1.5质谱仪与回旋加速器（2）-2024-2025学年高二物理同步培优练（人教版2019选择性必修第二册）

1.4 质谱仪与回旋加速器（2） 一、带电粒子在叠加场中的往复运动 1．（24-25高三上·重庆渝中·期中）如图所示，在xOy平面内，在（未知）的区域内存在匀强电场，方向沿y轴正方向，电场强度的大小可以调节；在和区间内分别存在垂直xOy平面向外的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，两区域内磁感应强度的大小也相同，平面内y轴正半轴上距离坐标原点L处有一粒子源，可向xOy平面内第一象限沿不同方向射入速度大小均为的粒子，粒子质量为m，带正电且电荷量为q，不计粒子重力和粒子间的相互作用，当粒子源发射与y轴正方向夹角为的粒子时，该粒子恰好从匀强电场的左边界上处进入电场，然后从匀强电场的右边界上处射出电场，并且首次在磁场区域Ⅱ运动过程中刚好不从下边界射出磁场。（） (1)求匀强磁场区域磁感应强度的大小； (2)求的大小（用L表示，E未知）； (3)调节电场强度的大小，使得当粒子源发射的粒子沿方向射出时（速度仍为，恰好击中沿x轴放置的粗细不计的金属条的右端，该金属条长度为，左端所离坐标原点。粒子击中金属条立即被吸收，求所有满足条件的匀强电场的大小。 2．（2024·湖北·模拟预测）如图所示，在的区域中，存在沿轴正方向、场强大小为的匀强电场，电场的周围分布着垂直于纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为电量为的带正电粒子从中点无初速度进入电场（不计粒子重力），粒子从上边界垂直于第一次离开电场后，垂直于再次进入电场。求： (1)磁场的磁感应强度大小； (2)粒子第二次在电场中运动的位移大小； (3)粒子自点运动到第一次从边进入电场所需的时间。 3．（2025·广东·模拟预测）如图所示，足够大的挡板固定在平面直角坐标系xOy中，挡板与y轴负方向的夹角，分别交x、y轴于P、Q点，OP长度为l，挡板上有一小孔K，KP的长度为。在区域内存在着垂直于xOy平面的匀强磁场，第一象限和第四象限中除之外的区域内在挡板两侧分别存在着平行于y轴的匀强电场，电场强度大小均为E，方向如图所示。现将质量为m、电荷量为的粒子A由点释放，该粒子恰能垂直挡板穿过小孔K。已知挡板的厚度不计，粒子可以沿任意角度穿过小孔K，碰撞挡板的粒子会被挡板吸收，不计粒子重力及粒子之间的相互作用。 (1)求区域内匀强磁场的磁感应强度大小和方向； (2)现将质量也为m、电荷量也为的粒子B由第四象限释放，该粒子能以最小速度从小孔K穿过，求粒子B释放点的坐标； (3)若上述中两粒子A、B穿过小孔K后，分别打在挡板上的M、N点，求M、N两点之间的距离d。 4．（2025·全国·模拟预测）如图所示，在某空间建立平面直角坐标系，第一象限有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E。第四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。一不计重力、质量为m、带电荷量为的粒子从M点沿x轴正方向飞出，第1次经过x轴时的位置为N点，坐标为。 (1)求粒子的初速度大小； (2)如果粒子第一次经过x轴后不能回到第一象限，求磁感应强度的大小范围； (3)如果粒子第一次经过x轴后能再次经过N点，求磁感应强度大小的取值及粒子连续两次经过N点的最长时间间隔。 5．（2025·重庆·一模）如图所示直角坐标系平面内，位于点的粒子枪由粒子源和加速电场组成。粒子源C可以不断提供初速度为零、比荷（即：）为的正电粒子，粒子枪从点沿轴正方向发出粒子。区域内存在磁感应强度为、方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，区域内存在电场强度为、方向沿轴正方向的匀强电场，区域内存在垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小仍为。不计正电粒子的重力以及它们之间的相互作用，完成下列问题： (1)当加速电场电压为时，求粒子枪射出粒子的速度； (2)调节加速电场电压，发现全部粒子第一次到达轴的位置范围为，求电压的取值范围； (3)研究其中垂直穿过轴的粒子，求该粒子最终离开磁场的位置坐标。 （粒子枪发射粒子后，不再影响粒子的运动。计算中可能用到：，，，，，） 二、带电粒子在叠加场中的直线运动 6．（23-24高二下·江苏无锡·期中）如图，一根粗糙绝缘细杆固定在磁感应强度为B、垂直纸面向里的水平匀强磁场中，杆和磁场垂直，与水平方向成θ角。杆上套一个质量为m、电荷量为+q的小球。小球与杆之间的动摩擦因数为μ。从A点开始由静止释放小球，使小球沿杆向下运动。设磁场区域足够大，杆足够长，重力加速度为g，则下列叙述中正确的是（　　） A．小球先做加速度减小的加速运动，再做匀速直线运动 B．小球运动的最大加速度小于gsinθ C．小球的速度达到最大速度一半时，加速度a = 0.5g（sinθ + μcosθ） D．小球的最大速度 7．（2024·全国·模拟预测）如图，水平地面上竖直固定着两根相同的圆柱形粗糙绝缘杆，将两相同的带电小环和分别套在两杆上，其电荷量均为、质量均为。小环的直径略大于杆的直径。在套环的杆所处空间加一水平方向、电场强度大小为的匀强电场，在套环的杆所处空间加一水平方向、磁感应强度大小为的匀强磁场，在水平面高度相同的位置同时分别给、一个竖直向上的大小相等的初速度。发现、上升到最高点时高度相同。若带电小环、与两杆的动摩擦因数均为，重力加速度大小为，则（　　） A．带电小环从开始到上升到最高点的时间大于带电小环从开始到上升到最高点的时间 B．初速度应满足 C．带电小环与到达最高点后，均可以从最高点返回初始位置 D．带电小环从开始到上升到最高点的时间满足 8．（2025·全国·模拟预测）如图（a）所示，在一电场和磁场同时存在的空间内建立平面直角坐标系，原点处有一质量为、电荷量为的带电小球。空间内磁场和电场的变化规律如图（b）和图（c）所示。时刻，小球以速度释放，沿与轴正方向成角的方向做直线运动。时刻，小球恰好再一次做直线运动，并在时刻到达接收装置（可视为空间内一点）。已知，其中为重力加速度，轴正方向为电场强度的正方向，垂直纸面向里为磁场的正方向。 (1)求磁感应强度的大小和时间。 (2)若改变空间内磁场的磁感应强度大小与电场方向且电磁场始终存在，使带电小球释放后由原点做匀速圆周运动到达接收装置，求小球运动缩短的时间。 三、带电粒子在叠加场中的匀速圆周运动 9．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）如图所示，BD左侧空间有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，BD右侧有竖直向下的匀强电场。AB为水平轨道，BCD为半圆形的轨道，半径为R，与轨道AB在B点平滑相切。一物块（可视为质点）质量为m，带电荷量为+q，从A点由静止释放沿水平轨道运动到B点，此后恰好能到达C点。OC与竖直方向夹角α为37°。两匀强电场的电场强度大小均为，不计一切摩擦，sin37° = 0.6，cos37° = 0.8。则（　　） A．物块到达C点的速度大小为0 B．物块通过B点时的速度大小为 C．A、B两点间的水平距离为 D．匀强磁场的磁感应强度大小不能大于 10．