精品解析：上海市彭浦中学2024-2025学年高二上学期期末数学试卷

上海市彭浦中学2024-2025学年高二上学期期末数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1. 直线的倾斜角的大小为______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算可得. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，又， 所以. 故答案为： 2. 椭圆的焦距为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆方程求出，，然后求解，即可得到结果． 【详解】解：椭圆，，，则． 椭圆的焦距为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题． 3. 表面积为的球的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 先求出半径，再利用公式可求体积. 【详解】， 故答案为：. 4. 过点且与直线平行的直线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】设该直线为，代入求出得出所求直线方程. 【详解】设该直线为，因为该直线过点，所以，解得 即所求直线为 故答案为： 5. 在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点的轨迹方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得点为以点、为焦点的椭圆，即可求出、、，从而得到椭圆方程. 【详解】因为点到点、的距离之和为， 即，所以点的轨迹为以点、为焦点的椭圆， 且，，所以，所以椭圆方程为. 故答案为： 6. 已知直线与直线的距离为，则________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式得到关于的方程，从而得解. 【详解】直线可化为，直线， 所以，解得或， 所以或. 故答案为：或 7. 若圆：与圆：外切，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆外切列方程，从而求得的值. 【详解】圆的圆心为，半径为. 圆的圆心为，半径为. 由于两圆外切，所以，得. 故解得. 故答案为： . 8. 若双曲线经过点，则此双曲线的渐近线夹角的为______． 【答案】 【解析】 【分析】将点代入双曲线，求出，然后求出渐近线方程，根据渐近线的斜率判断 【详解】将点代入双曲线得，解得， 所以双曲线，所以双曲线的渐近线为， 设的倾斜角为且，则，， 所以两条渐近线的夹角为，所以， 所以由得. 故答案为： 9. 若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线及高，再利用锥体的体积公式计算即得. 【详解】设圆锥的母线长为，则，解得，因此圆锥的高， 所以圆锥的体积. 故答案为： 10. 已知实数满足，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】就的正负分类讨论后可得方程对应的曲线，从而可求的取值范围. 【详解】根据题意，对于方程， 当时，原方程为，为椭圆在第一象限的部分； 当时，原方程为，为双曲线在第四象限的部分； 当时，原方程为，为双曲线在第二象限的部分； 当时，原方程无解，曲线在第三象限没有图象， 所以方程对应的曲线的图象如图所示， 记，动直线与双曲线的渐近线平行， 当动直线与第一象限内的椭圆相切时取最大值， 由可得， 令，解得（负值舍去）， 故相切时， 结合曲线图形可得 故答案为： 【点睛】思路点睛：对于曲线方程对应的曲线刻画，应该根据解析式的特征合理变形化简，以便用常用的曲线刻画前者. 二、选择题 11. 经过点，且法向量为的直线方程是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线法向量可得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果. 【详解】直线的法向量为，直线的斜率， 直线的方程为，即. 故选：B 12. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件． 13. 圆上动点到直线距离的最小值为（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可. 【详解】圆，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 故直线与圆相离，所以圆上的点到直线的距离的最小值为. 故选：C 14. 关于曲线，有下述两个结论：①曲线上的点到坐标原点的距离最小值是；②曲线与坐标轴围成的图形的面积不大于，则下列说法正确的是（ ） A. ①、②都正确 B. ①正确 ②错误 C. ①错误 ②正确 D. ①、②都错误 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式判断①的正确性，利用不等式的性质判断②的正确性. 【详解】对于①，由平方可得，．因为， 所以．又因为， 当且仅当时等号成立，故①错误； 对于②，由知，，，两边平方可得． 因为，所以， 即曲线在直线的下方， 因此所围图形的面积不大于，故②正确. 故选：C 【点睛】用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： “一正，二定，三相等” .（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 三、解答题 15. 已知圆的方程为，求经过点的圆的切线方程． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出切线的斜率，再写出切线方程． 【详解】因为，所以点在圆为外，如图所示， 则过点的圆的切线方程有两条. 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 设圆心到直线的距离为，而圆的半径为， 则，解得，所以； 当切线的斜率不存在时，则. 综上，切线方程为或. 16. 在长方体中（如图），，，点是棱的中点. （1）求异面直线与所成角的大小； （2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体是否为鳖臑？并说明理由. 【答案】（1） （2） 四面体是鳖臑，理由如下： 是棱上的中点，则､均为等腰直角三角形， 故，所以为直角三角形， 由平面，面，所以平面平面，又，平面平面，平面，所以平面，平面，所以， 所以为直角三角形， 因为平面，平面，所以，，所以､均为直角三角形， 故四面体四个面均为直角三角形为鳖臑. 