1.8 培优专题　带电粒子在匀强磁场中的临界和多解问题-2024-2025学年高二物理同步培优学案（人教版2019选择性必修第二册）

第1.8节 培优专题　 带电粒子在匀强磁场中的临界和多解问题 学习目标　 1.会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题。 2.会分析带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题，知道产生多解的原因。 提升1　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 (1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中的运动时间越长。 (3)当比荷相同，速率v变化时，圆心角越大时，运动时间越长。 例1 (多选)如图，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入一正方形匀强磁场区域，对从右边界ab离开磁场的电子，下列判断正确的是(　　) A.从a点离开的电子速度最小 B.从a点离开的电子在磁场中运动的时间最短 C.从b点离开的电子运动半径最小 D.从b点离开的电子速度偏转角最小 训练1（多选）一质量为m、电量为q的带电粒子以速度从x轴上的A点垂直y轴射入第一象限，第一象限某区域存在磁感强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，粒子离开第一象限时速度方向与x轴正方向夹角θ=60°。如图所示（粒子仅受洛伦兹力），下列说法正确的是（　　） A．带电粒子带负电荷 B．带电粒子在磁场中的做圆周运动的圆心角为60° C．如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 D．如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是 训练2（多选）一质量为m、电量为q（q<0）的带电粒子以速度v0从x轴上的A点垂直y轴射入第一象限，第一象限某区域磁感强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，粒子离开第一象限时速度方向与x轴正方向夹角θ＝60°。如图所示（粒子仅受洛伦兹力），下列说法正确的是（　　） A．如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 B．如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 C．如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是 D．如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是 例2 如图所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为CD和EF，速度为v的电子从边界CD外侧沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向与CD的夹角为θ，已知电子的质量为m、带电荷量为e，为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足的条件是(　　) A.v> B.v< C.v> D.v< 训练1如图所示，水平虚线上方有垂直纸面向外的匀强磁场，下方有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小相等。直线为磁场左侧边界，右侧及上下范围足够大。一带正电粒子从P点进入磁场，速度大小为v，方向垂直于，第一次到达时速度方向与垂直。若要求该粒子仍从P点垂直于出发但不从左侧边界离开磁场，不计粒子重力。则粒子速度的最小值为（　　） A． B． C． D． 训练2（多选）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第四象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量m = 5.0 × 10−8 kg、电荷量q = 1.0 × 10−6 C的带正电的粒子以16 m/s的速度从P点沿图示方向进入磁场，速度方向与y轴负方向的夹角为37°，已知OP = 0.4 m，不计带电粒子的重力，sin37° = 0.6，若粒子不能进入x轴上方，则磁感应强度大小B可能的取值为（　　） A．2 T B．3 T C．4 T D．5 T 提升2　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 1.带电粒子电性不确定形成多解。如图甲中做匀速圆周运动的粒子可能带正电，也可能带负电，因带电性质不确定，轨迹不确定，形成多解。 甲 2.磁场方向不确定带来多解。如描述的磁场垂直于纸面，需分垂直纸面向外、垂直纸面向里两种情况进行讨论。 3.临界状态不唯一形成多解。如图乙中带电粒子不打在下极板上，粒子的速度有两种情况：v≤v1或v≥v2。 4.运动的周期性带来多解。如带电粒子在如图丙所示电磁组合场中会做周期性运动，从而形成多解。 　 乙　　　　　　　　　丙 角度1　带电粒子电性不确定形成多解 例3 (多选)如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为(　　) A. B. C. D. 训练1（多选）如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出，下列说法正确的是（　　） A．带电粒子一定带负电荷 B．带电粒子的速度最小值为 C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量可能为 D．带电粒子在磁场中运动时间可能为 训练2如图所示，垂直纸面向内的磁场宽度为L，足够长，磁感应强度为B，一电性未知的带电粒子，质量为m、电荷量为q，以与边界成角的速度射入磁场，为不让其从右边界飞出，求该带电粒子的速度的大小范围。（不计粒子重力） 角度2　磁场方向不确定形成多解 例4 (多选)如图所示，A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间夹角为30°。则所加磁场的磁感应强度B应满足(　　) A.垂直纸面向里，B> B.垂直纸面向里，B> C.垂直纸面向外，B> D.垂直纸面向外，B> 训练1（多选）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（　　） A．，垂直纸面向里 B．，垂直纸面向里 C．，垂直纸面向外 D．，垂直纸面向外 训练2在图甲所示的平面直角坐标系xOy内，正方形区域（0<x<d、0<y<d）内存在垂直xOy平面周期性变化的匀强磁场，规定图示磁场方向为正方向，磁感应强度B的变化规律如图乙所示，变化的周期T可以调节，图中B0为已知。在x＝d处放置一垂直于x轴的荧光屏，质量为m、电荷量为q的带负电粒子在t＝0时刻从坐标原点O沿y轴正方向射入磁场，不计粒子重力。 （1）调节磁场的周期，满足，若粒子恰好打在屏上P（d，0）处，求粒子的速度大小v； （2）调节磁场的周期，满足，若粒子恰好打在屏上Q（d，d）处，求粒子的加速度大小a。 