（24-25高三上·湖南·阶段练习）如图所示，在真空中的坐标系中，第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的六个区域，交替分布着方向竖直向下的匀强电场和方向垂直纸面向里的匀强磁场，调节电场强度和磁感应强度大小，可以控制飞出的带电粒子的速度大小及方向。现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子恰好以速度大小为v且与y轴负方向的夹角为从坐标原点进入区域，在的区域内存在磁感应强度大小为、方向沿x轴正方向的匀强磁场B，不计粒子重力。已知：，求： (1)第二象限中电场强度大小和磁感应强度大小； (2)粒子在的区域运动过程中，距离x轴的最大距离； (3)粒子在的区域运动过程中，粒子每次经过x轴时的横坐标。 11．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，竖直平面直角坐标系xOy的第一象限内，存在水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。质量、电荷量的小球从时刻由O点开始以速度v在第一象限的竖直面内做匀速直线运动，当时，将电场方向逆时针旋转，小球继续运动。已知电场强度大小为，磁感应强度大小，取重力加速度，不计一切阻力，求： (1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向； (2)小球第一次经过y轴时的坐标； (3)小球经过x轴时的动能。 四、带电粒子在叠加场中的变速圆周运动 12．如图所示，一个质量为m的绝缘小球，电荷量为，用长为L的绝缘细线悬挂于匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向里、大小为B。初始时刻，用一水平外力F作用于小球上，使得小球静止、细线伸直且与竖直方向夹角为。已知重力加速度为g。求： (1)外力F的大小； (2)撤去外力后，小球第一次经过最低点时绳子上拉力的大小。 13．（24-25高二上·河南·阶段练习）如图所示，在竖直平面内，一半径为R的光滑绝缘圆弧轨道BCD和光滑绝缘水平轨道AB在B点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OC和OD之间的夹角，整个装置固定在水平向左的匀强电场中。一质量为m、带电荷量为+q的小滑块从A点由静止释放后沿水平轨道向左运动，经B点进入圆弧轨道，通过D点后落回水平轨道。已知滑块运动到D点时所受合力的方向指向圆心O，且此时滑块对圆弧轨道恰好没有压力。不计空气阻力，已知重力加速度为g，，求： (1)匀强电场电场强度的大小； (2)小滑块进入圆弧轨道前，沿水平轨道运动的距离； (3)小滑块落回水平轨道位置与B点之间的距离。 14．（2024·山东·模拟预测）如图所示，在坐标系区域内存在平行于轴、电场强度大小为（未知）的匀强电场，分界线将区域分为区域Ⅰ和区域Ⅱ，区域Ⅰ存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场，区域Ⅱ存在垂直直面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场及沿轴负方向、电场强度大小为的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点以初速度垂直电场方向进入第二象限，经点进入区域Ⅰ，此时速度与轴正方向的夹角为，经区域Ⅰ后由分界线上的点（图中未画出）垂直分界线进入区域Ⅱ，不计粒子重力及电磁场的边界效应。求： (1)电场强度的大小； (2)带电粒子从点运动到点的时间； (3)粒子在区域Ⅱ中运动时，第1次和第5次经过轴的位置之间的距离。 五、带电粒子在叠加场中的旋进运动 15．（24-25高三上·辽宁大连·期中）如图所示，空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带电荷量为q、质量为m的带正电小球从磁场中某点P由静止释放，其运动轨迹是一条摆线。小球的运动可分解为竖直平面内沿逆时针方向、速度大小为v的匀速圆周运动和水平向右、速度大小为v的匀速直线运动，P、Q为相邻等高点，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．小球从释放到第一次经过最低点所需时间为 B．小球运动到最低点时的速度为 C．PQ间距为 D．小球第一次运动到最低点时，距离释放点的竖直距离为 16．（2024·浙江·一模）磁控管是微波炉的核心器件，磁控管中心为热电子发射源，电子在电场和磁场的共同作用下，形成了如图甲所示的漂亮形状。现将该磁控管简化成如图乙所示的装置，两足够长的平行金属板相距4d，板间中心有一电子发射源S向各个方向发射初速度大小为v0的电子。已知电子比荷为，仅考虑纸平面内运动的电子，回答以下问题： (1)若两板间不加磁场，仅接一电压恒为U的电源，其中，求： ①电子在板间运动的加速度的大小； ②电子打到金属板的最长时间和最短时间之差。 (2)若两板间不接电源，仅加垂直纸面向里的匀强磁场B，其中，求： ①有电子打到的金属板总长度； ②打在金属板上的电子占发射电子总数的百分比。 (3) 在两金属板之间接一电压恒为U的电源的同时，加一垂直纸面向里的匀强磁场B，其中，。考虑初速度v0水平向右的电子，求该电子打在金属板上时速度的大小和方向。 17．（24-25高三上·广东·阶段练习）如图所示，两水平放置的足够大金属板间存在着方向均为竖直向下的匀强电场和匀强磁场，紧靠金属板左侧空间存在水平向右的匀强电场，所在竖直平面为两匀强电场的分界面，该平面与左侧电场方向垂直，为过两金属板水平中线的直线。时刻，将质量为、电荷量为的带正电粒子从上左侧处由静止释放，已知左侧匀强电场的电场强度大小为，金属板间匀强电场的电场强度大小也为，匀强磁场的磁感应强度大小为，不计粒子的重力，不考虑场的边缘效应。 (1)求粒子第一次进入金属板间的速度； (2)求粒子由释放到第二次经过所在竖直平面所用的时间； (3)若粒子恰好在由左至右经过所在竖直平面时，打在下金属板左端，求两金属板的距离的可能值。 18．（24-25高三上·全国·阶段练习）利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图1所示，平面左侧存在沿y轴负方向的匀强电场，右侧存在沿x轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从点以初速度、沿着x轴正方向射入电场，恰好从O点进入磁场，再次从点通过x轴，不计粒子的重力。 (1)求匀强电场的电场强度大小E和匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)从O点进入磁场运动时间为时，求粒子的位置坐标； (3)如图2所示，若在平面左侧再加垂直平面向里的匀强磁场，将上述带正电粒子从点以初速度、沿着x轴正方向射入电磁场，运动轨迹恰好与x轴负半轴相切。求所加匀强磁场的磁感应强度大小。 19．（24-25高三上·河南南阳·阶段练习）如图所示，在x − y − z三维坐标系的空间，在x轴上距离坐标原点x0 = 0.2 m处，垂直于x轴放置一足够大的感光片。在x ≥ 0空间存在着沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小E = 8.0 × 102 V/m。