1 函数与导数 二轮学前预备·激活基本知能(课件PPT)-【新高考方案】2025年高考数学二轮复习专题增分方略

板块一 函数与导数 一、由知识联系探析命题趋向 二轮学前预备•激活基本知能 2 3 二、由核心纲要激活内存知识 1.函数的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质,所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域. 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数(且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数). 4 (2)①周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 5 2.函数单调性和奇偶性的重要结论 (1)当f(x),g(x)同为增(减)函数时,f(x)+g(x)为增(减)函数. (2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性. (3)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称;f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称. 6 (4)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)是偶函数,奇函数的和、差是奇函数,积、商(分母不为零)是偶函数,奇函数与偶函数的积、商(分母不为零)是奇函数. (5)定义在(-∞,+∞)上的奇函数的图象必过原点,即有f(0)=0.存在既是奇函数,又是偶函数的函数f(x)=0. (6)f(x)+f(-x)=0⇔f(x)为奇函数;f(x)-f(-x)=0⇔f(x)为偶函数. 7 3.函数的周期性的重要结论 (1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2|a|. (2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2|a|. (3)若f(x+a)=,其中f(x)≠0,则函数的周期为2|a|. (4)若f(x+a)+f(x)=c,则函数的周期为2|a|. 8 4.函数的对称性的重要结论 (1)f(a-x)=f(a+x)⇔f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)f(a+x)=f(b-x)⇔f(x)的图象关于直线x=对称. (3)f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称. 5.函数图象平移变换的相关结论 (1)把y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|c|个单位长度(c>0时向左平移,c<0时向右平移)得到函数y=f(x+c)的图象(c为常数). (2)把y=f(x)的图象沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度(b>0时向上平移,b<0时向下平移)得到函数y=f(x)+b的图象(b为常数). 10 6.函数图象伸缩变换的相关结论 (1)把y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(0<a<1)到原来的a倍,而横坐标不变,得到函数y=af(x)(a>0)的图象. (2)把y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长(0<b<1)或缩短(b>1)到原来的,而纵坐标不变,得到函数y=f(bx)(b>0)的图象. 11 7.抽象函数的性质与特殊函数模型的对照表 抽象函数的性质 特殊函数模型 (1)f(x)f(y)=f(x+y)(x,y∈R), (2)=f(x-y)(x,y∈R,f(y)≠0) 指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1) (1)f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0), (2)f=f(x)-f(y)(x>0,y>0) 对数函数f(x)=logax(a>0,a≠1) 12 续表 (1)f(xy)=f(x)f(y)(x,y∈R), (2)f=(x,y∈R,y≠0,f(y)≠0) 幂函数f(x)=xn f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y) 三角函数f(x)=sin x,g(x)=cos x 13 8.函数零点 (1)函数零点的定义:对于一般函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)函数零点存在定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解. 14 9.指数函数与对数函数的基本性质 (1)过定点:y=ax(a>0,且a≠1)恒过点(0,1),y=logax(a>0,且a≠1)恒过点(1,0). (2)单调性:当a>1时,y=ax在R上是增函数;y=logax在(0,+∞)上是增函数;当0<a<1时,y=ax在R上是减函数;y=logax在(0,+∞)上是减函数. 10.函数的单调性、极值及最值 (1)函数的单调性与导数的关系:在某个区间(a,b)内,如果f‘(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增;在某个区间(a,b)内,如果f’(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减;如果恒有f‘(x)=0,那么f(x)在区间(a,b)上是常数函数. 15 (2)函数的极值: ①函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. ②函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. ③极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值. 16 (3)函数的最大(小)值: ①函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. ②求y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 17 本课结束 $$