1.2.2 基本初等函数、函数与方程 课时作业讲评(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学二轮复习专题增分方略

课时作业讲评 教学环节二 (教师批阅作业后,据情选点讲评) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1.(2024·开封质检)已知alog94=1,则2-a= (　　) A. B. C. D.3 解析:由alog94=1可得4a=9,即(2a)2=9,2a=3,故2-a=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 2.(2024·南昌一模)已知a=log25,b=log52,c=,则(　　) A.c<a<b B.a<c<b C.a<b<c D.b<c<a 解析:因为a=log25>log24=2,b=log52<log55=1,1<c==<=2,所以b<c<a. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 3.(2024·北京东城一模)设函数f(x)=+1,则(　　) A.f(x)+f=2 B.f(x)-f=2 C.f(x)f=2 D.f(x)=2f √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 解析:函数f(x)=+1的定义域为(0,1)∪(1,+∞),f=+1=-+1.则f(x)+f=+1-+1=2,f(x)-f=+1+-1=,故A正确、B错误; 又当x=e时,f(x)=+1=2,f=+1=0,故C、D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 4.若函数y=a|x|(a>0且a≠1)的值域为[1,+∞),则函数y=loga|x|的大致图象是 (　　) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 解析:因为|x|≥0,且y=a|x|的值域为[1,+∞),所以a>1.当x>0时,y=loga|x|=logax在(0,+∞)上单调递增.又函数y=loga|x|=loga|-x|,所以y=loga|x|为偶函数,图象关于y轴对称,所以y=loga|x|的大致图象应为选项A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 5.(2024·重庆模拟)已知函数y=xa,y=bx,y=logcx在同一平面直角坐标系的图象如图所示,则 (　　) A.loc<ba<sin b B.loc<sin b<ba C.sin b<ba<loc D.sin b<loc<ba √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 解析:因为y=xa的图象过(1,1),故由图象可得a<0.又y=bx的图象过(0,1),故由图象可得0<b<1.又y=logcx的图象过(1,0),故由图象可得c>1.故loc<lo1=0,0<sin b<1,ba>b0=1,故loc<sin b<ba. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 6.(2024·衡阳联考)某种用保温材料制成的管道在单位长度上的热损失Φ(单位:W/m)满足Φ=,其中r1,r2分别为管道的内外半径(单位:mm),t1,t2分别为管道内外表面的温度(单位:℃),λ为保温材料的导热系数(单位:W/(m·℃)).某工厂准备用这种管道传输250 ℃的高温蒸汽,根据安全操作规定,管道外表面温度应控制为50℃,已知管道内半径为60 mm,当管道壁的厚度为75 mm时,Φ=150 W/m,则当管道壁的厚度为120 mm时,Φ约为(参考数据:log32≈0.63)(　　) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 A.98 W/m B.111 W/m C.118 W/m D.126 W/m 解析:由题意可得t1=250 ℃,t2=50 ℃,r1=60 mm,r2=60+75=135 mm,Φ=150 W/m,代入得150=,得出2πλ=ln=ln;则当管道壁的厚度为120 mm时,r2=60+120=180 mm,则Φ= =ln×===300(1-log32) ≈300(1-0.63)=111. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 7.(2024·盐城一模)[多选]已知x,y∈R,且12x=3,12y=4,则 (　　) A.y>x B.x+y>1 C.xy< D.+< √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 解析:∵12x=3,12y=4,∴x=log123,y=log124.∵y=log12x在(0,+∞)上单调递增,∴y>x,故A正确; ∵x+y=log123+log124=log1212=1,故B错误; ∵x>0,y>0,∴xy≤=,当且仅当x=y时等号成立,又x<y,故xy<,故C正确; ∵(+)2=x+y+2=1+2<2,即+<,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 8.(2024·辽宁二模)[多选]关于函数f(x)=lg,下列说法正确的有(　　) A.f(x)的定义域为(-1,1) B.f(x)的函数图象关于y轴对称 C.f(x)的函数图象关于原点对称 D.f(x)在(0,1)上单调递增 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 解析:因为f(x)=lg=lg,则>0,解得-1<x<1,所以f(x)的定义域为(-1,1),故A正确; 因为f(-x)=lg=-f(x),即f(x)为奇函数,所以f(x)的函数图象关于原点对称,故B错误、C正确; 因为y=-1在(0,1)上单调递增,y=lg x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=lg在(0,1)上单调递增,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 9.