上单调递增 C.存在实数a∈(0,+∞),使得f(a)= D.f(x)有最小值 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:由y=f(x)=xx得ln y=xln x,令z=xln x, (关键点:找到已知函数的同构函数z=xln x) 则函数z=xln x可以看作为函数z=ln y与函数y=xx的复合函数,因为z=ln y为增函数,所以z=xln x与y=xx单调性、图象变换等基本一致,z'=ln x+1,由z'=0得x=,列表如下: 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 由表知,z=xln x在上单调递减,在上单调递增,在x=时,取得极小值(最小值)-,所以f(x)=xx在上单调递增,即B正确; 在x=时,取得唯一极值>,即A、D都正确,C错误. x z'=ln x+1 - 0 + z=xln x 单调递减 - 单调递增 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 8.若函数f(x)=x3-4x+m在[0,3]上的最小值为4,则m=　　　　.  解析:f'(x)=x2-4,x∈[0,3],当x∈[0,2)时,f'(x)<0,当x∈(2,3]时,f'(x)>0,所以f(x)在x∈[0,2)上单调递减,在x∈(2,3]上单调递增,所以f(2)为f(x)在[0,3]上的极小值,也是最小值,故×8-4×2+m=4,解得m=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 9.若函数f(x)=ax2+有两个极值点,则实数a的取值范围为　　　　　.  解析:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2ax+,令f'(x)=0,得a=.令g(x)=,则g'(x)=.令g'(x0)=0,则3ln x0=4,即ln x0=,即=e4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 当0<x<x0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>x0时,g'(x)<0,g(x)单调递减.∴g(x)max=g(x0)===.又当x趋近于0时,g(x)趋近于-∞; 当x趋近于+∞时,g(x)趋近于0,作出 g(x)的草图如图, 由图可知,当0<a<时,方程a= 有两个正根,从而函数f(x)有两个极值点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 习得方法:函数的极值问题,常转化为求导函数的零点问题求解,关于函数零点个数求参数问题,通常参变分离,转化为两个函数图象相交问题,借助导数研究函数单调性,作出草图即可得解,其中需要注意观察函数的变化趋势. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 10.(2024·江苏苏锡常镇调研一)已知a,b∈(0,1)∪(1,+∞), 4logab+logba=4,则+ln的最小值为　　　　.  解析:因为4logab+logba=4,a,b∈(0,1)∪(1,+∞),所以4logab+=4,所以logab=,所以b=,即a=b2,所以+ln=+ln=ln b+. ln 2+1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 令f(x)=ln x+,x∈(0,+∞),则f'(x)=-=,所以当0<x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(2)=ln 2+1,所以=ln 2+1,当且仅当b=2,a=4时取得. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 11.已知函数f(x)=(x2+ax+a)e-x(a为常数,e为自然对数的底数)在x=0时取得极小值. (1)试确定a的取值范围; 解:f'(x)=-e-x[x2-(2-a)x],当a=2时,f'(x)=-x2e-x<0恒成立,f(x)无极值.当a<2,x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,2-a)时,f'(x)>0,则x=0是f(x)的极小值点.当a>2,x∈(2-a,0)时,f'(x)>0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,则x=0是f(x)的极大值点,因此a<2,故a的取值范围为(-∞,2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 (2)当a变化时,设由f(x)的极大值构成的函数为g(a),试判断曲线y=g(x)只可能与直线2x-3y+m=0,3x-2y+n=0(m,n为确定的常数)中的哪一条相切,并说明理由. 解:当a<2,x∈(0,2-a)时,f'(x)>0,当x∈(2-a,+∞)时,f'(x)<0,则x=2-a是f(x)的极大值点,因此g(a)=f(2-a)=-ea-2(a-4) , a<2.设g(x)=-ex-2(x-4),x<2,于是g'(x)=-ex-2(x-3). 令h(x)=-ex-2(x-3),则h'(x)=-ex-2(x-2),故h(x)在(-∞,2)上单调递增,h(x)<h(2)=1,即g'(x)<1恒成立,所以曲线y=g(x)的切线的斜率可能为,不可能为,即只可能与直线2x-3y+m=0相切. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 12.已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+aln x,a∈R. (1)若a=0,求曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程; 解:若a=0,则f(x)=x2-x,则f'(x)=2x-1,故f(2)=2,f'(2)=3, 故曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y-2=3(x-2),即3x-y-4=0. (2)若f(x)在x=1处取得极值,求f(x)的极值; 解: f(x)=x2-(2a+1)x+aln x,a∈R,定义域为(0,+∞),则f'(x)=2x-(2a+1)+,由于f(x)在x=1处取得极值, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 故f'(1)=2-(2a+1)+a=0, ∴a=1,则f'(x)=2x-3+==. 令f'(x)>0,则0<x<或x>1,函数f(x)在,(1,+∞)上均单调递增, 令f'(x)<0,则<x<1,函数f(x)在上单调递减, 故当x=时,f(x)取到极大值f=-+ln=--ln 2, 当x=1时,f(x)取到极小值f(1)=1-3=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 (3)若f(x)在[1,e]上的最小值为-2a,求a的取值范围. 