【解析】 【分析】（1）作交于，联结，即可得到为异面直线与所成角，再根据三角形的性质求出，即可得解； （2）首先可得，即可得到为直角三角形，在由线面垂直、面面垂直的性质得到平面，即可得到，即为直角三角形，即可判断； 【小问1详解】 解：作交于，联结，因为是棱的中点. 所以为的中点， 则为异面直线与所成角， 因为，所以， 因为为正三角形，即， 异面直线与所成角为. 【小问2详解】 略 17. 已知曲线的方程为. （1）若曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆，求的值； （2）若，时，直线：与曲线相交于两点M，N，且，求曲线的方程； 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率的公式以及椭圆中的关系即可求解， （2）联立直线与曲线的方程，由韦达定理以及弦长公式求解. 【小问1详解】 ∵曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆 ∴曲线为：，且，， ∴， 又离心率为，则， 又因为， 因此，； 【小问2详解】 设，， 联立方程得， 因为，， 则，， 所以，， 解得或. 因此，曲线的方程为：或. 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，为的中点，，为中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成的角． 【答案】（1）证明：连接，交于O，连结， ∵四棱锥的底面是边长为1的正方形， ∴O是的中点，∵为的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连结交于，连接，推导出，利用线面平行判定定理证明平面； （2）根据，可得直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，可得为直线与平面所成的角，利用直角三角形中易求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 底面，∴为直线与平面所成的角， ∵，∴， ∴直线与平面所成的角等于. 19. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为，直角坐标原点记为．设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆上有一动点，求的取值范围； （3）设线段的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在点，使得，理由为： 显然直线的斜率存在，所以可以设直线，联立得到， 整理，得， 则， 则， 又直线与椭圆交于两点：， 化简得，则①， ，如果，则， 设直线为， 整理得， 要使得存在点，则， 整理得②， 由①②式得，， 则，解得， 所以当时，不存在点，使得. 【解析】 【分析】（1）求出可得答案； （2）设动点，求出，根据的取值范围可得答案； （3）设直线与椭圆方程联立，可得其判别式，化简得①， 利用韦达定理求出点坐标可得，利用得，设直线方程为与椭圆方程联立，要使得存在点可得其判别式，化简得②，由①②式求出的范围可得答案. 【小问1详解】 由题意，得，所以， 则椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设动点， ， ， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问的解题关键点是分别设直线、直线方程与椭圆方程联立，利用其判别式化简求出的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市彭浦中学2024-2025学年高二上学期期末数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1. 直线的倾斜角的大小为______． 2. 椭圆的焦距为__________． 3. 表面积为的球的体积为__________. 4. 过点且与直线平行的直线方程是______． 5. 在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点的轨迹方程是______. 6. 已知直线与直线的距离为，则________. 7. 若圆：与圆：外切，则实数______． 8. 若双曲线经过点，则此双曲线的渐近线夹角的为______． 9. 若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为__________ 10. 已知实数满足，则的取值范围是___________ 二、选择题 11. 经过点，且法向量为的直线方程是（     ） A. B. C. D. 12. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13. 圆上动点到直线距离的最小值为（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14. 关于曲线，有下述两个结论：①曲线上的点到坐标原点的距离最小值是；②曲线与坐标轴围成的图形的面积不大于，则下列说法正确的是（ ） A. ①、②都正确 B. ①正确 ②错误 C. ①错误 ②正确 D. ①、②都错误 三、解答题 15. 已知圆的方程为，求经过点的圆的切线方程． 16. 在长方体中（如图），，，点是棱的中点. （1）求异面直线与所成角的大小； （2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体是否为鳖臑？并说明理由. 17. 已知曲线的方程为. （1）若曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆，求的值； （2）若，时，直线：与曲线相交于两点M，N，且，求曲线的方程； 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，为的中点，，为中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成的角． 19. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为，直角坐标原点记为．设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆上有一动点，求的取值范围； （3）设线段的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $