1.1.1 函数的图象与性质 题点考法讲评(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学二轮复习专题增分方略

函数的图象与性质 习题讲评（一） 函数的图象与性质是高考数学的必考内容.主要在选择题、填空题中呈现,在解答题中多作为解题工具出现.主要考查利用函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)比较大小、解不等式、求参数值、作图、识图等,单独考查某个性质时题目偏易,以多选题呈现且综合考查抽象函数性质时难度较大,本节知识可与数列、导数、新定义问题结合考查. 2 题点考法讲评 教学环节一 (每“教学点”学生先试作,教师再据情讲授) CONTENTS 目录 1 2 教学点(一)　函数的图象及应用 教学点(二)　函数的性质及应用 函数的图象及应用 教学点（一） 5 [例1]　(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8,2.8]的图象大致为 (　　) √ 6 解析:由题知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=-(-x)2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,函数图象关于y轴对称,排除A、C; f(1)=-1+sin 1>-1+sin=-1+->0,排除D. 7 [例2]　(2024·北京昌平二模)已知函数f(x)=若对任意的x都有|f(x)|≥ax恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,0] B.[-4,0] C.[-3,0] D.(-∞,2] 解析:因为f(x)= 令g(x)=|f(x)|,作出g(x)图象,如图所示, √ 8 令h(x)=ax,由图知,要使对任意的x都有|f(x)|≥ax恒成立, 则必有a≤0,当x≤0时,令y1=x2-4x, 由消y得到x2-(4+a)x=0, 由Δ=0,得到(4+a)2=0,即a=-4,由图可知-4≤a≤0. 9 [思维建模]　利用图象研究函数的主要思路 [练1]　(2024·济南模拟)函数f(x)=的图象大致为(　　) 即时训练 √ 11 解析:依题意,函数f(x)=的定义域为{x∈R|x≠±1},f(-x)==-=-f(x),则f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,B不满足; 当x∈(0,1)时,ex-e-x>0,|1-x2|>0,则f(x)>0,A、D不满足,C满足. 12 [练2]　如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象,则该函数是 (　　) A.y= B.y= C.y= D.y= √ 13 解析:对于B,当x=1时,y=0,与图象不符,故排除B; 对于D,当x=3时,y=sin 3>0,与图象不符,故排除D; 对于C,当x>0时,y=≤=cos x≤1,与图象在y轴右侧最高点大于1不符,所以排除C. 14 [练3]　(2024·重庆模拟)已知函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,且f(x)=则不等式xf(x-1)<0在(-2,2)上的解集为(　　) A.(-2,-1) B.(-2,-1)∪(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-1,0)∪(1,2) 解析:因为函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,且 f(x)= √ 15 所以当x∈(-1,0]时,f(x)=x;当x∈[-2,-1]时,-x∈[1,2],所以f(x)=-f(-x)=-(x+2)=-x-2; 当x∈[-3,-2]时,x+4∈[1,2],所以f(x)=f(x+4)=-(x+4)+2=-x-2,函数y=f(x-1)的图象可由函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到,作出函数y=f(x-1)在[-2,2]上的图象,如图所示. 由图可知不等式xf(x-1)<0在(-2,2)上的 解集为(-2,-1)∪(0,1). 16 函数的性质及应用 教学点（二） 17 题点一　函数的单调性与奇偶性 [例1]　已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),且对任意的x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,都有>2,f(1)=2 026,则满足不等式f(x-2 025)>2(x-1 013)的x的取值范围是(　　) A.(2 026,+∞) B.(2 025,+∞) C.(1 013,+∞) D.(1 012,+∞) √ 18 解析:由>2,得>0,即函数y=f(x)-2x在[0,+∞)上单调递增.又f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以y=f(x)-2x为奇函数,所以y=f(x)-2x在R上单调递增.由f(x-2 025)>2(x-1 013),f(1)=2 026,得f(x-2 025)-2(x-2 025)>f(1)-2,则x-2 025>1,解得x>2 026. 