精品解析：江苏省常州市北郊高级中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2024~2025学年第一学期期末考试 高二数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 命题人：顾冬生 审卷人：周聃琪 2025年1月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 等差数列中，若，则等于（    ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】因为为等差数列，且， 所以，所以， 所以. 故选：B. 2. 已知直线，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，再由充分条件和必要条件得定义即可得出答案. 【详解】因为，所以，所以， 解得：或， 当时，，， 当时，，重合. 所以甲是乙的充要条件. 故选：C. 3. 若，则的值为（    ） A. 3或8 B. 3 C. 8 D. 3或4 【答案】B 【解析】 【分析】由组合数得计算公式可得或，求解即可. 【详解】因为，所以或， 解得：或. 当时，，不符合组合数的定义，故舍去. 故选：B. 4. 若双曲线的离心率为2，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的离心率公式代入即可得出答案. 【详解】因为若双曲线的离心率为2， 所以，解得：， 故选：D. 5. 已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】点在抛物线的内部，要求的最小值，利用抛物线的定义，过点直接作准线的垂线，与抛物线的交点即为所求. 【详解】由于，所以点在抛物线的内部， 设点在准线上的射影为，由抛物线的定义可知， 要求的取最小值，即求的最小值， 只有当三点共线时最小， 令，，得，所以取最小值时点的坐标为. 故选：A. 6. 有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（   ） A. 如果四名男生必须连排在一起，那么有576种不同排法 B. 如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 D. 如果女生不能站在两端，那么有720种不同排法 【答案】A 【解析】 【分析】根据捆绑法、特殊位置的排列和插空法计算，依次判断选项即可. 【详解】A：如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法，故A正确； B：如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法种数，故B错误； C：如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中， 此时，共有种不同的排法种数，故C错误； D：如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制， 此时，共有种不同的排法种数，故D错误. 故选：A 7. 南宋数学家杨辉在《解析九章算法•商功》一书中记载的三角垛､方垛､刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，用累加法求得，从而得，再利用裂项相消法求解即可. 【详解】由题意可得，，，，， 于是有， 所以，，， ，，， 将以上个式子相加，得， 所以， 所以 . 故选：D. 8. 已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和后，得到新样本的经验回归方程为．在新的经验回归方程下，样本的残差为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算增加样本点后的新的样本中心点，代入经验回归方程可求得；根据经验回归方程可求得，由残差定义可得结果. 【详解】，增加两个样本点后的平均数为； ，， 增加两个样本点后的平均数为， ，解得：，新的经验回归方程为：， 则当时，，样本残差为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 国家统计局7月15日发布数据显示，2024年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源产业依靠持续的技术创新实现较快增长.某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（ ） 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 A. B. 由散点图知变量和正相关 C. 相关系数 D. 用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平均数公式以及表格汇出散点图的图象特征判断ABC，根据回归直线过样本点中心，即可判断D. 【详解】A，，故A正确； B，根据表格汇出散点图图象如下，散点图的分布从左下到右上，所以是正相关，故B正确； C，由选项B可知相关系数，故C错误； D，根据回归直线过样本点中心， 当时，，故D错误； 故选：AB 10. 已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，则（    ） A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 等差数列 D. 是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，可以求出数列的通项公式，代入选项计算可得答案. 【详解】A，由题意得，所以是常数列，故是首项为2，公差为0的等差数列，故A正确； B，由，所以是首项为1，公比为2的等比数列，故B错误； C，由， 所以数列是首项为0，公差为的等差数列，故C正确； D，由， 所以是首项为2，公比为4的等比数列，故D正确. 故选：ACD 11. 已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（   ） A. 若，则圆，的公共弦所在的直线方程为 B. 若两圆有四条公切线，则 C. 当时，，分别是圆、圆上的动点，则的最小值为 D. Q为直线上的动点，过点向圆引两条切线，切点分别为，，则直线过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】求出相交两圆公共弦所在直线方程判断AD；由两圆相离求出范围判断B；利用圆的性质求出最值判断C. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆圆心，半径，， 对于A，当时，，圆与相交， 两圆方程相减得公共弦所在的直线方程，A错误； 对于B，由两圆有四条公切线，得圆与外离，则， 解得，B正确； 对于C，当时，圆与外离，则，C错误； 对于D，设，依题意，点在以线段为直径的圆上， 线段为直径的圆方程为，与圆的方程相减， 得直线方程：，即， 由，解得，因此直线过定点，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记（），则的末位数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用排列数的计算公式求解. 【详解】因为，，，，，所以时，的末位数字都是0， 所以的末位数字为：． 故答案为：3． 13. 已知双曲线左右焦点分别为、，是双曲线上的一点，若，则_____． 【答案】13 【解析】 【分析】由焦半径取值范围确定P点位置，从而由双曲线定义即可求解. 【详解】由题意， 所以当在左支上时，当在右支上时， 因为，所以在右支上，所以. 故答案为：. 14. 将数列与的所有项放在一起，按从小到大的顺序排列得到数列，其前n项的和为，则____，______． 【答案】 ①. 6 ②. 15660 【解析】 【分析】先求的前4项，确定数列的第108项大小为324，从而可根据数列的第8项与第9项的数值来确定的值. 【详解】数列中，， 数列的第108项为，而数列的第8项为，第9项， 数列其前n项的和为，等差数列算到是的第100项时，包含恰好的前8项， ∴． 故答案为：6；15660. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营．2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名． （1）完成给出的列联表； 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 女学生 合计 （2）根据独立性检验，判断是否有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关． 参考公式及数据：． α 0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 1．