角度3　临界状态不唯一形成多解 例5 (多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　) A.使粒子的速度v＜ B.使粒子的速度v＞ C.使粒子的速度v＞ D.使粒子的速度 ＜v＜ 训练1（多选）真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向如图所示，、是磁场的边界。质量为、电荷量为的带正电粒子（不计重力）沿着与夹角的方向以一定的速度（大小未知）射入磁场中，从边界射出磁场时与的夹角为。则的大小可能为（　　） A． B． C． D． 训练2如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B．一粒子源位于上的点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为的同种粒子（重力不计，粒子间的相互作用不计），所有粒子均能通过上的点，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 角度4　运动的周期性形成多解 例6 如图所示，边长为l的等边三角形ACD内、外分布着方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，能沿∠CAD的角平分线方向发射不同速度的粒子，粒子质量均为m，电荷量均为＋q，不计粒子重力。则粒子以下列哪一速度发射时不能通过D点(　　) A. B. C. D. 解决带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题的关键是充分考虑问题的各种可能性，认真分析其物理过程，画出各种可能的运动轨迹，找出隐含的几何关系，综合运用数学、物理知识求解。 训练1如图所示，水平虚线MN上方有垂直纸面向外的匀强磁场，下方有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小相等，直线PQ为磁场左侧边界，右侧及上下范围足够大。一带正电粒子从P点进入磁场，速度大小为v，方向垂直于PQ，第一次到达MN时速度方向与MN垂直。若要求该粒子仍从P点垂直于PQ出发但不从左侧边界离开磁场，不计粒子重力。则粒子速度的最小值为（　　） A． B． C． D． 训练2如图所示，以直角三角形为边界的三角形区域内，有方向垂直纸面向里的磁感应强度大小为的匀强磁场（边界有磁场），，，在点发射质量为、电荷量为的带负电的粒子（不计重力作用），发射方向与边的夹角为，粒子从边射出磁场。求： (1)粒子在磁场中运动时间； (2)粒子入射速度最大值。 随堂对点自测 1.(临界问题)如图所示，在区域MNQP中有一垂直纸面向里的匀强磁场。质量和电荷量都相等的带电粒子a、b、c以不同的速率从O点沿垂直于PQ的方向射入磁场，图中实线是它们的轨迹。已知O是PQ的中点，不计粒子重力。下列说法中正确的是(　　) A.射入磁场时粒子a的速率最小 B.粒子a带负电，粒子b、c带正电 C.射出磁场时粒子b的动能最小 D.粒子b在磁场中运动的时间最短 2.(多解问题)(多选)如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m(重力不计)、电荷量为q(q>0)的同种粒子，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是(　　) A. B. C. D. 3.（多选）如图所示，直线OP把坐标系Oxy分成I区域和II区域，区域I中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；区域Ⅱ中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向内。边界上的P点坐标为（4L，3L）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点平行于y轴负方向射入区域I，经过一段时间后，粒子恰好经过原点O。忽略粒子重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8.则下列说法中正确的是（　　） A．该粒子可能沿y轴负方向从O点射出 B．该粒子射出时与x轴正方向夹角一定为90° C．该粒子在磁场中运动的最短时间 D．该粒子运动的可能速度为 4．（多选）小明同学对正、负电子对撞产生了浓厚的兴趣，他根据所学知识设计了正、负电子对撞装置，通过电子在匀强磁场中的运动来实现正、负电子在不同位置能发生正碰。如图所示，ab和cd是关于y轴对称、间距为2l的直线磁场边界，在两边界之间有两个有界匀强磁场。两磁场的边界MN位于x轴上方且平行于x轴，MN与x轴的距离h可调。MN下方的磁场垂直纸面向里，上方的磁场垂直纸面向外，磁感应强度大小均为B。若将质量为m、电荷量为e的正、负电子分别从ab和cd磁场边界上沿x轴同时以相同速率进入强磁场，使正、负电子能在y轴的不同位置垂直于y轴方向发生正碰，则MN与x轴的距离h的大小可能是（不计粒子间的相互作用力和粒子重力）（　　） A． B． C． D． 基础对点练 题组一　带电粒子在有界匀强磁场中的临界问题 1.(2024·山东菏泽高二期中)如图所示，正方形abcd区域(包含边界)存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的正电粒子从a点沿着ab方向射入磁场中，边长为l，不计粒子的重力，为使粒子从cd边射出磁场区域，粒子的速度可能为(　　) A. B. C. D. 2.(2024·甘肃兰州高二期中)中国环流器二号M装置(HL－2M)在成都建成并实现首次放电，该装置通过磁场将粒子约束在小范围内实现核聚变。其简化模型如图所示，半径为R和R的两个同心圆之间的环形区域存在与环面垂直的匀强磁场，核聚变原料氕核(H)和氘核(H)均以相同的速率从圆心O沿半径方向射出，全部被约束在大圆形区域内。则氕核在磁场中运动的半径最大为(　　) A.R B.R C.R D.(－1)R 3.如图所示，半径分别为R、2R的两个同心圆，圆心为O，大圆和小圆所夹的环状区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，其余区域无磁场。一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿PO方向以速度v1射入磁场，其运动轨迹如图所示，图中轨迹所对应的圆心角为120°。若将该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2，要求不论其入射方向如何，都不可能射入小圆内部区域，则v1∶v2至少为(　　) A. B. C. D. 题组二　带电粒子在有界匀强磁场中的多解问题 4.(多选)质量为m、电荷量为q的负电荷，在磁感应强度为B的匀强磁场中，绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的静电力是洛伦兹力的3倍，则负电荷做匀速圆周运动的角速度可能是(　　) A. B. C. D. 5.(多选)(2024·安徽合肥高二期中)如图所示，宽度为L的有界匀强磁场，磁感应强度为B，AC和DE是它的两条边界。现有质量为m、电荷量的绝对值为q的带电粒子以θ＝45°方向射入磁场。