精品解析：广西南宁市2024-2025学年高一上学期期末教学质量调研数学试卷

南宁市2024-2025学年度秋季学期教学质量调研 高一年级数学试卷 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，共19题．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上，将条形码准确粘贴在条形码区域内．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试题卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，用0.5毫米黑色字迹的签字笔将答案写在答题卡上，字体工整、笔迹清楚．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在本试题卷、草稿纸上答题无效． 4．保持答题卡面的清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知扇形的面积为6 ，圆心角为3 rad，则此扇形的周长为（ ） A. 2 cm B. 6 cm C. 10 cm D. 12 cm 4. 已知函数，“，”是“最大值为2024”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. （ ） A. B. C. D. 6. 标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，研究过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（ ） （参考数据：） A. B. C. D. 7. 已知定义在R上的奇函数在单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数在区间恰有三个最值点和两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域是 B. 的值域是R C. 是奇函数 D. 在，上单调递减 10. 下列计算或化简结果正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为第二象限角，则 11. 已知函数的定义域为R，对称中心是，且满足，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于轴对称 C. D. 若函数满足，则 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是幂函数，且该函数是奇函数，则的值是__________． 13. 已知，则__________． 14. 如图，平行于轴的直线分别与函数及的图像交于点和，点为函数图像上一点．若为正三角形，则__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且． （1）求xy的最大值； （2）求的最小值． 16. 已知函数，． （1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于x的不等式． 17. 函数（，）的部分图象如图所示． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若，，求的值． 18. 为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化闽江上游水域的水质省环保局于年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，年月底测得蒲草覆盖面积为，年月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积单位：与月份单位：月的关系有两个函数模型与可供选择． （1）分别求出两个函数模型的解析式； （2）若年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到？参考数据： 19. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔．该理论中有如下定义：对于函数，若其定义域中存在一个，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，而称为该函数的一个“不动点”．现新定义：若满足，则称为的“次不动点”． （1）判断函数是否是不动点函数，若是，求出其不动点，若不是，请说明理由； （2）已知函数，若非零实数a是在内的次不动点，求a的值； （3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市2024-2025学年度秋季学期教学质量调研 高一年级数学试卷 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，共19题．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上，将条形码准确粘贴在条形码区域内．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试题卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，用0.5毫米黑色字迹的签字笔将答案写在答题卡上，字体工整、笔迹清楚．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在本试题卷、草稿纸上答题无效． 4．保持答题卡面的清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求. 【详解】由题设有， 故选：B . 2. 设，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当时，选项A错误； 当时，选项B错误； 当时，选项C错误； ∵函数在上单调递增， ∴当时，． 本题选择D选项. 点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便． 3. 已知扇形的面积为6 ，圆心角为3 rad，则此扇形的周长为（ ） A. 2 cm B. 6 cm C. 10 cm D. 12 cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式求值. 【详解】设扇形半径为，弧长为，由题意： ，解得：. 所以扇形的周长为：. 故选：C 4. 已知函数，“，”是“最大值为2024”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断，进而可得正确选项. 【详解】“，”不一定有“最大值为2024”， 有可能不存在，使得，所以不满足充分性； 若“最大值为2024”，则“，”恒成立，所以必要性成立， 所以“，”是“最大值为2024”的必要不充分条件. 故选：B. 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简求值即可. 【详解】由诱导公式得， ，故A正确. 故选：A 6. 标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，研究过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（ ） （参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数的性质对原数取对数后估值即可. 【详解】对取对数得， ，故， 而与最接近，故B正确. 故选：B 7. 已知定义在R上的奇函数在单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得出，分析函数的单调性，分、、三种情况解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且，所以，， 因为函数在上单调递增，则该函数在上也为增函数， 当时，，由可得，解得； 当时，，由可得，可得，此时不存在； 当时，，由可得，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 8. 设函数在区间恰有三个最值点和两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题中条件，求出，令，，依次列举其最值点和零点，再由题意，得出，求解即可. 【详解】因为，，所以， 令，， 则函数中大于的最值点与零点依次是： 又函数在区间恰有三个最值点和两个零点， 所以只需，解得； 故选：C 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域是 B. 的值域是R C. 是奇函数 D. 在，上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分式有意义求出定义域，根据分子不为零求出值域，利用奇函数的定义即可判断，利用反比例函数图象进行平移，来判断单调性，逐个判断每个选项． 