323 2．706 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828 【答案】（1）列联表见解析 （2）有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关 【解析】 【分析】（1）根据已知条件填写列联表； （2）根据已知计算，再与临界值比较判断即可. 【小问1详解】 根据已知条件，填写列联表如下： 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 100 400 500 女学生 100 300 400 合计 200 700 900 【小问2详解】 ， 所以有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关． 16. 在数列中，数列满足 （1）证明数列是等差数列，并求出通项公式； （2）数列的前n项和为，问是否存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析， （2）存在最大值，最大值为，此时或 【解析】 【分析】（1）化简可得证明再求通项公式即可； （2）根据等差数列的前项和公式可得，再根据二次函数的性质求解最值即可. 【小问1详解】 因为所以，所以， 则，即， 因为，所以， 又，所以，， 所以是以首项，公差的等差数列， 所以； 【小问2详解】 根据等差数列的前项和公式可得， 对于二次函数，其对称轴为， 因为，当或时，取得最大值， 当时，，当时，， 所以存在最大值，最大值为，此时或． 17. 设，求值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）80 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用通项求解； （2）由求出的值，求出的值，即可求出的值； （3）由求出的值，再利用平方差公式求解. 【小问1详解】 由二项式定理可知，在展开式中，第项为 ． 当时，展开式中含的项的系数为， ∴． 【小问2详解】 令，得，即． 令，得，即， ∴． 【小问3详解】 令，得， 即． ∴ ． 18. 已知数列的其前项的和，正项数列满足，且． （1）求、； （2）设，证明数列为等比数列； （3）求的前项的和． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据可求出数列的通项公式；分析可知，数列为等比数列，设数列的公比为，根据题中条件可得出、的方程组，解出这两个量的值，即可得出等比数列的通项公式； （2）化简的表达式，结合等比数列的定义可证得结论成立； （3）求得，利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 因为数列的其前项的和， 当时，； 当时，， 所以； 当时，也满足，所以． 因为正项数列满足，所以是等比数列， 设的公比为，由， 可得，解得，故． 【小问2详解】 又， 所以 ， 所以，所以是以为首项，为公比的等比数列． 【小问3详解】 令， 其前项和，① ，② ②得， ， 因此，． 19. 已知椭圆的左右焦点分别为、，且离心率．是第一象限内椭圆上的一点，当轴时，． （1）求椭圆方程； （2）分别连接并延长交椭圆于点，分别表示和的面积，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点在椭圆上及椭圆的离心率列方程组求值即可求参； （2）设直线方程联立方程组计算交点，求出面积结合基本不等式得出面积的最大值. 【19题详解】 设，代入椭圆方程可得， 又椭圆的离心率，则，解得， 又，则，所以椭圆的方程为． 【20题详解】 由（1）可得，， 设，其中， 直线， 联立，消去得， 解得， 则， 即， 同理可得 所以 ，当且仅当时，等号成立． 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年第一学期期末考试 高二数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 命题人：顾冬生 审卷人：周聃琪 2025年1月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 等差数列中，若，则等于（    ） A. B. 0 C. D. 1 2. 已知直线，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则值为（    ） A. 3或8 B. 3 C. 8 D. 3或4 4. 若双曲线的离心率为2，则（   ） A. B. C. D. 5. 已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（    ） A. B. C. D. 6. 有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（   ） A. 如果四名男生必须连排在一起，那么有576种不同排法 B. 如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 D. 如果女生不能站在两端，那么有720种不同排法 7. 南宋数学家杨辉在《解析九章算法•商功》一书中记载的三角垛､方垛､刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知由样本数据组成一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和后，得到新样本的经验回归方程为．在新的经验回归方程下，样本的残差为（    ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 国家统计局7月15日发布数据显示，2024年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源产业依靠持续的技术创新实现较快增长.某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（ ） 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 A B. 由散点图知变量和正相关 C. 相关系数 D. 用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为 10. 已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，则（    ） A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 是等比数列 11. 已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（   ） A. 若，则圆，的公共弦所在的直线方程为 B. 若两圆有四条公切线，则 C. 当时，，分别是圆、圆上的动点，则的最小值为 D. Q为直线上的动点，过点向圆引两条切线，切点分别为，，则直线过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记（），则的末位数是______． 13. 已知双曲线左右焦点分别为、，是双曲线上的一点，若，则_____． 14. 将数列与所有项放在一起，按从小到大的顺序排列得到数列，其前n项的和为，则____，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营．2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名． （1）完成给出的列联表； 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 女学生 合计 （2）根据独立性检验，判断是否有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关． 参考公式及数据：． α 0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 1．323 2．706 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828 16. 在数列中，数列满足 （1）证明数列是等差数列，并求出通项公式； （2）数列的前n项和为，问是否存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由． 17. 设，求值： （1）； （2）； （3）． 18. 已知数列的其前项的和，正项数列满足，且． （1）求、； （2）设，证明数列为等比数列； （3）求的前项的和． 19. 已知椭圆的左右焦点分别为、，且离心率．是第一象限内椭圆上的一点，当轴时，． （1）求椭圆的方程； （2）分别连接并延长交椭圆于点，分别表示和的面积，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$