(2024·怀化二模)[多选]已知函数y=x+ex的零点为x1,y=x+ln x的零点为x2,则 (　　) A.x1+x2>0 B.x1x2<0 C.+ln x2=0 D.x1x2+x1-x2<1 解析:依题意,x1+=0⇔=-x1,x2+ln x2=0⇔ln x2=-x2, √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 则x1,x2分别是直线y=-x与函数y=ex,y=ln x图 象交点的横坐标,而函数y=ex与y=ln x互为反函数, 它们的图象关于直线y=x对称.(谨记:互为反函数的 图象关于直线y=x对称)又直线y=-x垂直于直线y=x, 则点(x1,)与点(x2,ln x2)关于直线y=x对称,则x2==-x1>0,于是x1+x2=0,x1x2<0,+ln x2=0,B、C正确,A错误; x1x2+x1-x2-1=(x1-1)(x2+1)<0,即x1x2+x1-x2<1,D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 10.函数f(x)=cos πx-2x+1零点的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:令f(x)=cos πx-2x+1=0,可得 cos πx=2x-1,则函数f(x)=cos πx-2x+1零点的个数为曲线y=cos πx与直线y=2x-1的交点个数. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 显然曲线y=cos πx与直线y=2x-1均关于点 对称.又cos 2π>2×2-1,cos 4π<2× 4-1,结合图象,可得曲线y= cos πx与直线y= 2x-1有5个交点,故函数f(x)=cos πx-2x+1零点的个数为5. 易错提醒:(2,cos 2π)为曲线y=cos πx在第一象限的从左往右数第一个最高点,(4, cos 4π)为曲线y=cos πx在第一象限的从左往右数第二个最高点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 11.(2024·合肥二模)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)-f(1-a)=0至少有两个不同的实数根,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-4]∪[,+∞) B.[-1,1] C.(-4,) D.[-4,] √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 解析:因为f(x)==作出函数的图象,如图所示,由此可知函数y=f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递减, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 在(1,3)内单调递增,且f(1)=-1,f(3)=1.又因为关于x的方程f(x)-f(1-a)=0至少有两个不同的实数根,所以f(x)=f(1-a)至少有两个不同的实数根,即y=f(x)的图象与y=f(1-a)至少有两个不同的交点,所以-1≤f(1-a)≤1.又因为当x≤1时,f(x)=x2-2x,令x2-2x=1,可得x=1-;当x≥3时,f(x)=4-x,令4-x=-1,解得x=5,又因为-1≤f(1-a)≤1,所以1-≤1-a≤5,解得-4≤a≤. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 12.若函数f(x)=-的零点属于区间(n,n+1)(n∈N),则n=　　　　.  解析:因为y=,y=-都是减函数,所以f(x)=-是减函数.又f(1)=-1=-<0,f(0)=1>0,所以函数f(x)在(0,1)上有唯一零点,所以n=0. 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 13.(2024·广州模拟)“阿托秒”是一种时间的国际单位,“阿托秒”等于10-18秒,原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子·天下》中提到,“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,如果把“一尺之棰”的长度看成1米,按照此法,至少需要经过　　　　天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.(参考数据:光速为3×108米/秒,lg 2≈0.3,lg 3≈0.48)  31 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 解析:依题意,光在2“阿托秒”内走的距离为2×10-18×3×108 =6×10-10米,经过n天后,剩余的长度f(n)=米, 由f(n)<6×10-10,得<6×10-10,两边同时取对数,得n>lo(6×10-10)===≈≈30.73.又n∈N*,所以n=31,所以至少需要经过31天才能使其长度小于光在2“阿托秒”内走的距离. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 14.(2024·石家庄质检三)给定函数f(x)=|x2+x|,g(x)=x+,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记M(x)=max{f(x),g(x)}.