多元思维:本题判断函数的单调性也可通过“令0≤x1<x2,则f(x2)-f(x1)>2x2-2x1,即f(x2)-2x2>f(x1)-2x1”得到. 19 题点二　函数的奇偶性、对称性与周期性 [例2]　(多选)已知函数f(x)的定义域为R,函数F(x)=f(1+x)-(1+x)为偶函数,函数G(x)=f(2+3x)-1为奇函数,则(　　) A.函数f(x)的一个对称中心为(2,1) B.f(0)=-1 C.函数f(x)为周期函数,且一个周期为4 D.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=6 √ √ √ 20 解析:由函数G(x)=f(2+3x)-1为奇函数,故f(2+3x)-1=-f(2-3x)+1,即f(2+3x)+f(2-3x)=2,即f(2+x)+f(2-x)=2,故函数f(x)的一个对称中心为(2,1),故A正确; 由f(2+x)+f(2-x)=2,令x=0,则f(2)+f(2)=2,即f(2)=1,由函数F(x)=f(1+x)-(1+x)为偶函数,故f(1+x)-(1+x)=f(1-x)-(1-x),即f(1+x)=f(1-x)+2x,令x=-1,则f(0)=f(2)-2=1-2=-1,故B正确; 21 由函数f(x)的一个对称中心为(2,1),f(0)=-1,则f(4)=3,即f(0)≠f(4),故函数f(x)不以4为周期,故C错误; 由f(2+x)+f(2-x)=2,令x=1,有f(3)+f(1)=2,由f(2)=1,f(4)=3,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=6,故D正确. 发散拓展:若f(x+a)+f(-x+b)=c,则函数f(x)关于 中心对称;若f(x+a)=f(-x+b),则函数f(x)关于 对称. 22 [例3]　(2024·苏锡常镇四市调研)[多选]已知定义在R上的函数f(x)在区间[-1,0]上单调递增,且满足f(4-x)=f(x),f(2-x)=-f(x),则 (　　) A. f(k)=0 B.f(0.9)+f(1.2)<0 C.f(2.5)>f(log280) D.f(sin 1)<f 解析:对于函数f(x)有f(4-x)=f(x),则函数f(x)关于直线x=2对称①.由f(2-x)=-f(x),则函数f(x)关于点(1,0)对称②,所以f(4-x)=-f(x-2),所以得f(x-2)=-f(-x),则f(4-x)=f(-x),故函数f(x)的周期为4,且f(-x)=f(x),故函数f(x)为偶函数, √ √ √ 23 因为函数f(x)在区间[-1,0]上单调递增,所以f(x)在[0,1]上单调递减③,则函数f(x)的大致图象如图, 由对称性可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,所以 f(k)=[f(1)+f(2)+f(3) +f(4)]×2+f(9)+f(10)=0+f(1)+f(2)=f(2)≠0,故A不正确; 由于f(0.9)+f(1.1)=0,f(1.1)>f(1.2),所以f(0.9)+f(1.2)<0,故B正确; 又f(log280)=f(log216+log25)=f(4+log25)=f(log25),=log2=log2>log25>2, 所以f(2.5)>f(log280),故C正确; f=f(-ln 2)=f(ln 2),且0<ln 2<0.7,因为>1>,所以sin>sin 1>sin=>0.7,故1>sin 1>ln 2>0,所以f(sin 1)<f,故D正确. 巧用结论:本题应用的3个结论 ①处,应用若函数f(x)满足f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称; ②处,应用若函数满足f(a+x)=-f(b-x)⇔f(x)的图象关于点对称; ③处,应用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反. [思维建模]　函数性质的应用策略 (1)奇偶性与单调性相结合,主要的作用是转化,把不在一个单调区间上的自变量利用奇偶性转化到同一个单调区间上去. (2)奇偶性的本质就是对称性,奇偶性与对称性和周期性的结合,就是利用它们自己的关系,相互转化. [练1]　已知函数f(x)=在R上具有单调性,则实数a的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(1,] C.(1,) D.(1,3) √ 即时训练 28 解析:根据题意,当x≤时,f(x)=-=,可得f(x)在上单调递增,要使得函数f(x)= 在R上具有单调性,则满足a>1,且loga-1≥-, (注意:不要忽视分界点处函数值大小的比较) 解得1<a≤,所以实数a的取值范围为(1,]. 29 [练2]　(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax(a为常数),当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a= (　　) A.