要使粒子不能从边界DE射出，则粒子入射速度v的最大值可能是(　　) A. B. C. D. 综合提升练 6.如图所示，空间存在方向垂直纸面的匀强磁场，一粒子发射源P位于足够大的绝缘平板MN的上方距离为d处，在纸面内向各个方向发射速率均为v的同种带电粒子，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力，已知粒子做圆周运动的半径大小也为d，则粒子(　　) A.能打在板上的区域长度为2d B.能打在板上的点与P点的最远距离为d C.到达板上的最长时间为 D.到达板上的最短时间为 7.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内，有磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从矩形区域ad边的中点O处垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为v的带电粒子。已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，ad边长为L，重力影响忽略。试求： (1)粒子能从ab边射出磁场的v的范围； (2)如果带电粒子不受上述v大小范围的限制，粒子在磁场中运动的最长时间。 8.如图所示，以OP为分界线将直角MON分为区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域Ⅱ内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，OP与OM间的夹角为30°。一质量为m、带电量为的粒子从分界线上的P点以速度v、沿与分界线OP成60°角的方向射入区域Ⅰ，在区域Ⅰ偏转后直接从O点离开磁场区域，不计粒子的重力。 （1）求OP之间的距离； （2）若粒子从P点射入的速度方向不变，大小可以改变，要使粒子仍从O点离开磁场区域，求粒子射入时速度大小的可能值。 9．（多选）如图所示，边长为3L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，粒子源能沿的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、电荷量均为+q不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则发射速度v0为哪些值时粒子能通过B点（　　） A． B． C． D． 培优加强练 11.如图所示，空间中有一坐标系xOy，其第一象限内充满着两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，直线OP是它们的边界，区域Ⅰ中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；区域Ⅱ中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向里，边界上的P点坐标为(4L，3L)。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点平行于y轴沿负方向射入区域Ⅰ，经过一段时间后，粒子恰好经过原点O，忽略粒子重力，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： (1)粒子从P点运动到O点的时间至少为多少？ (2)粒子的速度大小可能是多少？ 12.在如图甲所示的正方形平面Oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示。一个质量为m、带电荷量为+q的粒子（不计重力）在t=0时刻沿Oc边从O点射入磁场中。已知正方形边长为L，磁感应强度的大小为B0，规定垂直于纸面向外为磁场的正方向。 (1)求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T0。 (2)若带电粒子不能从Oa边界射出磁场，求磁感应强度的变化周期T的最大值。 (3)要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时的速度大小。 13．如图所示，在xOy坐标平面的第三象限内存在一个与x轴平行的线状粒子源S，其长度为2R，右端紧靠y轴，可以连续不断地产生沿粒子源均匀分布的电量为+q、质量为m的无初速粒子。粒子经y方向的匀强电场加速获得初速度v0后，进入一垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域。该圆形磁场区域与y轴相切，圆心O'坐标为（，0）。在xOy坐标平面的第一象限内依次存在三个宽度均为d、方向垂直纸面向里的匀强磁场区域I、Ⅱ、Ⅲ，三区域的磁感应强度之比为6∶2∶1，区域Ⅲ的右边界安装了一竖直接地挡板，可吸收打在板上的粒子。已知对准O'射入圆形磁场的粒子将沿着x轴射出；从O点射出、方向与x轴成30°的粒子刚好经过区域I的右边界（未进入区域Ⅱ）。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，求： (1)圆形磁场的磁感应强度大小B0； (2)I区域的磁感应强度大小B1； (3)若能从O点出射、方向与x轴成θ的粒子刚好经过区域Ⅱ的右边界（未进入区域Ⅲ），求θ的正弦值； (4)若某段时间内从线状离子源飘出N个粒子，求能打在挡板上的粒子数。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1.8节 培优专题　 带电粒子在匀强磁场中的临界和多解问题 学习目标　 1.会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题。 2.会分析带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题，知道产生多解的原因。 提升1　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 (1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中的运动时间越长。 (3)当比荷相同，速率v变化时，圆心角越大时，运动时间越长。 例1 (多选)如图，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入一正方形匀强磁场区域，对从右边界ab离开磁场的电子，下列判断正确的是(　　) A.从a点离开的电子速度最小 B.从a点离开的电子在磁场中运动的时间最短 C.从b点离开的电子运动半径最小 D.从b点离开的电子速度偏转角最小 答案　BC 解析　对于从右边界ab离开磁场的电子，从a点离开的轨迹半径最大，从b点离开的轨迹半径最小，根据r＝知，轨迹半径越大，电子的速度越大，则从a点离开的电子速度最大，A错误，C正确；从a点离开的电子速度偏转角最小，则轨迹对应的圆心角θ最小，根据t＝T＝·＝，知运动时间与电子的速度无关，θ越小，运动的时间越短，B正确，D错误。 训练1（多选）一质量为m、电量为q的带电粒子以速度从x轴上的A点垂直y轴射入第一象限，第一象限某区域存在磁感强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，粒子离开第一象限时速度方向与x轴正方向夹角θ=60°。