现有一带正电的微粒从O点沿x轴正方向射入该空间。微粒所带电荷量q = 1.6 × 10−16 C，质量m = 3.2 × 10−22 kg。 (1)若微粒初速度v0 = 2.0 × 104 m/s，求微粒打在感光片上的点到x轴的距离； (2)若在该空间再添加一个沿y轴正方向的匀强磁场，磁场强度大小为0.1 T。微粒以不同大小的初速度从O点沿x轴正方向射入。求：该微粒打在感光片上的位置到x轴的最大距离（结果保留两位有效数字）。 六、带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 20．（2025·全国·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系x轴水平、y轴竖直，x轴下方存在垂直于xOy面向里的匀强磁场，在y轴右侧有平行y轴的匀强电场（未画出），电场强度大小为E。质量为m的带电小球从A点由静止释放。已知小球在y轴左侧第一次运动到最低点时恰到达C点，并从C点沿x轴正方向进入第四象限，在y轴右侧以O为圆心、R为半径做匀速圆周运动，从D点射出磁场，重力加速度为g。则（　　） A．小球带负电，带电荷量的绝对值为 B．A、O间的距离为2R C．小球从A到C的时间是从C到D时间的2倍 D．若撤去电场，球轨迹与x轴相邻交点间的距离为2πR 21．（2024·江苏南通·模拟预测）如图所示，真空中有圆柱体回旋加速器，处在方向竖直向下的匀强电场中，圆柱体金属盒半径为，高度为，匀强磁场竖直向下，两盒狭缝间接有电压为的交变电压，在加速器上表面圆心处静止释放质量为电量为的粒子，粒子从加速器底部边缘引出，不计重力和相对论效应，及粒子间的相互作用。则（　　） A．粒子引出时的动能为 B．粒子的运动时间为 C．粒子的运动时间与有关 D．每次通过金属盒间的狭缝粒子获得动能 22．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）如图所示，平面直角坐标系xOy中，在第一象限内轴与直线之间和第四象限内存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为；同时第四象限内存在沿轴正方向的匀强电场，电场强度大小为；位于第二象限的MN与PQ两金属板之间存在加速电场，两板间电压。质量为，电荷量为的粒子从MN的中点由静止开始加速，从轴上的点垂直轴进入第一象限，通过直线上的点和轴上的点（点和点图中均未画出）进入第四象限。已知、间的距离，不计粒子的重力。求： (1)粒子在第一象限内的磁场中做圆周运动的轨道半径； (2)点的坐标以及粒子从点运动到点的时间； (3)粒子在第四象限运动过程中距离轴最近时的位置坐标。 23．（2025·四川·模拟预测）电容为C的平行板电容器两极板间距为d，极板水平且足够长，下极板接地，将电容器与开关S、电阻R1和R2连接成如图所示电路，a、b是两个输出端，S断开极板间充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。由质量为m、电荷量为q（q > 0）的带电粒子组成的粒子束以水平速度v0沿下极板边缘进入极板间区域，单位时间进入的粒子数为n。带电粒子不计重力且不与下极板接触，忽略极板边缘效应和带电粒子间相互作用。 (1)为使带电粒子能落在电容器上极板，求极板间距的最大值dm； (2)满足（1）的前提下，求电容器所带电荷量的最大值Qm； (3)已知R1 = 2R，R2 = R，闭合S，电容器重新达到稳定状态后，为使a、b端接入任意负载时进入极板间的带电粒子全部落在上极板，求R应满足的条件和此时a、b间输出功率的最大值。 24．（24-25高三上·甘肃白银·期中）如图所示，空间中有坐标系，平面水平，y轴沿竖直方向。在O处有一个质量为m、带电荷量为的小球（可视为点电荷），不计空气阻力，重力加速度为g。 (1)若在空间中存在着沿x轴负方向的匀强电场，电场强度大小，将小球沿y轴正方向以速度抛出，求小球落回x轴前动能的最小值； (2)若在的空间中存在着正交的电场和磁场，其中匀强电场沿y轴正方向，电场强度大小，匀强磁场沿z轴负方向，磁感应强度大小为B。小球以初速度从O点抛出，速度方向在平面内且偏向上方，与x轴正方向成α角（），改变α的大小，多次发射小球后，求小球在电场和磁场中可能的运动轨迹所覆盖的面积； (3)若在区域存在沿y轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，在区域存在沿y轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，小球从O点沿x轴正方向以大小为的速度抛出，求小球从抛出到再次经过y轴所用的时间及经过y轴时到O点的距离。（忽略磁场的边界效应） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 质谱仪与回旋加速器（2） 一、带电粒子在叠加场中的往复运动 1．（24-25高三上·重庆渝中·期中）如图所示，在xOy平面内，在（未知）的区域内存在匀强电场，方向沿y轴正方向，电场强度的大小可以调节；在和区间内分别存在垂直xOy平面向外的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，两区域内磁感应强度的大小也相同，平面内y轴正半轴上距离坐标原点L处有一粒子源，可向xOy平面内第一象限沿不同方向射入速度大小均为的粒子，粒子质量为m，带正电且电荷量为q，不计粒子重力和粒子间的相互作用，当粒子源发射与y轴正方向夹角为的粒子时，该粒子恰好从匀强电场的左边界上处进入电场，然后从匀强电场的右边界上处射出电场，并且首次在磁场区域Ⅱ运动过程中刚好不从下边界射出磁场。（） (1)求匀强磁场区域磁感应强度的大小； (2)求的大小（用L表示，E未知）； (3)调节电场强度的大小，使得当粒子源发射的粒子沿方向射出时（速度仍为，恰好击中沿x轴放置的粗细不计的金属条的右端，该金属条长度为，左端所离坐标原点。粒子击中金属条立即被吸收，求所有满足条件的匀强电场的大小。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）由题意知 得 粒子在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动，有 计算得 （2）设粒子射出电场时的速度为，与方向夹角为，在电场中运动时间为，粒子在电场中运动分解后轴方向为匀速直线运动，有 y轴方向为匀变速直线运动，有 粒子在磁场Ⅱ中做匀速圆周运动，有 由题意知 且 整理计算得 则 （3）假设粒子在电场中减速了n次后速度为，在磁场Ⅱ中圆周运动半径为，由动能定理 又 得 得 又 得 得 计算得 n取整数1、2、3、4，则电场强度可以为，，，。 2．（2024·湖北·模拟预测）如图所示，在的区域中，存在沿轴正方向、场强大小为的匀强电场，电场的周围分布着垂直于纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为电量为的带正电粒子从中点无初速度进入电场（不计粒子重力），粒子从上边界垂直于第一次离开电场后，垂直于再次进入电场。