1.2.1 基本初等函数、函数与方程 题点考法讲评(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学二轮复习专题增分方略

基本初等函数、函数与方程 习题讲评（二） (1)基本初等函数考查点主要涉及指数式和对数式的运算,指、对、幂比较大小,有可能与导数结合考查. (2)函数的零点个数及参数范围可单独考查,也可渗透在导数大题中考查,应特别关注. (3)函数模型及应用是近几年高考的热点,常涉及指数函数、对数函数模型,主要考查指、对数式的运算. 2 题点考法讲评 教学环节一 (每“教学点”学生先试作,教师再据情讲授) CONTENTS 目录 1 2 教学点(一)　基本初等函数的 图象与性质 教学点(二)　函数模型及其应用 3 教学点(三)　函数与方程 基本初等函数的图象与性质 教学点（一） 5 [例1]　(2024·黑龙江二模)已知函数y=a+b的图象经过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则ab=(　　) A.-1 B.-2 C.-4 D.-9 解析:因为函数y=f(x)=a+b的图象过原点,所以a+b=0,得a+b=0.又该函数图象无限接近直线y=2,且不与该直线相交,所以b=2,则a=-2,所以ab=-4. √ 6 [例2]　(2024·河南名校联考)设a=log32,b=log33,c=log22,d=20.49,则(　　) A.a<b=c<d B.d<c=b<a C.a<d<b=c D.c<a<d<b 解析:由a=log32<log33=1,b=log33=,c=log22=, 1=20<d<20.5=,即1<d<<,所以a<d<b=c. √ 7 [例3]　(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=(x+a)·ln(x+b),若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为 (　　) A. B. C. D.1 解析:法一:分类讨论法 审题破题:由于f(x)=x+a与f(x)=ln(x+b)同是增函数,且x+a与ln(x+b)乘积不小于0,所以采用分类讨论的策略解题. √ 8 函数f(x)的定义域为(-b,+∞),令x+a=0,得x=-a,令ln(x+b)=0得x=1-b.有以下两种情况: 当x∈(-b,1-b]时,ln(x+b)≤0,要满足题意,需使x+a≤0,故1-b+a≤0;当x∈[1-b,+∞)时,ln(x+b)≥0,要满足题意,需使x+a≥0,故1-b+a≥0.从而-a=1-b,则a2+b2=2b2-2b+1=2+≥. 发散拓展:两个各自仅有一个变号零点的函数,若乘积都大于等于0或小于等于0,则两个函数的零点一定相等. 9 法二:数形结合法　分别作出y=x+a与y=ln(x+b)的图象,如图(1),图(2)所示. 若要(x+a)ln(x+b)≥0,只有-a=1-b时符合,则a2+b2=2b2-2b+1=2+≥. 10 [思维建模]　基本初等函数的解题策略 (1)指数函数、对数函数的图象与性质会受底数a的影响,解决指数函数、对数函数问题时,首先要看底数a的取值范围. (2)基本初等函数的图象和性质是统一的,在解题中可相互转化. 11 [练1]　(2024·天津高考)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 解析:由函数y=4.2x单调递增可知,0<a<1<b,又c=log4.20.2<0,故b>a>c. √ 即时训练 12 [练2]　已知函数f(x)=3x-2-32-x,则满足f(x)+f(8-3x)>0的x的取值范围是 (　　) A.(-∞,4) B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(-2,2) 解析:设g(x)=3x-3-x,则g(-x)=3-x-3x=-g(x),所以g(x)为奇函数. (注意:研究函数g(x)=3x-3-x的奇偶性,是解题的第一步) √ 13 f(x)=3x-2-32-x=g(x-2),则f(x)的图象是由g(x)的图象向右平移2个单位长度得到的,所以f(x)图象的对称中心为(2,0),所以f(x)+f(4-x)=0(为以下转化不等式做准备). 易知f(x)在R上单调递增,因为f(x)+f(8-3x)>0=f(x)+f(4-x),所以f(8-3x)>f(4-x),所以8-3x>4-x,解得x<2, (利用函数的单调性脱掉“f”,转化为关于x的不等式) 故满足f(x)+f(8-3x)>0的x的取值范围是(-∞,2). 14 [练3]　(2024·安康模拟)已知命题p:函数f(x)=在区间(0,+∞)上单调递增,命题q:m<a,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是　　　　.  解析:因为函数f(x)=在区间(0,+∞)上单调递增,所以-m2+m>0,解得0<m<1.又因为p是q的充分不必要条件,则(0,1)是(-∞,a)的真子集,即a的取值范围是[1,+∞). [1,+∞) 15 函数模型及其应用 教学点（二） 16 [典例]　(多选)氚,亦称超重氢,是氢的同位素之一,它的原子核由一个质子和两个中子组成,并带有放射性,会发生β衰变,其半衰期是12.43年.样本中氚的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足N=N0·,其中N0表示氚原有的质量,则(参考数据:lg 2≈0.301)(　　) A.t=12.43log2 B.经过24.86年后,样本中的氚元素会全部消失 C.经过62.15年后,样本中的氚元素变为原来的 D.