如图所示（粒子仅受洛伦兹力），下列说法正确的是（　　） A．带电粒子带负电荷 B．带电粒子在磁场中的做圆周运动的圆心角为60° C．如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 D．如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是 【答案】BCD 【详解】A．磁场方向垂直于纸面向外，粒子在磁场中顺时针偏转，根据左手定则可知，带电粒子带正电荷，故A错误； B．由题意可知粒子在磁场中速度方向改变了60°，则带电粒子在磁场中的做圆周运动的圆心角为60°，故B正确； C．由洛伦兹力提供向心力得 可得轨道半径为 粒子的运动轨迹如图所示 若是圆形区域磁场，则以CD为直径的圆面积最小，根据几何关系可知，故最小面积为 故C正确； D．若是矩形区域磁场，则以CD为长，以圆弧最高点到CD的距离h为宽，则矩形的面积最小；则有 所以矩形区域磁场最小面积为 故D正确。 故选BCD。 训练2（多选）一质量为m、电量为q（q<0）的带电粒子以速度v0从x轴上的A点垂直y轴射入第一象限，第一象限某区域磁感强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，粒子离开第一象限时速度方向与x轴正方向夹角θ＝60°。如图所示（粒子仅受洛伦兹力），下列说法正确的是（　　） A．如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 B．如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 C．如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是 D．如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是 【答案】AC 【详解】AB．由洛伦兹力充当向心力得 所以半径为 运动轨迹如下图所示 若是圆形区域磁场，则以CD为直径的圆面积最小，CD=R，故最小面积为 A正确，B错误； CD．若是矩形区域磁场，则以CD为长，以圆弧最高点到CD的距离h为宽，则矩形的面积最小。 所以矩形区域磁场最小面积为 C正确，D错误； 故选AC。 例2 如图所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为CD和EF，速度为v的电子从边界CD外侧沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向与CD的夹角为θ，已知电子的质量为m、带电荷量为e，为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足的条件是(　　) A.v> B.v< C.v> D.v< 答案　A 解析　由题意可知，电子从边界EF射出的临界条件为到达边界EF时，速度方向与EF平行，即运动轨迹与EF相切，如图所示。由几何知识得： R＋Rcos θ＝d，R＝ 解得v0＝，当v＞v0时，电子能从边界EF射出，故A正确。 训练1如图所示，水平虚线上方有垂直纸面向外的匀强磁场，下方有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小相等。直线为磁场左侧边界，右侧及上下范围足够大。一带正电粒子从P点进入磁场，速度大小为v，方向垂直于，第一次到达时速度方向与垂直。若要求该粒子仍从P点垂直于出发但不从左侧边界离开磁场，不计粒子重力。则粒子速度的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据洛伦兹力提供向心力 设，粒子第一次到达MN时速度方向与MN垂直可知 解得 若要求该粒子仍从P点垂直于PQ出发但不从左侧边界离开磁场，则粒子运动轨迹如图所示 设粒子此时做圆周运动的半径为，根据几何关系可得 根据洛伦兹力提供向心力 联立解得粒子速度的最小值为 故选A。 训练2（多选）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第四象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量m = 5.0 × 10−8 kg、电荷量q = 1.0 × 10−6 C的带正电的粒子以16 m/s的速度从P点沿图示方向进入磁场，速度方向与y轴负方向的夹角为37°，已知OP = 0.4 m，不计带电粒子的重力，sin37° = 0.6，若粒子不能进入x轴上方，则磁感应强度大小B可能的取值为（　　） A．2 T B．3 T C．4 T D．5 T 【答案】CD 【详解】带电粒子恰好不能进入x轴上方时粒子的运动轨迹如图所示 根据几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 若粒子不能进入x轴上方，则磁感应强度大小需要满足 故选CD。 提升2　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 1.带电粒子电性不确定形成多解。如图甲中做匀速圆周运动的粒子可能带正电，也可能带负电，因带电性质不确定，轨迹不确定，形成多解。 甲 2.磁场方向不确定带来多解。如描述的磁场垂直于纸面，需分垂直纸面向外、垂直纸面向里两种情况进行讨论。 3.临界状态不唯一形成多解。如图乙中带电粒子不打在下极板上，粒子的速度有两种情况：v≤v1或v≥v2。 4.运动的周期性带来多解。如带电粒子在如图丙所示电磁组合场中会做周期性运动，从而形成多解。 　 乙　　　　　　　　　丙 角度1　带电粒子电性不确定形成多解 例3 (多选)如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为(　　) A. B. C. D. 答案　AD 解析　由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况。 由qvB＝m和T＝得T＝。由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2＝60°，则对应时间分别为t1＝T＝，t2＝T＝。选项A、D正确。 训练1（多选）如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出，下列说法正确的是（　　） A．带电粒子一定带负电荷 B．带电粒子的速度最小值为 C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量可能为 D．带电粒子在磁场中运动时间可能为 【答案】BCD 【详解】AC．若粒子带正电，与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出，设轨迹半径为，运动轨迹如下图所示 由图中几何关系可得 解得 由洛伦兹力充当向心力 解得 由动量定理得 A错误，C正确； B．若粒子的运动轨迹如下图所示 由左手定则可知，粒子带负电，粒子运动的轨迹最小，速度最小，由 解得 B正确； D．若粒子带负电，运动轨迹如下图所示 当轨迹半径等于L时，此时转过的圆心角为60°，所以在磁场中运动的时间为 D正确。 故选BCD。 