【详解】对于A项，分式中分母不等于0，所以，解得：， 所以的定义域是；故A项正确； 对于B项，的值域是，故B项错误； 对于C项，，令，定义域为，， 所以是奇函数，即是奇函数，故C项正确； 对于D项，的单调递减区间为，，将向右平移一个单位得到， 故在，上单调递减，故D项正确． 故选：ACD． 10. 下列计算或化简结果正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为第二象限角，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系，逐项求解判断即可. 【详解】若，则，故A正确； 若，则，故B正确； 若，则，所以，故C错； 若为第二象限角，则，，所以，故D正确； 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为R，对称中心是，且满足，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于轴对称 C. D. 若函数满足，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质，结合对称性，周期性的性质和赋值法逐项分析判断即可. 【详解】对于A，因为的对称中心是，且在有定义，所以， 因为，所以令，得到，故A正确， 对于B，因为的对称中心是，所以是奇函数， 得到，即， 而，则， 得到，故， 即是偶函数，则函数的图象关于轴对称，故B正确， 对于C，因为，所以， 则，故C错误， 对于D，因为，所以， 故，即是周期为的周期函数， 因为，所以， 则， 故是周期为的周期函数，而， ，，， 故， ， 因为，所以， 故， 即， 故， ，故D错误. 故选：AB 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助奇偶性，周期性，对称性等性质求解即可. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是幂函数，且该函数是奇函数，则的值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用幂函数的性质结合给定条件求解参数并取舍即可. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，，由一次函数性质得该函数是奇函数， 当时，，， 故，得到该函数是偶函数，不符合题意，排除， 综上，的值是. 故答案为：1 13. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式结合给定条件求值即可. 【详解】由二倍角公式得， 因为，所以. 故答案为： 14. 如图，平行于轴的直线分别与函数及的图像交于点和，点为函数图像上一点．若为正三角形，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用给定条件结合对数函数性质求出点的坐标，代入对应函数里，整体求值即可. 【详解】因为平行于轴的直线分别与两个函数的图像交于点和， 所以设，故， 若为正三角形，如图，作， 则到的距离，故， 因为点为函数图像上一点，所以 因为在图像上， 所以，而， 即，， 故，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数，解题关键是合理利用给定条件表示出点的坐标，然后代入函数中进行整体求值，得到所要求的参数值即可． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且． （1）求xy的最大值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式可得，即可求解； （2）利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求解． 【小问1详解】 ， ， ，即， 当且仅当，即时，取得最大值； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时，取得最小值． 16. 已知函数，． （1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2） 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）先对二次项系数分类讨论，再依据二次函数性质建立不等式，求解参数即可. （2）对参数分类讨论，再求解不等式即可. 【小问1详解】 由题意得对任意的恒成立， 当时，，而， 此时对任意的不成立，故排除， 故我们讨论的开口，当时，此时开口向下，不符合题意，故排除， 当时，此时开口向上，符合题意，令， 故，解得，得到实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，，令，解得 当时，我们讨论如下，因为， 所以，令， 解得或，当时，解得， 此时， 故得到的解集为， 当时，我们做出如下讨论，令，解得， 此时，令，解得， 令，解得，此时令，解得， 当时，恒成立，令，解得， 综上，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 17. 函数（，）的部分图象如图所示． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若，，求的值． 【答案】（1）， ； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦函数性质，把相位看成一个整体来解不等式，即可得单调区间； （2）利用相位整体角思想，把所求的角转化，再用余弦两角和公式求解即可. 【小问1详解】 由图象可知：，解得：， ， ； ，，解得：， 又，，， 令，解得：； 的最小正周期为，单调递增区间为. 【小问2详解】 ，， 又，， 又， . 18. 为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化闽江上游水域的水质省环保局于年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，年月底测得蒲草覆盖面积为，年月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积单位：与月份单位：月的关系有两个函数模型与可供选择． （1）分别求出两个函数模型的解析式； （2）若年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到？参考数据： 【答案】（1）． （2）年 【解析】 【分析】（1）将点，点分别代入两个函数模型的解析式，即可求解． （2）将分别代入两个函数模型，将所得的结果与20进行比较，求出合适的函数模型，令，结合对数的公式，即可求解． 【小问1详解】 若选择模型， 则，解得， 故函数模型为． 若选择模型， 则，解得，， 故函数模型为． 【小问2详解】 把代入，可得， 把代入，可得，可知与相差比较大， 故选择模型更合适． 令，可得， 两边取对数可得， 即， 所以， 至少到年月底蒲草覆盖面积能达到． 19. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔．该理论中有如下定义：对于函数，若其定义域中存在一个，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，而称为该函数的一个“不动点”．现新定义：若满足，则称为的“次不动点”． （1）判断函数是否是不动点函数，若是，求出其不动点，若不是，请说明理由； （2）已知函数，若非零实数a是在内的次不动点，求a的值； （3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围． 【答案】（1）若是不动点函数，则假设为该函数的一个“不动点”， 故，即，解得或， 所以是不动点函数，不动点为和. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对于函数，我们要判断它是否为不动点函数，关键在于求解方程，得到方程的解为和即可. （2）根据列出等式后，利用得到，结合正弦函数性质与的取值范围，最终确定的值即可. （3）将函数在上的唯一不动点和次不动点，分别设为，再根据，建立等式，从等式入手构建与的关系，通过对构建出的式子进行分析，转化为交点问题，再分别构造关于的新函数，利用指数函数性质研究这两个新函数在区间的增减性，从而得到的两个取值范围，再取交集即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若非零实数是在内的次不动点， 则，故，即， 解得，即a的值为. 【小问3详解】 设分别是在上的一个不动点和一个次不动点， 且唯一，故，得到， 两边同时取指数得，整理得， 令，故与在上有唯一交点， 由指数函数性质得在上单调递增， 而，由指数函数性质得在上单调递增， 故在上单调递增，而，得到， 故，由得，， 两边同时取指数得，整理得， 令，故与在上有唯一交点， 由指数函数性质得在上单调递增， 而，故，得到， 综上可得，，即实数b的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后转化为函数交点问题，结合指数函数性质得到所要求的参数范围即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $