1.2.2 带电粒子在匀强磁场中的运动-【步步高】2023-2024学年高二物理选择性必修 第二册 （鲁科版2019）

第2课时　带电粒子在匀强磁场中的运动 [学习目标]　1.会分析带电粒子在匀强磁场中的运动。2.会根据洛伦兹力提供向心力推导半径和周期公式(重点)。3.会分析带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题(重点)。 一、带电粒子在匀强磁场中的运动 常见的运动形式 (1)当带电粒子(不计重力)以平行于磁场的方向进入匀强磁场时，由于f＝0，所以带电粒子做匀速直线运动。 (2)当带电粒子以垂直于磁场的方向进入匀强磁场时，f＝Bqv，带电粒子做匀速圆周运动。 (3)带电粒子以某一角度θ斜射入匀强磁场时，在垂直于磁场的方向上以分速度v1做匀速圆周运动。 在平行于磁场的方向上以分速度v2做匀速直线运动。 因此带电粒子沿着磁感线方向做螺旋形运动。 观察运动电荷在磁场中的轨迹 图甲所示的装置称为洛伦兹力演示仪。玻璃泡内的电子枪(即阴极)发射出阴极射线，使泡内的低压惰性气体发出辉光，这样就可显示出电子的轨迹。 1．观察并回答相关问题 (1)当没有磁场作用时，观察电子的运动轨迹，你看到了什么？ (2)当外加一磁场，让电子垂直射入磁场时，电子的运动轨迹有什么变化(图乙)? (3)当外加一磁场，让电子不垂直射入磁场时，电子的运动轨迹有什么变化(图丙)? 答案　(1)当没有磁场作用时，电子的径迹是直线。 (2)由图乙知当外加一磁场，让电子垂直射入磁场时，电子的运动轨迹变弯曲成圆形。 (3)由图丙知当外加一磁场，让电子不垂直射入磁场时，电子的运动轨迹变为螺旋形。 2．讨论交流 (1)有磁场作用时，电子的运动轨迹是否可能为直线？为什么？ (2)电子做圆周运动的向心力由谁提供？ (3)什么情况下电子会做螺旋形运动？ 答案　(1)当电子的运动方向与磁场方向平行时，电子不受洛伦兹力，电子将做匀速直线运动。 (2)电子垂直射入磁场时，电子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供电子做圆周运动的向心力。 (3)当电子运动方向与磁场有一夹角(大于0°小于90°)时，轨迹为螺旋形。 例1　关于带电粒子在匀强磁场中的运动，下列说法正确的是(　　) A．带电粒子飞入匀强磁场后，一定做匀速圆周运动 B．静止的带电粒子在匀强磁场中将会做匀加速直线运动 C．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力的方向总是和运动方向垂直 D．当洛伦兹力方向和运动方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中的运动一定是匀速圆周运动 答案　C 解析　若带电粒子的速度方向与磁场方向平行(同向或反向)，此时粒子所受洛伦兹力为零，带电粒子做匀速直线运动，A错误；静止的带电粒子不受洛伦兹力，仍静止，B错误；带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力的方向总跟速度方向垂直，即和运动方向垂直，C正确；如果带电粒子以与磁场方向成某一角度进入匀强磁场，洛伦兹力方向虽与运动方向垂直，但带电粒子不是做匀速圆周运动，D错误。 二、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期 如图所示，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以速率v垂直射入一磁感应强度为B的匀强磁场中。 (1)轨道半径与粒子的运动速率、粒子的质量成正比，与电荷量、磁感应强度成反比，即r＝。 (2)带电粒子的运动周期与粒子的质量成正比，与电荷量、磁感应强度成反比，与轨道半径和运动速率无关，即T＝。 (1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，轨道半径跟粒子的速率成正比。(　√　) (2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径成正比。(　×　) (3)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期随速度的增大而减小。(　×　) 例2　(多选)(2022·通化市期中)两个粒子A和B带有等量的同种电荷，粒子A和B以垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场，A、B均不计重力，则下列说法正确的是(　　) A．如果两粒子的速度vA＝vB，则两粒子的半径RA＝RB B．如果两粒子的动能EkA＝EkB，则两粒子的周期TA＝TB C．如果两粒子的质量mA＝mB，则两粒子的周期TA＝TB D．如果两粒子的质量与速度的乘积mAvA＝mBvB，则两粒子的半径RA＝RB 答案　CD 解析　因为粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R＝，周期T＝，又粒子电荷量相等且在同一磁场中，所以q、B相等，R与m、v有关，T只与m有关，所以A、B错误，C、D正确。 例3　(2023·北京海淀区人大附中高二校考期末)图甲是洛伦兹力演示仪结构图，玻璃泡内充有稀薄的气体，由电子枪发射电子束，在电子束通过时能够显示电子的径迹。图乙是励磁线圈的原理图，两线圈之间产生的磁场近似匀强磁场，线圈中电流越大磁场越强，磁场的方向与两个线圈中心的连线平行。电子速度的大小和磁感应强度可以分别通过电子枪的加速电压和励磁线圈的电流来调节。若电子枪垂直磁场方向发射电子，给励磁线圈通电后，能看到电子束的径迹呈圆形。关于电子束的轨道半径，下列说法正确的是(　　) A．只增大励磁线圈中的电流，轨道半径变小 B．只增大励磁线圈中的电流，轨道半径不变 C．只增大电子枪的加速电压，轨道半径不变 D．只增大电子枪的加速电压，轨道半径变小 答案　A 解析　电子在电子枪中被加速电场加速，由动能定理得：eU＝mv2 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律得：eBv＝m 解得：r＝ 增大励磁线圈中的电流，磁感应强度B增大，可知轨道半径r变小，故B错误，A正确； 只增大电子枪的加速电压U，可知轨道半径变大，故C、D错误。 三、带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题 分析思路：研究带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的问题，应按照“一找圆心，二求半径r＝，三求周期T＝或时间”的基本思路分析。问题的关键是结合左手定则和磁场边界作出粒子的运动轨迹图，而后利用几何关系确定圆心、找半径、解三角形。 1．圆心的确定 圆心一定在与速度方向垂直的直线上。圆心位置的确定通常有以下方法： (1)已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)。 (2)已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。 (3)带电粒子在匀强磁场中分别经过A、O、B三点时，其圆心O′在OA、OB的中垂线的交点上，如图丙所示。 2．半径的确定 方法一：由公式qvB＝m，得半径r＝； 方法二：利用几何知识解直角三角形。由圆的半径和其他几何边构成直角三角形，再由直角三角形的边角关系或勾股定理求解。 3．粒子在磁场中运动时间的确定 方法一：粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝T(或t＝T)。 方法二：当v一定时，粒子在磁场中运动的时间t＝(l为带电粒子通过的弧长)。 4．圆心角与偏向角、弦切角的关系 (1)带电粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角，偏向角等于圆弧对应的圆心角α，即α＝φ，如图所示。 (2)圆弧所对应圆心角α等于弦与切线的夹角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如图所示。 例4　(多选)(2023·福建省龙岩第一中学高二期末)如图所示，虚线上方空间分布着垂直纸面向里的匀强磁场，在纸面内沿不同的方向从粒子源O先后发射速率均为v的A和B两个粒子，A、B均带正电且电荷量相同，B的质量是A的质量的2倍，两个粒子同时到达P点。已知OP＝L，B粒子沿与PO成30°角的方向发射，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是(　　) A．A粒子沿与PO成150°角的方向发射 B．A、B两个粒子在磁场中运动的半径之比为1∶2 C．A、B两粒子在磁场中运动的时间之比为3∶10 D．A粒子和B粒子发射的时间间隔为 答案　BC 解析　粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力qvB＝m，解得r＝ 由于A、B电荷量相同，B的质量是A的质量的2倍，可知A、B两个粒子在磁场中运动的半径之比为＝＝，如图所示，对于B粒子而言，根据其在磁场中运动的轨迹，结合几何关系得其轨迹对应的圆心角为300°，则B粒子做匀速圆周运动的轨迹半径为rB＝L，则A粒子做圆周运动的轨迹半径为rA＝rB＝，可知OP为A粒子做匀速圆周运动的直径，A粒子沿与PO成90°角的方向发射，故A错误，B正确；A粒子做匀速圆周运动的时间为tA＝ TA＝×＝，B粒子做匀速圆周运动的时间tB＝TB＝×＝，A、B两粒子在磁场中运动的时间之比为＝＝，A粒子和B粒子发射的时间间隔为Δt＝tB－tA＝－＝，故C正确，D错误。 例5　(2022·江门市高二期中)如图所示，空间存在范围足够大的垂直xOy平面向里的匀强磁场(图中未画出)，一质量为m、带电荷量为＋q(q>0)的带电粒子(不计所受重力)从坐标原点O沿x轴正方向以速度v0射出，带电粒子恰好经过点A(h，h)，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)粒子从O点运动到A点所用的时间t。 答案　(1)　(2) 解析　(1)根据洛伦兹力提供向心力，结合几何关系有qv0B＝，(h)2＋(h－R)2＝R2 解得R＝h，B＝ (2)由几何关系知粒子从O到A轨迹的圆心角为120°，设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，则有T＝，t＝T 解得t＝。 课时对点练 考点一　带电粒子在匀强磁场中的运动 1．某粒子垂直射入某匀强磁场，下列说法正确的是(　　) A．粒子运动的动能始终不变 B．粒子运动的动量始终不变 C．粒子可能做类平抛运动 D．粒子可能做匀变速曲线运动 答案　A 考点二　周期与半径公式的应用 2．质子p(H)和α粒子(He)以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径分别为Rp和Rα，周期分别为Tp和Tα，则下列选项中正确的是(　　) A．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2 B．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶1 C．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶2 D．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶1 答案　A 解析　质子p(H)和α粒子(He)的带电荷量之比为qp∶qα＝1∶2，质量之比mp∶mα＝1∶4。由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律可知，轨道半径R＝，周期T＝，因为两粒子速率相同，代入q、m，可得Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2，故选项A正确，B、C、D错误。 3.一个带电粒子沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场。粒子的一段径迹如图所示。径迹上的每一小段都可近似看成圆弧。由于带电粒子能使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小(电荷量不变)。从图中情况可以确定(　　) A．粒子从a到b，带正电 B．粒子从a到b，带负电 C．粒子从b到a，带正电 D．粒子从b到a，带负电 答案　C 解析　由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小，可知速度逐渐减小；根据粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式r＝可知，粒子的运动半径逐渐减小，所以粒子的运动方向是从b到a；再根据左手定则可知粒子带正电，选项C正确，A、B、D错误。 4.(2022·桂林市高二期末)如图所示，水平直导线中通有恒定电流I，导线正下方处有一质子初速度大小为v0，其方向与电流方向相同，以后一小段时间质子将(　　) A．沿路径a运动，运动半径变小 B．沿路径a运动，运动半径变大 C．沿路径b运动，运动半径变小 D．沿路径b运动，运动半径变大 答案　C 解析　根据安培定则可判断在导线下方的磁场方向垂直纸面向外，离导线越远磁感应强度越小，由左手定则，可判断质子所受的洛伦兹力方向向上，根据半径公式r＝可知，B越大，r越小，则质子将沿路径b运动，运动半径变小，所以C正确，A、B、D错误。 5．粒子甲的质量与电荷量分别是粒子乙的4倍与2倍，两粒子均带正电。让它们在匀强磁场中同一点以大小相等、方向相反的速度开始运动。已知磁场方向垂直纸面向里。以下四幅图中，能正确表示两粒子运动轨迹的是(　　) 答案　B 解析　根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，得r＝，由于粒子甲的质量与电荷量分别是粒子乙的4倍与2倍，可知甲的轨迹半径是乙的轨迹半径的2倍，A、C错误；由于两粒子均带正电，由左手定则可知，B正确，D错误。 考点三　带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题 6.(2022·吕梁市期末)比荷不相等的带电粒子M和N，以相同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运动的半圆轨迹(M的轨迹圆半径大于N的轨迹圆半径)如图中虚线所示。下列说法正确的是(　　) A．M的带电荷量大于N的带电荷量 B．M的质量小于N的质量 C．M的运行时间小于N的运行时间 D．M的运行时间大于N的运行时间 答案　D 解析　根据qv0B＝m可得R＝，由M的轨迹圆半径大于N的轨迹圆半径，不能判断两粒子的电荷量和质量的大小关系，选项A、B错误；根据t＝T＝，可知M的运行时间大于N的运行时间，选项C错误，D正确。 7.(多选)(2023·福建省德化第一中学高二阶段练习)如图所示，水平边界上方有垂直纸面向里、范围足够大的匀强磁场，带电粒子射入磁场后，仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　) A．仅增大入射速度，粒子在磁场中的运动轨迹变长 B．仅增大入射速度，粒子在磁场中的运动时间变短 C．仅增大磁感应强度，粒子在磁场中的运动轨迹变长 D．仅增大磁感应强度，粒子在磁场中的运动时间变短 答案　AD 解析　粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝m，解得R＝，令粒子入射速度与磁场边界夹角为θ，夹角的单位为弧度，则粒子在磁场中的运动轨迹长为s＝(2π－2θ)R，解得s＝，可知，仅增大入射速度，粒子在磁场中的运动轨迹变长，A正确；根据上述可知，粒子在磁场中的运动时间t＝＝，则仅增大入射速度，粒子在磁场中的运动时间不变，B错误；根据上述可知，仅增大磁感应强度，粒子在磁场中的运动轨迹变短，C错误；根据上述可知，仅增大磁感应强度，粒子在磁场中的运动时间变短，D正确。 8.如图所示，匀强磁场方向竖直向下、磁感应强度大小为B。