训练2如图所示，垂直纸面向内的磁场宽度为L，足够长，磁感应强度为B，一电性未知的带电粒子，质量为m、电荷量为q，以与边界成角的速度射入磁场，为不让其从右边界飞出，求该带电粒子的速度的大小范围。（不计粒子重力） 【答案】或者 【详解】当粒子带负电时，为不让其从右边界飞出，则轨迹与右边界相切，从射入点下边界射出，此时有最大速度，轨迹如下图 由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力，得 联立解得 则，该带电粒子的速度的大小范围为 当粒子带正电时，为不让其从右边界飞出，则轨迹与右边界相切，从射入点上边界射出，此时有最大速度，轨迹图如下 由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力，得 联立解得 则，该带电粒子的速度的大小范围为 角度2　磁场方向不确定形成多解 例4 (多选)如图所示，A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间夹角为30°。则所加磁场的磁感应强度B应满足(　　) A.垂直纸面向里，B> B.垂直纸面向里，B> C.垂直纸面向外，B> D.垂直纸面向外，B> 答案　BC 解析　当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知负离子向右偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(大圆弧)，由几何知识知r2＝OO2sin 30°＝OO2，而OO2＝s＋r2，故r2＝s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件，由牛顿第二定律可得qvB＝m，解得B>，选项A错误，B正确；当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知负离子向左偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(小圆弧)，由几何知识知r1＝，所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件；由牛顿第二定律得qvB＝，解得B>，选项C正确，D错误。 训练1（多选）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（　　） A．，垂直纸面向里 B．，垂直纸面向里 C．，垂直纸面向外 D．，垂直纸面向外 【答案】BD 【详解】AB．当所加匀强磁场方向垂盲纸面向里时，由左手定则知：负离子向右偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（大圆弧） 由几何知识知 而 所以 所以当离子轨迹的半径小于s时满足约束条件。由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出 所以得 故A错误，B正确； CD．当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则知：负离子向左偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（小圆弧） 由几何知识知道相切圆的半径为，所以当离子轨迹的半径小于时满足约束条件。 由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出 所以得 故C错误，D正确。 故选BD。 训练2在图甲所示的平面直角坐标系xOy内，正方形区域（0<x<d、0<y<d）内存在垂直xOy平面周期性变化的匀强磁场，规定图示磁场方向为正方向，磁感应强度B的变化规律如图乙所示，变化的周期T可以调节，图中B0为已知。在x＝d处放置一垂直于x轴的荧光屏，质量为m、电荷量为q的带负电粒子在t＝0时刻从坐标原点O沿y轴正方向射入磁场，不计粒子重力。 （1）调节磁场的周期，满足，若粒子恰好打在屏上P（d，0）处，求粒子的速度大小v； （2）调节磁场的周期，满足，若粒子恰好打在屏上Q（d，d）处，求粒子的加速度大小a。 【答案】（1）；（2）（k＝1，2，3…） 【详解】（1）满足，粒子的运动轨迹如图所示 由洛伦兹力提供向心力，有 几何关系可得 2R1＝d 联立解得 （2）满足，粒子的轨迹如图所示 由几何关系可得 d＝kR2，其中k＝1，2，3… 由 可得 （k＝1，2，3…） 而 联立可得 ，k＝1，2，3… 角度3　临界状态不唯一形成多解 例5 (多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　) A.使粒子的速度v＜ B.使粒子的速度v＞ C.使粒子的速度v＞ D.使粒子的速度 ＜v＜ 答案　AB 解析　欲使粒子不打在极板上，如图所示，带正电的粒子从左边射出磁场时，其在磁场中圆周运动的半径r＜ 粒子在磁场中做圆周运动由洛伦兹力提供向心力，根据 qvB＝m 可得粒子做圆周运动的半径r＝ 所以粒子从左边射出不打到极板上满足 ＜，即v＜ 带正电的粒子从右边射出，如图所示，此时粒子的最小半径为r′，由几何关系有r′2＝l2＋2 可得粒子做圆周运动的最小半径r′＝ 则＞ 即v＞ 故欲使粒子不打在极板上，粒子的速度必须满足v＜或v＞，故选项A、B正确。 训练1（多选）真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向如图所示，、是磁场的边界。质量为、电荷量为的带正电粒子（不计重力）沿着与夹角的方向以一定的速度（大小未知）射入磁场中，从边界射出磁场时与的夹角为。则的大小可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】粒子从点射出时，轨迹圆心为，半径为，如图所示 根据几何关系有 解得 根据 解得 粒子从点射出时，轨迹圆心为，半径为，根据几何关系有 解得 根据 可得 故选CD。 训练2如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B．一粒子源位于上的点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为的同种粒子（重力不计，粒子间的相互作用不计），所有粒子均能通过上的点，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】粒子可能在两个磁场间做多次运动，画出粒子可能的轨迹，如图所示 所有粒子对应的圆心角均为，由几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力，则有 解得 当时，可得 故选C。 角度4　运动的周期性形成多解 例6 如图所示，边长为l的等边三角形ACD内、外分布着方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，能沿∠CAD的角平分线方向发射不同速度的粒子，粒子质量均为m，电荷量均为＋q，不计粒子重力。则粒子以下列哪一速度发射时不能通过D点(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　粒子带正电，且经过D点，其可能的轨迹如图所示： 所有圆弧所对的圆心角均为60°，所以粒子运动的半径为r＝(n＝1，2，3，…)；粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m，解得v＝＝(n＝1，2，3，…)，故C正确。 