解: 由于f'(x)=2x-(2a+1)+=,x∈[1,e], 当a≤1时,f'(x)≥0,仅在a=1,x=1时等号取得,f(x)在[1,e]上单调递增, 则f(x)min=f(1)=-2a,符合题意; 当1<a<e,1<x<a时,f'(x)<0,f(x)在[1,a]上单调递减, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 当a<x<e时,f'(x)>0,f(x)在[a,e]上单调递增, 故f(x)min=f(a)<f(1)=-2a,不符合题意; 当a≥e时,f'(x)<0,f(x)在[1,e]上单调递减, 故f(x)min=f(e)<f(1)=-2a,不符合题意; 综上,可知a的取值范围为(-∞,1]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 13.(2024·焦作二模)若函数f(x)=ex+ax2-e在定义域R上存在最小值b,则当a-b取得最小值时,a= (　　) A. B. C.-e D.-e 解析: 审题破题:设f(x)的最小值在x=x0处取得,用x0表示出a,求出a-b.　 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 因为f(x)=ex+ax2-e,所以f'(x)=ex+2ax,当a=0时,f'(x)>0恒成立,则f(x)在定义域上单调递增,不存在最小值,故舍去;当a<0时,若x<0,则f(x)=ex+ax2-e<ax2-e+1,又y=ax2-e+1(a<0)在(-∞,0)上单调递增,则当x→-∞时f(x)→-∞,所以f(x)无最小值,故舍去.所以a>0.易知f'(x)=ex+2ax在定义域上单调递增,且f'(0)=1,所以存在唯一零点x0,即+2ax0=0,且x0<0,当x<x0时,f'(x)<0,当x>x0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 所以f(x)在x=x0处取得最小值,即f(x)min=f(x0)=+a-e=b.又a=-,所以a-b=--f(x0)=+e.令g(x)=ex(x<0),所以g'(x)=ex=ex(x-1)2(x+1).所以当x<-1时,g'(x)<0,当-1<x<0时,g'(x)>0,所以g(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,所以当x=-1时,g(x)取得极小值,即最小值,所以x0=-1,所以a=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 14.(2024·新课标Ⅱ卷)[多选]设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则 (　　) A.当a>1时,f(x)有三个零点 B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于a>1,故x∈(-∞,0)∪(a,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,0),(a,+∞)上单调递增.当x∈(0,a)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,a)内单调递减,则f(x)在x=0处取到极大值,在x=a处取到极小值.由f(0)=1>0,f(a)=1-a3<0,得f(0)f(a)<0.根据函数零点存在定理f(x)在(0,a)上有一个零点.又f(-1)=-1-3a<0,f(2a)=4a3+1>0,则f(-1)f(0)<0,f(a)f(2a)<0,所以f(x)在(-1,0),(a,2a)上各有一个零点,于是当a>1时,f(x)有三个零点,A正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 f'(x)=6x(x-a),当a<0,x∈(a,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,此时f(x) 在x=0处取到极小值,B错误. 假设存在这样的a,b,使得x=b为f(x)的对称轴,即存在这样的a,b使得f(x)=f(2b-x),即2x3-3ax2+1=2(2b-x)3-3a(2b-x)2+1,根据二项式定理,等式右边2(2b-x)3展开式含有x3的项为2(2b)0(-x)3=-2x3,于是等式左右两边x3的系数不相等,原等式不可能恒成立,于是不存在这样的a,b,使得x=b为f(x)的对称轴,C错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 D选项, 法一:利用对称中心的表达式化简 f(1)=3-3a,若存在这样的a,使得(1,3-3a)为f(x)的对称中心,则f(x)+f(2-x)=6-6a,事实上,f(x)+f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a, 于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,即 解得a=2,即存在a=2使得(1,f(1))是f(x)的对称中心,D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 法二:直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心,对称中心的横坐标是二阶导数的零点,f(x)=2x3-3ax2+1,f'(x)=6x2-6ax,f″(x)=12x-6a.由f″(x)=0,解得x=,于是该三次函数的对称中心为,由题意(1,f(1))也是对称中心,故=1⇔a=2,即存在a=2使得(1,f(1))是f(x)的对称中心,D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解题结论:任何三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d都有对称中心,对称中心是三次函数的拐点,对称中心的横坐标是f″(x)=0的解,即是三次函数的对称中心. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 15.(2024·长沙三模)已知函数f(x)=x+ln(ax)+xex(a<0). (1)求函数f(x)的极值; 解:由f'(x)=(1+x),因为a<0,所以f(x)的定义域为(-∞,0), 则+<0,因为当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0;当x∈(-1,0)时,f'(x)<0. 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),单调递减区间为(-1,0), 所以x=-1是f(x)的极大值点,f(x)的极大值是f(-1)=-1+ln(-a)-,无极小值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 (2)若集合{x|f(x)≥-1}有且只有一个元素,求a的值. 解:由(1)可得f(x)max=f(-1)=-1+ln(-a)-,要使得集合{x|f(x)≥-1}有且只有一个元素,只需要-1+ln(-a)-=-1, (巧变通:利用不等式有唯一解,则正好是最大值取到等号) 设g(x)=-1+ln(-x)-, (关键步骤:构造函数求导、研究函数的零点和方程的解) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 则g'(x)=+=,因为当x∈时,g'(x)<0; 当x∈时,g'(x)>0, 所以g(x)的单调递减区间为,单调递增区间为. 所以g(x)min=g=-1,所以关于a的方程-1+ln(-a)-=-1有解时, 只能是a=-,所以集合{x|f(x)≥-1}有且只有一个元素时,a=-. 本课结束 $$