一带电粒子质量为m、电荷量为＋q，此粒子以某水平速度经过P点，方向如图，经过一段时间粒子经过Q点，已知P、Q在同一水平面内，P、Q间距离为L，P、Q连线与过P点时的速度的反向延长线夹角为θ，不计重力，求： (1)粒子的运动速度大小； (2)粒子从P第一次到Q所用的时间。 答案　(1)　(2) 解析　(1)如图所示，作PQ的中垂线，过P作初速度方向的垂线，交点为O，则OP等于带电粒子做圆周运动的半径r，由几何知识可知r＝，带电粒子受到的洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝，解得v0＝。 (2)粒子轨迹对应的圆心角α＝2π－2θ T＝，t＝T 联立解得t＝。 9.(2023·福建师大附中高二开学考试)如图所示，电子经加速电压U加速后垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，在磁场中转半个圆周后打在P点，通过调节电压U可以控制P点的位置，设OP＝x，能够正确反映U与x关系的图像是(　　) 答案　C 解析　电子在电场中做加速运动，根据动能定理得：eU＝mv2，解得：v＝，进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，则有：evB＝m，解得：r＝，电子运动半个圆周后打到P点，所以x＝2r＝2，U＝，即U与x2成正比，故C正确。 10.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设带电粒子进入第二象限的速度为v，在第二象限和第一象限中运动的轨迹如图所示，对应的轨迹半径分别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m、T＝，可得R1＝、R2＝、T1＝、T2＝，带电粒子在第二象限中运动的时间为t1＝，在第一象限中运动的时间为t2＝T2，又由几何关系有cos θ＝＝，可得t2＝，则粒子在磁场中运动的时间为t＝t1＋t2，联立以上各式解得t＝，选项B正确，A、C、D错误。 11．如图所示，Ⅰ、Ⅱ是两带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹，轨迹Ⅰ的半径大于轨迹Ⅱ的半径。两粒子运动至P点时发生正碰并结合在一起，然后沿圆轨迹的切线PQ做直线运动。不计粒子重力及碰撞前两粒子间的相互作用，则下列判断正确的是(　　) A．两粒子带等量异种电荷 B．轨迹为Ⅰ的粒子带正电 C．轨迹为Ⅰ的粒子的速度比轨迹为Ⅱ的粒子的速度大 D．轨迹为Ⅰ的粒子运动周期比轨迹为Ⅱ的粒子运动周期大 答案　A 解析　两粒子碰撞后沿圆轨迹的切线PQ做直线运动，说明碰撞后结合在一起的粒子不受洛伦兹力的作用，带电荷量为零，故两粒子原来带等量异种电荷，A正确；两粒子带电荷量大小相等，根据qvB＝m可得r＝，所以运动半径大的粒子动量大，即轨迹为Ⅰ的粒子动量大，把两粒子看成一个系统，该系统在碰撞过程中动量守恒，碰撞后动量沿PQ方向，则轨迹为Ⅰ的粒子运动方向是顺时针方向，根据左手定则可以判断轨迹为Ⅰ的粒子带负电，B错误；轨迹为Ⅰ的粒子的动量比轨迹为Ⅱ的粒子的动量大，但不知道它们的质量关系，所以它们的速度大小无法比较，C错误；粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T＝，虽然两粒子的带电荷量相等，但是不知道它们的质量关系，所以它们运动周期的大小无法比较，D错误。 12.如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计粒子重力。求： (1)带电粒子的比荷； (2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴所用的时间。 答案　(1)　(2)(＋) 解析　(1)设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v。由动能定理有qU＝mv2 粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力有 qvB＝m 由几何关系知d＝r 得＝ (2)由几何关系知，带电粒子从射入磁场到运动到x轴经过的路程为 s＝＋rtan 30° 带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为 t＝ 得t＝。 13.(2020·江苏卷改编)空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B0、3B0。质量为m、带电荷量为q的粒子从原点O沿x轴正向射入磁场，速度为v。粒子第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。不考虑粒子重力影响。求： (1)Q到O的距离d； (2)粒子两次经过P点的时间间隔Δt。 答案　(1)　(2) 解析　(1)粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为r1、r2，由qvB＝m可知r＝ 故r1＝，r2＝ 且d＝2r1－2r2，解得d＝ (2)粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别为t1、t2 由T＝＝得t1＝，t2＝， 且Δt＝2t1＋3t2 解得Δt＝。 学科网（北京）股份有限公司 $$