解决带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题的关键是充分考虑问题的各种可能性，认真分析其物理过程，画出各种可能的运动轨迹，找出隐含的几何关系，综合运用数学、物理知识求解。 训练1如图所示，水平虚线MN上方有垂直纸面向外的匀强磁场，下方有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小相等，直线PQ为磁场左侧边界，右侧及上下范围足够大。一带正电粒子从P点进入磁场，速度大小为v，方向垂直于PQ，第一次到达MN时速度方向与MN垂直。若要求该粒子仍从P点垂直于PQ出发但不从左侧边界离开磁场，不计粒子重力。则粒子速度的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设MP = d，粒子第一次到达MN时速度方向与MN垂直可知 其中 解得 若要求该粒子仍从P点垂直于PQ出发但不从左侧边界离开磁场，则粒子运动轨迹如图 由几何关系可知 则 可得 可得速度的最小值为 故选A。 训练2如图所示，以直角三角形为边界的三角形区域内，有方向垂直纸面向里的磁感应强度大小为的匀强磁场（边界有磁场），，，在点发射质量为、电荷量为的带负电的粒子（不计重力作用），发射方向与边的夹角为，粒子从边射出磁场。求： (1)粒子在磁场中运动时间； (2)粒子入射速度最大值。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意可知，若粒子从边射出磁场，运动轨迹如图所示 由几何关系可知，轨迹所对圆心角 根据牛顿第二定律有 又有 整理可得 则粒子在磁场中运动时间 （2）假设粒子以最大速度从A点进入磁场，与OC相切于D点，最终从AC边射出，此时粒子的运动半径最大，如图所示 由几何关系有 解得 根据牛顿第二定律有 解得 随堂对点自测 1.(临界问题)如图所示，在区域MNQP中有一垂直纸面向里的匀强磁场。质量和电荷量都相等的带电粒子a、b、c以不同的速率从O点沿垂直于PQ的方向射入磁场，图中实线是它们的轨迹。已知O是PQ的中点，不计粒子重力。下列说法中正确的是(　　) A.射入磁场时粒子a的速率最小 B.粒子a带负电，粒子b、c带正电 C.射出磁场时粒子b的动能最小 D.粒子b在磁场中运动的时间最短 答案　D 解析　粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，即qvB＝m，解得v＝，由题图可知，射入磁场时粒子c的半径最小，则速率最小，A错误；由题图可知，a向左偏，b、c向右偏，根据左手定则知粒子a带正电，粒子b、c带负电，B错误；粒子的动能Ek＝mv2＝，由于q、B、m都相同，因此r越大，粒子动能越大，由题图可知，b的轨迹半径r最大，则粒子b动能最大；c的半径最小，则动能最小，C错误；粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝，粒子在磁场中的运动时间t＝T＝，其中θ为转过的圆心角，由于m、q、B都相同，粒子c转过的圆心角θ最大，则在磁场中c的运动时间最长，粒子b转过的圆心角θ最小，则在磁场中粒子b的运动时间最短，D正确。 2.(多解问题)(多选)如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m(重力不计)、电荷量为q(q>0)的同种粒子，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是(　　) A. B. C. D. 答案　AB 解析　由题意可知，粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对的圆心角均为120°，所以粒子运动的半径为r＝·(n＝1，2，3，…)；粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，得qvB＝m，则v＝＝·(n＝1，2，3，…)，选项A、B正确。 3.（多选）如图所示，直线OP把坐标系Oxy分成I区域和II区域，区域I中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；区域Ⅱ中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向内。边界上的P点坐标为（4L，3L）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点平行于y轴负方向射入区域I，经过一段时间后，粒子恰好经过原点O。忽略粒子重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8.则下列说法中正确的是（　　） A．该粒子可能沿y轴负方向从O点射出 B．该粒子射出时与x轴正方向夹角一定为90° C．该粒子在磁场中运动的最短时间 D．该粒子运动的可能速度为 【答案】BCD 【详解】AB．带电粒子射入磁场中，由洛伦兹力提供向心力而做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得 解得 所以粒子在Ⅰ和Ⅱ两磁场中做圆周运动的半径关系为 如图所示 由题意知OP边与x轴的夹角 可得 故带正电粒子从P点平行于y轴负方向射入区域I与OP边的夹角为53°，由带电粒子在单边磁场运动的对称性知从区域Ⅱ中射出的粒子速度方向一定为y轴负方向，故A错误，B正确； C．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 粒子在区域Ⅰ中转过的圆心角为 粒子在区域Ⅰ中运动的时间为 粒子在区域Ⅱ中转过的圆心角为 粒子在区域Ⅱ中运动的时间为 所以该粒子在磁场中运动的最短时间 故C正确； D．带电粒子每次从区域Ⅱ射出为一个周期，在OP边移动的距离为 其中 而 ，n=1，2，3…… 联立解得 故D正确。 故选BCD。 4．（多选）小明同学对正、负电子对撞产生了浓厚的兴趣，他根据所学知识设计了正、负电子对撞装置，通过电子在匀强磁场中的运动来实现正、负电子在不同位置能发生正碰。如图所示，ab和cd是关于y轴对称、间距为2l的直线磁场边界，在两边界之间有两个有界匀强磁场。两磁场的边界MN位于x轴上方且平行于x轴，MN与x轴的距离h可调。MN下方的磁场垂直纸面向里，上方的磁场垂直纸面向外，磁感应强度大小均为B。若将质量为m、电荷量为e的正、负电子分别从ab和cd磁场边界上沿x轴同时以相同速率进入强磁场，使正、负电子能在y轴的不同位置垂直于y轴方向发生正碰，则MN与x轴的距离h的大小可能是（不计粒子间的相互作用力和粒子重力）（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】设正、负电子以速度v在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r，根据牛顿第二定律有 解得 当粒子运动到MN上方磁场且恰好与ab边界相切，此时粒子在磁场中圆心角最大。根据几何关系有 当h＞r时 所以求得 当n=1时，无解； 当n=2时 当n＞3时 不成立。 所以 当h＜r时，如图所示，正、负电子在两磁场中存在往复运动的情况，根据几何关系有 解得 ，（n=2、3、4...） 当n=2时 当n=4时 但是不可能为 故选ABC。 基础对点练 题组一　带电粒子在有界匀强磁场中的临界问题 1.(2024·山东菏泽高二期中)如图所示，正方形abcd区域(包含边界)存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的正电粒子从a点沿着ab方向射入磁场中，边长为l，不计粒子的重力，为使粒子从cd边射出磁场区域，粒子的速度可能为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，可得R＝，可知对于同一粒子或比荷相同的粒子，在同一磁场中做圆周运动的轨迹半径由速度决定，速度越大轨迹半径越大，速度越小则轨迹半径越小。因此，粒子若要从cd边射出磁场区域，则恰好从d点出射时，粒子有最小速度，且此时ad为粒子轨迹的直径，有＝，解得vmin＝，若粒子恰好从c点射出，粒子有最大速度，根据几何关系可知，此时粒子的轨迹半径为l，则有l＝，解得vmax＝，综上可知，若粒子从cd边射出磁场区域，则粒子速度的取值范围为≤v≤，故C正确。 2.(2024·甘肃兰州高二期中)中国环流器二号M装置(HL－2M)在成都建成并实现首次放电，该装置通过磁场将粒子约束在小范围内实现核聚变。其简化模型如图所示，半径为R和R的两个同心圆之间的环形区域存在与环面垂直的匀强磁场，核聚变原料氕核(H)和氘核(H)均以相同的速率从圆心O沿半径方向射出，全部被约束在大圆形区域内。则氕核在磁场中运动的半径最大为(　　) A.R B.R C.R D.(－1)R 答案　A 解析　依题意，氕核、氘核全部被约束在大圆形区域内，根据qvB＝m，得r＝，由于二者速率相同，根据半径与比荷的关系，可知氕核、氘核在磁场中的轨迹半径之比为1∶2。当氘核在磁场中运动轨迹刚好与磁场外边界相切时，氘核运动轨迹半径最大，由几何知识得(R－rmax)2＝r＋R2，求得氘核的最大半径为rmax＝R，所以，氕核在磁场中运动的最大半径为rmax′＝rmax＝R，故A正确。 3.如图所示，半径分别为R、2R的两个同心圆，圆心为O，大圆和小圆所夹的环状区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，其余区域无磁场。一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿PO方向以速度v1射入磁场，其运动轨迹如图所示，图中轨迹所对应的圆心角为120°。若将该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2，要求不论其入射方向如何，都不可能射入小圆内部区域，则v1∶v2至少为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　粒子沿PO方向以速度v1射入磁场时，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何知识得r1＝＝；洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qv1B＝m，解得v1＝。假设粒子从P点竖直向上射入磁场，如果粒子不能进入小圆区域，则所有粒子都不可能进入小圆区域；粒子从P点竖直向上射入磁场恰好不能进入小圆区域时，轨迹半径r2＝，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qv2B＝m，解得v2＝。故v1∶v2＝，选项A正确，B、C、D错误。 题组二　带电粒子在有界匀强磁场中的多解问题 4.(多选)质量为m、电荷量为q的负电荷，在磁感应强度为B的匀强磁场中，绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的静电力是洛伦兹力的3倍，则负电荷做匀速圆周运动的角速度可能是(　　) A. B. C. D. 答案　AC 解析　磁场方向垂直于负电荷运动平面，其方向存在两种情形。设负电荷做匀速圆周运动的速度为v、轨道半径为r，当运动负电荷受到的静电力和洛伦兹力方向相同时，4qvB＝m，得v＝；根据匀速圆周运动线速度和角速度之间的关系ω＝＝；当运动负电荷受静电力和洛伦兹力方向相反时，同理得ω′＝，故A、C正确。 5.(多选)(2024·安徽合肥高二期中)如图所示，宽度为L的有界匀强磁场，磁感应强度为B，AC和DE是它的两条边界。现有质量为m、电荷量的绝对值为q的带电粒子以θ＝45°方向射入磁场。要使粒子不能从边界DE射出，则粒子入射速度v的最大值可能是(　　) A. B. C. D. 答案　BD 解析　题目中只给出粒子“电荷量的绝对值为q”，未说明是带哪种电荷。如图所示，若q为正电荷，轨迹为如图所示的左方与DE相切的圆弧，轨道半径R1＝，又L＝R1－R1cos 45°，得v1＝，若q为负电荷，轨迹为如图所示的右方与DE相切的圆弧，则有R2＝，L＝R2＋R2cos 45°，得v2＝，则粒子入射速度v的最大值可能是(q为正电荷)或(q为负电荷)，故B、D正确。 综合提升练 6.如图所示，空间存在方向垂直纸面的匀强磁场，一粒子发射源P位于足够大的绝缘平板MN的上方距离为d处，在纸面内向各个方向发射速率均为v的同种带电粒子，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力，已知粒子做圆周运动的半径大小也为d，则粒子(　　) A.能打在板上的区域长度为2d B.能打在板上的点与P点的最远距离为d C.到达板上的最长时间为 D.到达板上的最短时间为 答案　C 解析　打在板上的粒子轨迹的临界状态如图甲所示，左端粒子轨迹与平板相切，右边为直径与平板的交点。根据几何关系知，带电粒子能打在板上的长度l＝r＋＝(1＋)r＝(1＋)d，A错误；由图甲可以看出打在板上最远点是B点，由几何关系知，它与P点的距离是2d，B错误； 在磁场中运动时间最长和最短粒子运动轨迹示意图如图乙中的1和2所示，由几何关系知，最长时间t1＝T(弧长最长)，最短时间t2＝T(弧长最短)。由于粒子在磁场中运动的周期T＝＝，由此可得t1＝，t2＝，故C正确，D错误。 7.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内，有磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从矩形区域ad边的中点O处垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为v的带电粒子。已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，ad边长为L，重力影响忽略。试求： (1)粒子能从ab边射出磁场的v的范围； (2)如果带电粒子不受上述v大小范围的限制，粒子在磁场中运动的最长时间。 答案　(1)<v<　(2) 解析　(1)当v较小时，运动轨迹恰好与ab边相切；当v较大时，恰好与cd边相切，然后从ab边穿出，如图所示。 当速度较小为v1时，有 r＋rsin 30°＝L 解得r＝ 又由半径公式r＝可得v1＝ 当速度较大时，设为v2，由几何关系知r＝L 又由半径公式r＝得v2＝ 可得，带电粒子在磁场中从ab边射出时，其速度范围为<v<。 (2)带电粒子在磁场中运动的周期为T＝ 要使带电粒子运动时间最长，其运动轨迹对应的圆心角应最大，所以粒子在磁场中运动一段时间后从Oa边穿出时，对应的运动时间最长，即有 tmax＝T＝·＝。 8.