若函数y=M(x)的图象与y=a有3个不同的交点,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  思维路径:在同一平面直角坐标系下画出f(x)=|x2+x|,g(x)=x+的图象,求出交点坐标;结合图象再作出满足条件的直线y=a,进而求出a的取值范围即可. ∪(2,+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 解析:由f(x)=|x2+x|=g(x)=x+,作出f(x),g(x)的图象,如图(1),因为M(x)=max{f(x),g(x)},所以作出M(x)的图象,如图(2), 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 其中(|x2+x|)max=(-1≤x≤0),当且仅当x=-时取最大值;且设两函数在第一象限的交点为P,即当x>0,y>0,解得x=1,即P(1,2).由题意y=a与函数y=M(x)的图象有3个不同的交点,由数形结合易知,0<a<或a>2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 发散拓展:双重最值问题 先求所给出一组函数式一组变量的最大(小)值,再求所求的最大(小)值的最(小)大值,我们称这类问题为双重最值问题,一般地,max{x1,x2}表示x1,x2中的最大值.min{x1,x2}表示x1,x2中的最小值,解决此类题目,常用数形结合法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 15.(2023·新课标Ⅰ卷)[多选]噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 (　　) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 解析:因为Lp=20×lg随着p的增大而增大,且∈[60,90], ∈[50,60],所以≥,所以p1≥p2,故A正确; √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 由Lp=20×lg,得p=p01,因为=40,所以p3=p01=100p0,故C正确; 假设p2>10p3,则p01>10p01,所以1>10,所以->20,由题中表格数据知不可能成立,故B错误; 因为==1≥1,所以p1≤100p2,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 16.(2024·青岛二模)已知正数a,b,c满足aea=bln b=ecln c=1,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b 解析:由aea=bln b=ecln c=1,得ea-=ln b-=ln c-=0,令函数f(x)=ex-,(解题入口:利用式子结构特征构造函数)x>0,显然函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,而f=-2<0,f(1)=e-1>0,f(a)=0, √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 则<a<1;令函数g(x)=ln x-,x>0;显然函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,而g=ln-<ln -=-<0,g(2)=ln 2->0,g(b)=0,则<b<2;令h(x)=ln x-,x>0,显然函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,而h(1)=-<0,h=ln->ln-=ln->ln e-=0,h(c)=0,则1<c<,所以a,b,c的大小关系为a<c<b. 习得方法:涉及指、对数式关系,比较大小的问题,常根据条件构造函数,借助函数的单调性及函数零点存在定理比较大小. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 17.(2024·厦门模拟)[多选]已知函数f(x)的定义域为R,f(x+y)=+,且f(1)=1,则(　　) A.f(0)=0 B.f(-1)=e2 C.exf(x)为奇函数 D.f(x)在(0,+∞)上具有单调性 解析:令x=y=0,则有f(0)=+,即f(0)=0,故A正确; 令x=1,y=-1,则有f(1-1)=+,即f(0)=ef(1)+,又f(0)=0,f(1)=1,故0=e+,即f(-1)=-e2,故B错误; √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 令y=-x,则有f(x-x)=+,即f(0)=exf(x)+e-xf(-x),即exf(x)=-e-xf(-x),又函数f(x)的定义域为R,则函数exf(x)的定义域为R,故函数exf(x)为奇函数,故C正确; 令y=x,则有f(x+x)=+,即f(2x)=,即有=,则当x=ln 2时,有==1,即f(2ln 2)=f(ln 2),故f(x)在(0,+∞)上不具有单调性,故D错误.故选AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 18.(2024·烟台二模)已知函数f(x)=若f(x)=m存 在四个不相等的实根x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),则4+x1x2x4的最小值是　　　　.  解析:作出函数f(x)= 与y=m的图象如图所示, 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 3 4 由图可得0<m<1,∵f(x)=m存在四个不相等的实根x1,x2,x3,x4,可得x1<-1<x2<0<x3<1<x4,可得ln(-x1)=-ln(-x2),x3=,即x1x2=1,x3x4=1,所以4+x1x2x4=4+x4=4+x4=4++≥3=3,当且仅当4=,即x4=2且x3=时等号成立,则4+x1x2x4的最小值是3. 发散拓展:在求最值问题时,有时利用三元基本不等式a+b+c≥3(a,b,c均为正实数),当且仅当a=b=c时等号成立,更简捷. 本课结束 $$