-1 B. C.1 D.2 √ 30 解析:　 思维路径:[法一]　令F(x)=ax2+a-1,G(x)=cos x,分析可知曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上,即可得a=2,并代入检验即可. [法二]　令h(x)=f(x)-g(x),x∈(-1,1),可知h(x)为偶函数,根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0,即可得a=2,并代入检验即可. 31 法一:令f(x)=g(x),即a(x+1)2-1=cos x+2ax,可得ax2+a-1=cos x. 令F(x)=ax2+a-1,G(x)=cos x,原题意等价于当x∈(-1,1)时,曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,注意到F(x),G(x)均为偶函数,可知该交点只能在y轴上,可得F(0)=G(0),即a-1=1,解得a=2, 若a=2,令F(x)=G(x),可得2x2+1-cos x=0. 因为x∈(-1,1),则2x2≥0,1-cos x≥0,当且仅当x=0时,等号成立,可得2x2+1-cos x≥0,当且仅当x=0时,等号成立,(注意:不要忽略对a=2的检验) 32 法二:令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x,x∈(-1,1),原题意等价于h(x)有且仅有一个零点, 因为h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cos x=h(x),则h(x)为偶函数, 根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0, 即h(0)=a-2=0,解得a=2. 若a=2,则h(x)=2x2+1-cos x,x∈(-1,1), 又因为2x2≥0,1-cos x≥0,当且仅当x=0时,等号成立,可得h(x)≥0,当且仅当x=0时,等号成立, 即h(x)有且仅有一个零点0,所以a=2符合题意. 33 则方程2x2+1-cos x=0有且仅有一个实根0,即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,所以a=2符合题意.综上所述,a=2. 法二:令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x,x∈(-1,1),原题意等价于h(x)有且仅有一个零点, 因为h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cos x=h(x),则h(x)为偶函数, 根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0, 即h(0)=a-2=0,解得a=2. 若a=2,则h(x)=2x2+1-cos x,x∈(-1,1), 又因为2x2≥0,1-cos x≥0,当且仅当x=0时,等号成立,可得h(x)≥0,当且仅当x=0时,等号成立, 即h(x)有且仅有一个零点0,所以a=2符合题意. [练3]　(多选)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均,(=(x),若f(3+2x)为偶函数,g(1+x)为奇函数,则下列结论正确的是 (　　) A.g(x)的图象关于直线x=1对称 B.g(x)的图象关于点(3,0)对称 C. f(i)=1 D.g(2 023)=0 解析:因为g(1+x)为奇函数,所以g(1+x)=-g(1-x),即g(1+x)+g(1-x)=0,所以g(x)的图象关于(1,0)中心对称,故A错误; √ √ 36 因为f(3+2x)为偶函数,所以f(3+2x)=f(3-2x),所以2f'(3+2x)=-2f'(3-2x),则2g(3+2x)=-2g(3-2x),即g(3+2x)+g(3-2x)=0,则g(3+x)+g(3-x)=0,所以g(x)的图象关于(3,0)中心对称,故B正确; 由g(1+x)=-g(1-x),g(1)=0,知g(x+2)=-g(-x).又g(3+x)+g(3-x)=0,g(3)=0,所以g(-x)=-g(6+x),所以g(x+2)=g(x+6),即g(x)=g(x+4),所以g(x)为周期是4的函数,即g(2 023)=g(505×4+3)=g(3)=0,故D正确; 37 由题意及上述分析知g(x)是以4为周期的函数,且g(1)=0,g(3)=0,不妨设f'(x)=g(x)=cosx,所以f(x)=sinx,周期均为4且f(1)=,f(2)=0,f(3)=-,f(4)=0,所以 f(i)=506×=0,故C错误. 习得方法:本题选项C,应用构造函数法求解,节省了解题时间,即解决抽象函数问题时,可根据题设条件,构造满足题意的特殊函数模型,以达到帮助寻找解题思路的目的,特别是一些选择题,有时候可以达到“秒杀”的效果. 知识拓展: (1)若f(x+a)为偶函数,则函数f(x)为轴对称图形,对称轴为x=a. (2)若f(x+b)为奇函数,则函数f(x)为中心对称图形,对称中心为(b,0). (3)若f(x)的图象有两条对称轴x=a,x=b(a≠b),则f(x)为周期函数,周期为T=2|a-b|. (4)若f(x)的图象有两个对称中心(a,0),(b,0)(a≠b),则f(x)为周期函数,周期为T=2|a-b|. (5)若f(x)的图象关于x=a成轴对称,同时关于(b,0)成中心对称,则f(x)为周期函数,周期为T=4|a-b|. 39 本课结束 $$