如图所示，以OP为分界线将直角MON分为区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域Ⅱ内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，OP与OM间的夹角为30°。一质量为m、带电量为的粒子从分界线上的P点以速度v、沿与分界线OP成60°角的方向射入区域Ⅰ，在区域Ⅰ偏转后直接从O点离开磁场区域，不计粒子的重力。 （1）求OP之间的距离； （2）若粒子从P点射入的速度方向不变，大小可以改变，要使粒子仍从O点离开磁场区域，求粒子射入时速度大小的可能值。 【答案】（1）（2） 【详解】（1）根据牛顿第二定律 得 粒子运动轨迹如图 OP长度为 （2）粒子从点离开一定是从区域Ⅰ与相切离开磁场区域，故 根据几何关系 即 ， 解得 9．（多选）如图所示，边长为3L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，粒子源能沿的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、电荷量均为+q不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则发射速度v0为哪些值时粒子能通过B点（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】粒子可能的轨迹如图所示 由几何关系得 （n=1,2,3） 由牛顿第二定律得 解得 （n=1,2,3） n=1时 n=3时 粒子可以通过B点，故AC符合题意，BD不符合题意。 故选AC。 培优加强练 11.如图所示，空间中有一坐标系xOy，其第一象限内充满着两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，直线OP是它们的边界，区域Ⅰ中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；区域Ⅱ中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向里，边界上的P点坐标为(4L，3L)。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点平行于y轴沿负方向射入区域Ⅰ，经过一段时间后，粒子恰好经过原点O，忽略粒子重力，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： (1)粒子从P点运动到O点的时间至少为多少？ (2)粒子的速度大小可能是多少？ 答案　(1)　(2)(n＝1，2，3，…) 解析　(1)设粒子的入射速度为v，用r1、r2、T1、T2分别表示粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中运动的轨迹半径和周期，则有qvB＝m，qv·2B＝m 解得r1＝，r2＝ T1＝＝，T2＝＝ 粒子先在磁场Ⅰ区中做顺时针的圆周运动，后在磁场Ⅱ区中做逆时针的圆周运动，然后从O点射出，这样粒子从P点运动到O点所用的时间最短，粒子运动轨迹如图所示。 tan α＝＝0.75 得α＝37°，α＋β＝90° 粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中的运动时间分别为 t1＝T1，t2＝T2 粒子从P点运动到O点的时间至少为t＝t1＋t2 联立解得t＝。 (2)当粒子的速度大小满足一定条件时，粒子先在磁场Ⅰ区中运动，后在磁场Ⅱ区中运动，然后又重复前面的运动，直到经过原点O。这样粒子经过n个周期性的运动到达O点，每个周期的运动情况相同，粒子在一个周期内的位移为 s＝＝＝(n＝1，2，3，…) 粒子每次在磁场Ⅰ区中运动的位移为 s1＝s＝s 由图中的几何关系可知＝cos α 由以上各式解得粒子的速度大小可能为 v＝(n＝1，2，3，…)。 12.在如图甲所示的正方形平面Oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示。一个质量为m、带电荷量为+q的粒子（不计重力）在t=0时刻沿Oc边从O点射入磁场中。已知正方形边长为L，磁感应强度的大小为B0，规定垂直于纸面向外为磁场的正方向。 (1)求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T0。 (2)若带电粒子不能从Oa边界射出磁场，求磁感应强度的变化周期T的最大值。 (3)要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时的速度大小。 【答案】(1) (2) (3)； 【详解】（1）带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，可得 又 联立，解得 （2）如图所示， 若带电粒子不能从Oa边射出，则有 解得 在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转150°角，运动时间为 可知磁场使粒子每次变向的最长时间是t，带电粒子不能从Oa边射出，则有 磁感应强度的变化周期的最大值 （3）若要粒子从b点沿着ab方向射出磁场，轨迹如图所示 在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转的角度为，其中，即 满足这一条件的磁感应强度变化的周期 每一个圆弧对应的弦长OM为 圆弧半径为 又 联立，解得 13．如图所示，在xOy坐标平面的第三象限内存在一个与x轴平行的线状粒子源S，其长度为2R，右端紧靠y轴，可以连续不断地产生沿粒子源均匀分布的电量为+q、质量为m的无初速粒子。粒子经y方向的匀强电场加速获得初速度v0后，进入一垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域。该圆形磁场区域与y轴相切，圆心O'坐标为（，0）。在xOy坐标平面的第一象限内依次存在三个宽度均为d、方向垂直纸面向里的匀强磁场区域I、Ⅱ、Ⅲ，三区域的磁感应强度之比为6∶2∶1，区域Ⅲ的右边界安装了一竖直接地挡板，可吸收打在板上的粒子。已知对准O'射入圆形磁场的粒子将沿着x轴射出；从O点射出、方向与x轴成30°的粒子刚好经过区域I的右边界（未进入区域Ⅱ）。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，求： (1)圆形磁场的磁感应强度大小B0； (2)I区域的磁感应强度大小B1； (3)若能从O点出射、方向与x轴成θ的粒子刚好经过区域Ⅱ的右边界（未进入区域Ⅲ），求θ的正弦值； (4)若某段时间内从线状离子源飘出N个粒子，求能打在挡板上的粒子数。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）设粒子在I区的运动半径为r，根据几何关系有 则 I区域根据洛伦兹力提供向心力有 可得 （3）区域Ⅱ粒子轨迹如图所示 根据几何关系有 ， 解得 ， （4）设与x轴成β方向的粒子正好打到档板，由三个区域的动量定理综合得 解得 由几何关系可得对应在发射源的位置与y轴距离，该点到发射源中点间发射的粒子均能打到档板，所以总共为。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$