求： (1)磁场的磁感应强度大小； (2)粒子第二次在电场中运动的位移大小； (3)粒子自点运动到第一次从边进入电场所需的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）第一次离开电场后速度为，根据动能定理可得 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据左手定则和圆的特点可知粒子在磁场中运动轨迹的圆心为N，所以粒子轨迹半径为；粒子在磁场中洛伦兹力提供向心力，则 解得 （2）粒子第二次进入电场做类平抛运动，设粒子从边离开磁场，则水平方向有 解得 在电场方向有 假设成立，则粒子第二次在电场中运动的位移大小为 （3）设带电粒子从边离开时，速度方向与y轴正向的夹角为 ， 到第一次从边进入电场，如图所示，设圆心为B，圆心在直线QN上的投影为C，有 故粒子在磁场运动的圆心角为，则全程时间为 3．（2025·广东·模拟预测）如图所示，足够大的挡板固定在平面直角坐标系xOy中，挡板与y轴负方向的夹角，分别交x、y轴于P、Q点，OP长度为l，挡板上有一小孔K，KP的长度为。在区域内存在着垂直于xOy平面的匀强磁场，第一象限和第四象限中除之外的区域内在挡板两侧分别存在着平行于y轴的匀强电场，电场强度大小均为E，方向如图所示。现将质量为m、电荷量为的粒子A由点释放，该粒子恰能垂直挡板穿过小孔K。已知挡板的厚度不计，粒子可以沿任意角度穿过小孔K，碰撞挡板的粒子会被挡板吸收，不计粒子重力及粒子之间的相互作用。 (1)求区域内匀强磁场的磁感应强度大小和方向； (2)现将质量也为m、电荷量也为的粒子B由第四象限释放，该粒子能以最小速度从小孔K穿过，求粒子B释放点的坐标； (3)若上述中两粒子A、B穿过小孔K后，分别打在挡板上的M、N点，求M、N两点之间的距离d。 【答案】(1)，方向垂直于纸面向外 (2) (3) 【详解】（1）根据几何知识，粒子A垂直穿过小孔K时，粒子A由OP中点射入第一象限，此时磁场中做圆周运动的半径 根据动能定理可得 解得 根据洛伦兹力提供向心力可得 解得 区域内匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外； （2）粒子B从小孔K穿过时，圆周运动的最小半径 此时粒子B的速度最小，根据 解得 根据动能定理可得 解得粒子B在匀强电场中运动的竖直位移 粒子B释放点的横坐标 则粒子B释放点的坐标； （3）两粒子A、B在匀强电场中运动的加速度大小为a，则有 解得 粒子A穿过小孔K后回到挡板时，有 解得 粒子A穿过小孔K后沿挡板方向的位移 解得 粒子B穿过小孔K后回到挡板时，有 解得 粒子B穿过小孔K后沿挡板方向的位移 解得 则M、N两点之间的距离 4．（2025·全国·模拟预测）如图所示，在某空间建立平面直角坐标系，第一象限有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E。第四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。一不计重力、质量为m、带电荷量为的粒子从M点沿x轴正方向飞出，第1次经过x轴时的位置为N点，坐标为。 (1)求粒子的初速度大小； (2)如果粒子第一次经过x轴后不能回到第一象限，求磁感应强度的大小范围； (3)如果粒子第一次经过x轴后能再次经过N点，求磁感应强度大小的取值及粒子连续两次经过N点的最长时间间隔。 【答案】(1) (2) (3)（其中、3、4、5）， 【详解】（1）设粒子在M点的速度为，在电场中运动的加速度为a，从M点第一次到达N点经过的时间为t，做类平抛运动由牛顿第二定律，有 沿y轴负方向做匀加速运动，有 沿x轴正方向做匀速运动，有 联立解得 （2）设粒子第一次到达N点时速度为v，方向与x轴正方向夹角为，到达N点时速度竖直分量 速度水平分量 根据平抛运动位移偏角与速度偏角的关系，有 粒子在N点速度 当磁感应强度为时，粒子在磁场中的轨迹恰与y轴相切，如图1所示，设此时轨迹半径为 由洛伦兹力提供向心力，有 由几何关系有 解得 则磁感应强度大小的取值范围为 （3）设粒子在磁场中的轨迹半径为时，粒子第2次经过x轴的位置到O的距离为，如图2所示 由几何关系，有 之后粒子还能经过点，需满足 （其中、3、4，…） 因粒子在磁场中轨迹不能到达第三象限，还需满足 解得 （其中、3、4，…） 又 可取、3、4、5 根据洛伦兹力提供向心力 可知 （其中、3、4、5） 粒子每次从磁场进入电场再进入磁场的时间间隔 设粒子在磁场中运动的周期为T，有 （其中，3，4，5） 粒子每次在磁场中运动的时间 （其中，3，4，5） 相邻两次经过N点所用的时间 （其中、3、4、5） 当时，粒子连续两次经过N点所用的时间最长，有 5．（2025·重庆·一模）如图所示直角坐标系平面内，位于点的粒子枪由粒子源和加速电场组成。粒子源C可以不断提供初速度为零、比荷（即：）为的正电粒子，粒子枪从点沿轴正方向发出粒子。区域内存在磁感应强度为、方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，区域内存在电场强度为、方向沿轴正方向的匀强电场，区域内存在垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小仍为。不计正电粒子的重力以及它们之间的相互作用，完成下列问题： (1)当加速电场电压为时，求粒子枪射出粒子的速度； (2)调节加速电场电压，发现全部粒子第一次到达轴的位置范围为，求电压的取值范围； (3)研究其中垂直穿过轴的粒子，求该粒子最终离开磁场的位置坐标。 （粒子枪发射粒子后，不再影响粒子的运动。计算中可能用到：，，，，，） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据动能定理 得 （2）全部粒子第一次到达轴的位置范围为，粒子在I磁场中运动的半径最小为 根据几何关系有 解得 故粒子在I磁场中运动的半径最大为 故，根据牛顿第二定律 根据动能定理 联立解得 （3）垂直穿过轴粒子 根据牛顿第二定律 解得 在II区域电场中加速过程，根据动能定理 解得 在III区域运动一个半圆，根据牛顿第二定律 解得 之后将进入电场减速运动，由对称性速度变为，在I区域运动半径为 运动一个半圆穿过轴坐标为，之后重复前一过程，在II区域第二次加速，III区域运动半圆周离开磁场坐标为，进入无场区 匀速运动后，在I区域运动半径为之后在II区域第3次加速，根据动能定理 又 在II区域第4次加速后在III区域运动半径 恰好与右边界相切，在II区域第5次加速后在III区域运动半径 粒子将从右边界离开III区域磁场，由几何关系可知，粒子离开磁场的坐标为 二、带电粒子在叠加场中的直线运动 6．（23-24高二下·江苏无锡·期中）如图，一根粗糙绝缘细杆固定在磁感应强度为B、垂直纸面向里的水平匀强磁场中，杆和磁场垂直，与水平方向成θ角。杆上套一个质量为m、电荷量为+q的小球。小球与杆之间的动摩擦因数为μ。从A点开始由静止释放小球，使小球沿杆向下运动。设磁场区域足够大，杆足够长，重力加速度为g，则下列叙述中正确的是（　　） A．小球先做加速度减小的加速运动，再做匀速直线运动 B．小球运动的最大加速度小于gsinθ C．小球的速度达到最大速度一半时，加速度a = 0.5g（sinθ + μcosθ） D．小球的最大速度 【答案】C 【详解】A．小球开始运动时，速度较小，洛伦兹力较小，对小球进行受力分析，小球受到重力、垂直于杆斜向上的洛伦兹力、垂直于杆斜向上的支持力与沿杆向上的滑动摩擦力，此时有 解得 可知，小球先做加速度增大的加速运动，当洛伦兹力大于重力垂直于杆的分力时，支持力方向变成垂直于杆斜向左下方，则有 解得 此时，小球做加速度减小的加速运动，当加速度减为0时，小球开始做匀速直线运动，结合上述可知，小球先做加速度增大的加速运动，再做加速度减小的加速运动，最后做匀速直线运动，故A错误； B．结合上述可知，当洛伦兹力大小等于重力垂直于杆的分力时，杆对小球的支持力为0，滑动摩擦力为0，此时加速度最大，则有 解得 故B错误； C．结合上述可知，速度最大时，加速度为0，则有 解得 若小球的速度达到最大速度一半时，则有 由于静止释放后小球能够向下运动，则有 结合上述可知 即此时杆对小球的支持力方向垂直于杆斜向下，则有 解得 故C正确； D．结合上述可知，小球的最大速度为 故D错误。 故选C。 7．（2024·全国·模拟预测）如图，水平地面上竖直固定着两根相同的圆柱形粗糙绝缘杆，将两相同的带电小环和分别套在两杆上，其电荷量均为、质量均为。小环的直径略大于杆的直径。在套环的杆所处空间加一水平方向、电场强度大小为的匀强电场，在套环的杆所处空间加一水平方向、磁感应强度大小为的匀强磁场，在水平面高度相同的位置同时分别给、一个竖直向上的大小相等的初速度。发现、上升到最高点时高度相同。若带电小环、与两杆的动摩擦因数均为，重力加速度大小为，则（　　） A．带电小环从开始到上升到最高点的时间大于带电小环从开始到上升到最高点的时间 B．初速度应满足 C．带电小环与到达最高点后，均可以从最高点返回初始位置 D．带电小环从开始到上升到最高点的时间满足 【答案】BD 【详解】A．对环进行分析，根据牛顿第二定律可得 解得 可知，环向上做匀减速直线运动。对环进行分析，根据牛顿第二定律可得 解得 可知，环向上做加速度减小的减速直线运动。由于当两者速度都为零时，其位移相同，可以作出环和环运动的图像分别如图中的实线和虚线所示 由于图像中，图像与时间轴所围几何图形的面积表示位移，由题意可知，两者上升到最高点位移相同，则有 故A错误； B．图像某点切线斜率的绝对值表示加速度大小，结合上述图像可知，初始的加速度 即有 解得 故B正确； C．带电小环与到达最高点后，当时，环将静止于最高点处，环向下做加速度减小的加速运动，若加速度能够减小到0，之后将做匀速直线运动，环b最终回到初始位置，故C错误； D．对环a进行分析，结合上述，利用逆向思维，根据速度与位移的关系有 对环进行分析，根据动量定理可得 即有 联立可得 故D正确。 故选BD。 8．（2025·全国·模拟预测）如图（a）所示，在一电场和磁场同时存在的空间内建立平面直角坐标系，原点处有一质量为、电荷量为的带电小球。空间内磁场和电场的变化规律如图（b）和图（c）所示。时刻，小球以速度释放，沿与轴正方向成角的方向做直线运动。时刻，小球恰好再一次做直线运动，并在时刻到达接收装置（可视为空间内一点）。已知，其中为重力加速度，轴正方向为电场强度的正方向，垂直纸面向里为磁场的正方向。 (1)求磁感应强度的大小和时间。 (2)若改变空间内磁场的磁感应强度大小与电场方向且电磁场始终存在，使带电小球释放后由原点做匀速圆周运动到达接收装置，求小球运动缩短的时间。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）时刻，小球释放后开始做直线运动，受力分析如图（1）所示，则小球做匀速直线运动，有 解得 时刻，小球恰好再一次开始做直线运动，受力分析如图（2）所示，小球在时刻，速度大小为，方向与轴成角斜向下时间内，小球仅在重力作用下做斜抛运动竖直方向有 解得 （2）改变磁场前，运动轨迹如图（3）所示。小球运动过程具有对称性，接收装置在轴上，设其坐标为，小球在水平方向始终做匀速运动 解得 若仅改变空间内的磁场大小与电场方向，带电小球释放后由原点做匀速圆周运动到接收装置，则电场力与重力平衡，小球仅在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动。小球运动轨迹如图（4）所示，设磁场改变后的磁感应强度为，小球做圆周运动的轨迹半径为，由几何关系得 小球运动时间为 则小球运动时间缩短了 解得 三、带电粒子在叠加场中的匀速圆周运动 9．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）如图所示，BD左侧空间有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，BD右侧有竖直向下的匀强电场。AB为水平轨道，BCD为半圆形的轨道，半径为R，与轨道AB在B点平滑相切。一物块（可视为质点）质量为m，带电荷量为+q，从A点由静止释放沿水平轨道运动到B点，此后恰好能到达C点。OC与竖直方向夹角α为37°。两匀强电场的电场强度大小均为，不计一切摩擦，sin37° = 0.6，cos37° = 0.8。则（　　） A．物块到达C点的速度大小为0 B．物块通过B点时的速度大小为 C．A、B两点间的水平距离为 D．匀强磁场的磁感应强度大小不能大于 【答案】BCD 【详解】A．题意知物块恰好到达C点，此时物块与轨道间的作用力为零，由重力与电场力的合力指向圆心方向的分量提供向心力，由于物块带正电，所受电场力方向竖直向下，则有 可得 故A错误； B．物块由B点运动到C点的过程中，由动能定理有 解得 故B正确； C．物块由A点运动到B点的过程中，所受洛伦兹力垂直于运动方向，故只有电场力做功，根据动能定理有 可得 故C正确； D．物块在水平轨道运动时受到竖直向上的洛伦兹力，由于物块能到达B点，即运动过程中不离开轨道，则物块在轨道AB上运动且速度最大时所受洛伦兹力不能大于重力，即 可得 故D正确。 故选BCD。 10．（24-25高三上·湖南·阶段练习）如图所示，在真空中的坐标系中，第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的六个区域，交替分布着方向竖直向下的匀强电场和方向垂直纸面向里的匀强磁场，调节电场强度和磁感应强度大小，可以控制飞出的带电粒子的速度大小及方向。现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子恰好以速度大小为v且与y轴负方向的夹角为从坐标原点进入区域，在的区域内存在磁感应强度大小为、方向沿x轴正方向的匀强磁场B，不计粒子重力。已知：，求： (1)第二象限中电场强度大小和磁感应强度大小； (2)粒子在的区域运动过程中，距离x轴的最大距离； (3)粒子在的区域运动过程中，粒子每次经过x轴时的横坐标。 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）粒子从P点到O点的过程中，只有电场力做功，洛伦兹力不做功，则由动能定理可知 解得第二象限中电场强度大小 粒子在经过磁场时水平方向上由动量定理 即 解得磁感应强度大小为 （2）粒子经过O点时，沿y轴负方向的分速度大小为 沿x轴正方向的分速度大小为 沿y轴负方向的分速度使粒子在垂直纸面的平面内左匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可知 代入解得 粒子做圆周运动距x轴的最大距离为 （3）粒子在的区域内做圆周运动的周期为 粒子在的区域内沿x轴方向做匀速直线运动，粒子在一个周期内沿x轴正方向运动的距离为 粒子在的区域内每次经过x轴时的横坐标为 解得粒子在的区域运动过程中，粒子每次经过x轴时的横坐标为 11．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，竖直平面直角坐标系xOy的第一象限内，存在水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。