若x年后,样本中氚元素的含量为0.4N0,则x>16 √ √ 17 解析:由题意得N=N0·,故有=,左右两边同时取对数得log2=-,故得t=-12.43log2,故A错误; 当t=24.86时,N=N0·=2-2·N0=N0,故B错误; 而当t=62.15时,N=N0·=2-5·N0=N0,得到经过62.15年后,样本中的氚元素变为原来的,故C正确; 由题意得0.4N0=N0·,化简得x=-12.43log2=-12.43log2 =-12.43×(log22-log25)=-12.43×,将lg 2≈0.301代入其中, 可得x≈-12.43×≈16.44>16,故D正确. [思维建模]　解决函数实际应用题的两个关键点 (1)认真读题,缜密审题,准确理解题意,明确问题的实际背景,然后进行科学概括,将实际问题归纳为相应的数学问题. (2)要合理选取参数变量,设定变量之后,就要寻找它们之间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系,建立相应的函数模型,最终求解函数模型使实际问题获解. 20 《中华人民共和国道路交通安全法》中规定:酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 mL.某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量V(t)(单位:mg/100 mL)与饮酒后经过的时间t(单位:h)近似满足关系式V (t)=其中W为饮酒者的体重(单位:kg),m为酒精摄入量(单位:mL). 即时训练 21 根据上述关系式,已知某驾驶员体重75 kg,他快速饮用了含150 mL酒精的白酒,若要合法驾驶车辆,最少需在(取:ln 2=0.69,ln 3=1.1,ln 5=1.61) (　　) A.12小时后 B.24小时后 C.26小时后 D.28小时后 √ 22 解析:当0≤t<1时,V(t)=×(-t2+2t+1)=-[(t-1)2-2], 所以V(t)<V(1)==200>20,当t≥1时, 令V(t)=×=200×<20,即<, 所以t-1>=23,所以t>24. 23 函数与方程 教学点（三） 24 [例1]　已知函数f(x)=则关于x的方程f(x)=ax+2的根个数不可能是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析: 审题破题:将问题转化为求直线y=ax+2与函数y=f(x)图象交点个数.作出f(x)的图象,分a>0,a=0,a<0三种情况讨论. √ 25 作出函数y=f(x)的图象,如图所示,将原问 题转化为直线y=ax+2[隐含信息:过定点(0,2)] 与函数y=f(x)的图象交点的个数, 由图可知, 当a=0时,直线y=2与函数y=f(x)的图象只有一个 交点;当a<0时,直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象没有交点;当a>0时,直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象有三个交点;所以直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象不可能有两个交点. 26 [例2]　(2024·青岛模拟)已知函数f(x)=ex-a-(x≥1),则使f(x)有零点的一个充分条件是(　　) A.a<-1 B.-1<a<0 C.0<a<1 D.a>1 解析:因为f(x)=ex-a-(x≥1),当a≤-1时,ex-a>0,-≥0,所以f(x)>0,f(x)没有零点,故A错误; √ 27 当a>-1时,y=ex-a与y=-在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(1)=e1-a-a-1,要使f(x)有零点,则需f(x)min≤0,即e1-a-a-1≤0.令g(a)=e1-a-a-1,则g(a)在(-1,+∞)上单调递减,且g(-1)=e2>0,g(0)=e-1>0,g(1)=-1<0,所以存在a0∈(0,1)使得g(a0)=0, (关键点:结合函数的单调性及函数零点存在定理求解) 所以f(x)有零点的充要条件为a≥a0,所以使f(x)有零点的一个充分条件是a>1. 28 [思维建模] 利用函数零点的情况求参数值(范围)的方法 直接法 利用函数零点存在定理构造不等式确定参数的取值范围 分离参数法 将参数分离,转化成求函数的值域问题 数形结合法 先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中作出函数的图象,然后数形结合求解 [练1]　(2024·湛江二模)已知函数f(x)=|2x-1|-a,g(x)=x2-4|x|+2-a,则 (　　) A.当g(x)有2个零点时,f(x)只有1个零点 B.当g(x)有3个零点时,f(x)有2个零点 C.当f(x)有2个零点时,g(x)有2个零点 D.当f(x)有2个零点时,g(x)有4个零点 √ 即时训练 30 解析:两个函数的零点个数转化为图象与y=a的图象的公共点的个数,作出y=|2x-1|,y=x2-4|x|+2的大致图象,如图所示. 由图可知,当g(x)有2个零点时,f(x)无零点或只有1个零点;当g(x)有3个零点时,f(x)只有1个零点;当f(x)有2个零点时,g(x)有4个零点.故选D. 31 [练2]　(2024·济南模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-b有四个不同的零点,则实数b的取值范围为(　　) A.(0,1] B.[0,1] C.(0,1) D.(1,+∞) √ 32 解析:依题意,函数g(x)=f(x)-b有四个不同的零点,即f(x)=b有四个解,转化为函数y=f(x)与y=b的图象 有四个交点,由函数y=f(x)可知, 当x∈(-∞,-1)时,函数单调递减, y∈(0,+∞); 当x∈(-1,0]时,函数单调递增,y∈(0,1];当x∈(0,1)时,函数单调递减,y∈(0,+∞);当x∈[1,+∞)时,函数单调递增,y∈[0,+∞);结合图象,可知实数b的取值范围为(0,1]. 33 本课结束 $$