质量、电荷量的小球从时刻由O点开始以速度v在第一象限的竖直面内做匀速直线运动，当时，将电场方向逆时针旋转，小球继续运动。已知电场强度大小为，磁感应强度大小，取重力加速度，不计一切阻力，求： (1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向； (2)小球第一次经过y轴时的坐标； (3)小球经过x轴时的动能。 【答案】(1)，斜向右上与x轴成45°角 (2)（0，3.2m） (3) 【详解】（1）小球做匀速直线运动时，受力如图所示 则有 解得 速度的方向与x轴的夹角满足 解得 可得速度方向为斜向右上与x轴成45°角。 （2）经过后，设小球运动到A点，则由O到A的位移大小为 解得 此时将电场逆时针旋转90°后，因 且两者方向相反，故此后小球在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，设圆周运动的半径为r，由洛伦兹力提供向心力得 解得 小球的运动轨迹如图所示，小球恰好运动圆周第一次经过y轴 设小球经过y轴的交点为Q，则由几何关系可得 解得 可得小球第一次经过y轴时的坐标为（0，3.2m）。 （3）小球离开Q点后，根据动能定理 解得 四、带电粒子在叠加场中的变速圆周运动 12．如图所示，一个质量为m的绝缘小球，电荷量为，用长为L的绝缘细线悬挂于匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向里、大小为B。初始时刻，用一水平外力F作用于小球上，使得小球静止、细线伸直且与竖直方向夹角为。已知重力加速度为g。求： (1)外力F的大小； (2)撤去外力后，小球第一次经过最低点时绳子上拉力的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对小球受力分析，如图所示 由平衡条件，可得 （2）撤去外力后，小球从静止到第一次经过最低点过程中，只有重力做功机械能守恒，可得 小球第一次经过最低点时，根据牛顿第二定律 联立，解得 13．（24-25高二上·河南·阶段练习）如图所示，在竖直平面内，一半径为R的光滑绝缘圆弧轨道BCD和光滑绝缘水平轨道AB在B点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OC和OD之间的夹角，整个装置固定在水平向左的匀强电场中。一质量为m、带电荷量为+q的小滑块从A点由静止释放后沿水平轨道向左运动，经B点进入圆弧轨道，通过D点后落回水平轨道。已知滑块运动到D点时所受合力的方向指向圆心O，且此时滑块对圆弧轨道恰好没有压力。不计空气阻力，已知重力加速度为g，，求： (1)匀强电场电场强度的大小； (2)小滑块进入圆弧轨道前，沿水平轨道运动的距离； (3)小滑块落回水平轨道位置与B点之间的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，小滑块在D点所受合力指向圆心O，则 则匀强电场的电场强度为 （2）由题意可知，小滑块在D点所受合力为 根据牛顿第二定律可得 解得，小滑块在D点的速度为 小滑块从B点运动到D点，根据动能定理 小滑块从A点运动到B点，根据动能定理 解得 小滑块进入圆弧轨道前，沿水平轨道运动的距离为。 （3）将小滑块在D点的速度沿着水平方向和竖直方向分解，得 对应水平方向和竖直方向的加速度大小为 水平方向可以看成匀减速直线运动，根据匀变速直线运动的位移公式得 竖直方向可以看成匀加速直线运动，根据匀变速直线运动的位移公式得 其中 解得 则小滑块落回水平轨道位置与B点之间的距离为 14．（2024·山东·模拟预测）如图所示，在坐标系区域内存在平行于轴、电场强度大小为（未知）的匀强电场，分界线将区域分为区域Ⅰ和区域Ⅱ，区域Ⅰ存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场，区域Ⅱ存在垂直直面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场及沿轴负方向、电场强度大小为的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点以初速度垂直电场方向进入第二象限，经点进入区域Ⅰ，此时速度与轴正方向的夹角为，经区域Ⅰ后由分界线上的点（图中未画出）垂直分界线进入区域Ⅱ，不计粒子重力及电磁场的边界效应。求： (1)电场强度的大小； (2)带电粒子从点运动到点的时间； (3)粒子在区域Ⅱ中运动时，第1次和第5次经过轴的位置之间的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子经过点时的速度 粒子从点到点，由动能定理得 解得 （2）粒子从点到点，由运动学公式有 解得 粒子从点到A点，其运动轨迹如图1所示 由抛体运动的规律可得 由几何关系可得，粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动的半径 运动时间 则 （3）粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得 在A点对粒子由配速法，如图1所示，设对应的洛伦兹力与静电力平衡 方向相反，与合速度对应洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，这样粒子进入区域Ⅱ中的运动分解为以的匀速直线运动和以的匀速圆周运动,静电力等于洛伦兹力 解得 合速度 设对应的匀速圆周运动的半径为，由洛伦兹力提供向心力有 解得 其运动轨迹如图2所示 粒子从第1次到第5次经过轴，共运动了2个周期，时间 距离 解得 五、带电粒子在叠加场中的旋进运动 15．（24-25高三上·辽宁大连·期中）如图所示，空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带电荷量为q、质量为m的带正电小球从磁场中某点P由静止释放，其运动轨迹是一条摆线。小球的运动可分解为竖直平面内沿逆时针方向、速度大小为v的匀速圆周运动和水平向右、速度大小为v的匀速直线运动，P、Q为相邻等高点，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．小球从释放到第一次经过最低点所需时间为 B．小球运动到最低点时的速度为 C．PQ间距为 D．小球第一次运动到最低点时，距离释放点的竖直距离为 【答案】AC 【详解】A．因小球初速度为零，分解为一个水平向右的速度和一个水平向左的速度，所以小球做匀速圆周运动的起始点应为圆周的最高点，小球从释放到第一次经过最低点所需时间为匀速圆周运动周期的，即 故A正确； B．小球因匀速直线运动的速度而受到的洛伦兹力恰好与重力等大反向，所以 得 小球运动到最低点时匀速圆周运动的速度与匀速直线运动的速度方向相同，矢量和为，即，故B错误； C．小球由P点运动到Q点相当于圆周运动了一周，所用时间为 所以，PQ间距为 故C正确； D．小球做匀速圆周运动的半径满足 求得 小球第一次运动到最低点时，距离释放点的竖直距离为 故D错误。 故选AC。 16．（2024·浙江·一模）磁控管是微波炉的核心器件，磁控管中心为热电子发射源，电子在电场和磁场的共同作用下，形成了如图甲所示的漂亮形状。现将该磁控管简化成如图乙所示的装置，两足够长的平行金属板相距4d，板间中心有一电子发射源S向各个方向发射初速度大小为v0的电子。已知电子比荷为，仅考虑纸平面内运动的电子，回答以下问题： (1)若两板间不加磁场，仅接一电压恒为U的电源，其中，求： ①电子在板间运动的加速度的大小； ②电子打到金属板的最长时间和最短时间之差。 (2)若两板间不接电源，仅加垂直纸面向里的匀强磁场B，其中，求： ①有电子打到的金属板总长度； ②打在金属板上的电子占发射电子总数的百分比。 (3)在两金属板之间接一电压恒为U的电源的同时，加一垂直纸面向里的匀强磁场B，其中，。考虑初速度v0水平向右的电子，求该电子打在金属板上时速度的大小和方向。 【答案】(1)， (2)，100% (3)见解析 【详解】（1）①根据牛顿第二定律有 解得 ②水平向左运动的电子运动距离 该电子不会打在左侧金属板上，电子打到金属板的最长时间和最短时间之差为 （2）①根据洛伦兹力提供向心力有 解得 如图所示 由图可知，SA为圆的直径，C点为相切点，则 所以有电子打到的金属板总长度为 ②由图甲可知，打在金属板上的电子占发射电子总数的百分比为100%。 （3）根据动能定理可得 解得 如图所示 y轴方向，有 所以 解得 电子打在金属板上时速度的大小为 方向与水平向右方向夹角 17．（24-25高三上·广东·阶段练习）如图所示，两水平放置的足够大金属板间存在着方向均为竖直向下的匀强电场和匀强磁场，紧靠金属板左侧空间存在水平向右的匀强电场，所在竖直平面为两匀强电场的分界面，该平面与左侧电场方向垂直，为过两金属板水平中线的直线。时刻，将质量为、电荷量为的带正电粒子从上左侧处由静止释放，已知左侧匀强电场的电场强度大小为，金属板间匀强电场的电场强度大小也为，匀强磁场的磁感应强度大小为，不计粒子的重力，不考虑场的边缘效应。 (1)求粒子第一次进入金属板间的速度； (2)求粒子由释放到第二次经过所在竖直平面所用的时间； (3)若粒子恰好在由左至右经过所在竖直平面时，打在下金属板左端，求两金属板的距离的可能值。 【答案】(1) (2) (3)（k=1，2，3…） 【详解】（1）根据动能定理可得 解得 （2）根据牛顿第二定律可得 解得 根据运动学公式有 解得 粒子在金属板间做不等间距的螺旋线运动，设水平圆周运动的周期为，根据牛顿第二定律可得 则粒子在金属板间运动时间为 粒子由释放到第二次经过所在竖直平面所用的时间 （3）设粒子在第（k=1，2，3…）次经过所在竖直平面时，打在下金属板左端，粒子在金属板间竖直方向的总位移为 解得 粒子在左侧连续两次经过所在竖直平面的时间间隔为 粒子在左侧发生的竖直总位移为 解得 则两金属板的距离 （k=1，2，3…） 18．（24-25高三上·全国·阶段练习）利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图1所示，平面左侧存在沿y轴负方向的匀强电场，右侧存在沿x轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从点以初速度、沿着x轴正方向射入电场，恰好从O点进入磁场，再次从点通过x轴，不计粒子的重力。 (1)求匀强电场的电场强度大小E和匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)从O点进入磁场运动时间为时，求粒子的位置坐标； (3)如图2所示，若在平面左侧再加垂直平面向里的匀强磁场，将上述带正电粒子从点以初速度、沿着x轴正方向射入电磁场，运动轨迹恰好与x轴负半轴相切。求所加匀强磁场的磁感应强度大小。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则有 ， 解得 粒子从O点进入磁场时水平方向的分速度为，竖直方向的分速度为 结合上述解得 粒子接入右侧磁场后做螺旋运动，水平向右速度为的匀速直线运动，平面方向速度为的匀速圆周运动，则有 ，， 解得 ， （2）粒子在磁场中水平向右速度为的匀速直线运动，结合上述可知 由于 表明平面方向速度为的匀速圆周运动对应圆心角为，根据几何关系有 ， 解得 ， 即粒子的位置坐标为。 （3）将速度分解为水平向右的和水平向左的，且有 ， 此时将粒子的运动分解为水平向右的速度为的匀速直线运动与速度为的匀速圆周运动，则有 由于粒子轨迹恰好与x轴负半轴相切，则有 结合上述解得 19．（24-25高三上·河南南阳·阶段练习）如图所示，在x − y − z三维坐标系的空间，在x轴上距离坐标原点x0 = 0.2 m处，垂直于x轴放置一足够大的感光片。在x ≥ 0空间存在着沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小E = 8.0 × 102 V/m。现有一带正电的微粒从O点沿x轴正方向射入该空间。微粒所带电荷量q = 1.6 × 10−16 C，质量m = 3.2 × 10−22 kg。 (1)若微粒初速度v0 = 2.0 × 104 m/s，求微粒打在感光片上的点到x轴的距离； (2)若在该空间再添加一个沿y轴正方向的匀强磁场，磁场强度大小为0.1 T。微粒以不同大小的初速度从O点沿x轴正方向射入。求：该微粒打在感光片上的位置到x轴的最大距离（结果保留两位有效数字）。 【答案】(1)0.02 m (2)0.28 m 【详解】（1）设带电微粒在电场中运动时间为t，打在感光片上的点到x轴的距离为y，则有 ，， 解得 （2）粒子在平行于xOz平面内做匀速圆周运动，则有 ， 解得 当粒子运动轨迹与感光片相切时该微粒的z坐标最大，此时有 由于粒子运动轨迹与感光片相切，对应圆心角为，粒子运动至切点的时间 解得 粒子从O点沿x轴正方向射入到打至感光片运动的轨迹对应圆心角最大值为，时间也为最大值，粒子在平行于xOy平面内做类平抛运动，此时y轴方向的分位移也为最大值，则有 故粒子打在感光片上的位置离x轴的最大距离 解得 六、带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 20．（2025·全国·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系x轴水平、y轴竖直，x轴下方存在垂直于xOy面向里的匀强磁场，在y轴右侧有平行y轴的匀强电场（未画出），电场强度大小为E。质量为m的带电小球从A点由静止释放。已知小球在y轴左侧第一次运动到最低点时恰到达C点，并从C点沿x轴正方向进入第四象限，在y轴右侧以O为圆心、R为半径做匀速圆周运动，从D点射出磁场，重力加速度为g。则（　　） A．小球带负电，带电荷量的绝对值为 B．A、O间的距离为2R C．小球从A到C的时间是从C到D时间的2倍 D．若撤去电场，球轨迹与x轴相邻交点间的距离为2πR 【答案】C 【详解】A．小球在y轴右侧做匀速圆周运动，所受电场力与小球重力大小相等、方向相反，结合磁场方向可知，小球带正电，带电荷量大小 故A错误； C．设小球在C点时速度大小为v，由洛伦兹力提供向心力有 小球做圆周运动的周期 则小球从C到D的运动时间为 小球从A点静止释放后，设小球沿x轴正方向、负方向的速度大小均为v0，沿x轴正方向的分速度产生的洛伦兹力与重力平衡，沿x轴负方向的分速度产生的洛伦兹力使小球做匀速圆周运动，可得 且 结合题述和上述分析可得，小球从A到C的运动时间为 故C正确； B．A、O间的距离等于A、C间的水平距离，联立得 故B错误； D．若撤去电场，小球在磁场和重力场作用下运动，球轨迹与x轴相邻交点间的距离等于球一个周期内沿x轴正方向前进的距离，为 故D错误。 故选C。 21．（2024·江苏南通·模拟预测）如图所示，真空中有圆柱体回旋加速器，处在方向竖直向下的匀强电场中，圆柱体金属盒半径为，高度为，匀强磁场竖直向下，两盒狭缝间接有电压为的交变电压，在加速器上表面圆心处静止释放质量为电量为的粒子，粒子从加速器底部边缘引出，不计重力和相对论效应，及粒子间的相互作用。则（　　） A．粒子引出时的动能为 B．粒子的运动时间为 C．粒子的运动时间与有关 D．每次通过金属盒间的狭缝粒子获得动能 【答案】B 【详解】A．粒子从加速器下表面边缘出去时在水平方向上的速度取决于加速器金属盒的半径，由洛伦兹力提供向心力，有 解得 竖直方向上在电场力的作用下做匀加速直线运动，由牛顿第二定律有 由运动学知识得出粒子从加速器下表面边缘出去时在竖直方向上的速度为 联立解得粒子离开加速器下表面边缘时的动能为 A错误； BC．粒子在竖直方向上受电场力，做匀加速直线运动，由运动学知识得 代入数据解得粒子得运动时间为 可知粒子的运动时间与无关，B正确，C错误； D．粒子每次通过金属盒间的狭缝时，设竖直方向电场力对粒子做功为，由动能定理可知 故粒子每次通过金属盒间的狭缝粒子获得动能一定大于，D错误。 故选B。 22．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）如图所示，平面直角坐标系xOy中，在第一象限内轴与直线之间和第四象限内存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为；同时第四象限内存在沿轴正方向的匀强电场，电场强度大小为；位于第二象限的MN与PQ两金属板之间存在加速电场，两板间电压。质量为，电荷量为的粒子从MN的中点由静止开始加速，从轴上的点垂直轴进入第一象限，通过直线上的点和轴上的点（点和点图中均未画出）进入第四象限。已知、间的距离，不计粒子的重力。求： (1)粒子在第一象限内的磁场中做圆周运动的轨道半径； (2)点的坐标以及粒子从点运动到点的时间； (3)粒子在第四象限运动过程中距离轴最近时的位置坐标。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）粒子在电场中加速过程，根据动能定理得 解得 带电粒子在磁场中运动过程，洛伦兹力提供向心力，有 解得 （2）粒子在第一象限内的运动轨迹如图所示 轨迹圆心在轴上的点，在三角形中，根据正弦定理有 解得 根据几何关系可判断 所以 则点的坐标为，粒子自运动到的时间 解得 粒子自运动到的时间 解得 综上，粒子自运动到的时间 （3）根据（2），粒子以与轴正方向夹角为的方向进入第四象限，将粒子速度分解为沿轴负方向的分速度和沿轴正方向的分速度，则有 第四象限内电场和磁场叠加刚好使粒子沿轴负方向做匀速直线运动，沿轴正方向的分速度使粒子做匀速圆周运动，粒子实际轨迹为两运动的叠加。设粒子做圆周运动的半径为，则有 解得 可得粒子与轴的最小距离为 当匀速圆周运动的速度偏转时，粒子第一次距离轴最近，此过程经历的时间为 粒子第一次距离轴最近时的轴坐标为 在圆周运动的一个周期内粒子沿轴方向运动的位移大小为 距离轴最近时轴的坐标为 运动过程中距离轴最近位置的坐标为 23．（2025·四川·模拟预测）电容为C的平行板电容器两极板间距为d，极板水平且足够长，下极板接地，将电容器与开关S、电阻R1和R2连接成如图所示电路，a、b是两个输出端，S断开极板间充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。由质量为m、电荷量为q（q > 0）的带电粒子组成的粒子束以水平速度v0沿下极板边缘进入极板间区域，单位时间进入的粒子数为n。带电粒子不计重力且不与下极板接触，忽略极板边缘效应和带电粒子间相互作用。 (1)为使带电粒子能落在电容器上极板，求极板间距的最大值dm； (2)满足（1）的前提下，求电容器所带电荷量的最大值Qm； (3)已知R1 = 2R，R2 = R，闭合S，电容器重新达到稳定状态后，为使a、b端接入任意负载时进入极板间的带电粒子全部落在上极板，求R应满足的条件和此时a、b间输出功率的最大值。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）由题意可知带电粒子在两极板间做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力有 为使带电粒子能落在电容器上极板，则有 联立可得 即最大值为 （2）当电容器所带电荷量最大时，板间电势差最大，粒子束恰好不能到达上极板，将粒子入射速度分解为向右的两个速度，一个速度产生的洛伦兹力平衡电场力，做匀速直线运动；另一个速度提供洛伦兹力，做匀速圆周运动；即 其中 粒子以v2做匀速圆周运动，有 粒子恰好不到达上极板则有 联立各式可得 此时两极板所带电荷量最大为 （3）根据题意可知当R1和R2两端的总电压不大于Um时电荷才能全部被吸收，闭合S，电容器重新达到稳定状态后，电流恒定，有 根据欧姆定律有 其中 ， 联立解得 当ab间接入负载时，设ab的电流为Iab，由于总电流恒定，则R1的电流为 ab间的功率为 所以当时，Pab最大，最大值为 24．（24-25高三上·甘肃白银·期中）如图所示，空间中有坐标系，平面水平，y轴沿竖直方向。在O处有一个质量为m、带电荷量为的小球（可视为点电荷），不计空气阻力，重力加速度为g。 (1)若在空间中存在着沿x轴负方向的匀强电场，电场强度大小，将小球沿y轴正方向以速度抛出，求小球落回x轴前动能的最小值； (2)若在的空间中存在着正交的电场和磁场，其中匀强电场沿y轴正方向，电场强度大小，匀强磁场沿z轴负方向，磁感应强度大小为B。小球以初速度从O点抛出，速度方向在平面内且偏向上方，与x轴正方向成α角（），改变α的大小，多次发射小球后，求小球在电场和磁场中可能的运动轨迹所覆盖的面积； (3)若在区域存在沿y轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，在区域存在沿y轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，小球从O点沿x轴正方向以大小为的速度抛出，求小球从抛出到再次经过y轴所用的时间及经过y轴时到O点的距离。（忽略磁场的边界效应） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由于 可知小球受到的电场力与重力大小相等，所以电场力与重力的合力大小 方向与x轴负方向的夹角为45°，小球的运动可以看成类斜抛运动，当小球的速度与合力垂直时，速度最小，动能最小，此时有 ，， 联立可得 则最小速度大小 动能的最小值 （2）因为电场强度大小 电场沿y轴正方向，所以重力和电场力平衡，小球做匀速圆周运动，则有 解得 小球在x轴正方向运动轨迹可能覆盖的面积是半个圆，在x轴负方向运动轨迹可能覆盖的面积是以2R为半径的四分之一圈，如图中阴影部分所示 则所求总面积 （3）小球在平面两侧分别做匀速圆周运动，根据 可得小球在两个磁场中做圆周运动的半径分别为 ， 周期分别为 ， 小球在每个磁场中各完成半个圆周运动进入另一个磁场，则在的时间内沿z轴移动的距离 则有 可得 则小球从抛出到再次经过y轴所用的时间 小球在y轴方向做自由落体运动，从抛出到再次经过y轴时，其到O点的距离 试卷第1页，共3页 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