18.7相似三角形应用举例 课件2024-2025学年北京版数学九年级上册

18.7相似三角形应用举例 1 相似三角形的判断方法 1.定义 2.定理(平行法) 3.判定定理一(角角) 5.判定定理三(仿边角边) 4.判定定理二(仿边边边) 1.对应边成比例 2.对应角相等 3.对应高、中线、角平分线、中位线和周长比等于相似比 4.面积比等于相似比的平方 相似三角形的性质 导入新课 2 导入新课 金字塔 怎样测量高度? 3 导入新课 亚马逊河流 怎样测量河宽? 4 导入新课 世界上最高的树 红杉 世界上最高的楼 台北101大楼 怎样测量这些非常高大物体的高度? 5 你知道古埃及的金字塔有多高吗? 据史料记载,古希腊数学家、天文学家泰勒斯游历古埃及时,只利用一根木棒和一把尺子就测量并计算出了金字塔的高度,使古埃及法老阿美西斯钦羡不已. 学习本章的有关知识以后,你就会明白泰勒斯是怎样测算金字塔高度的,并会解决许多类似的问题. 据史料记载,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理, 在金字塔影子的顶部立一根木杆, 借助太阳光线构成的两个相似三角形 来测量金字塔的高度. 探究新知 7 已知:木棍O‘B’ 长1m ,它的影长A’B’为2m , 测得AB为274m,你能求出金字塔的高度OB吗? 问题一 8 1.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为90米, 那么高楼的高度是_米(在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.) 解: 设此高楼的高度为h米, ∵ 在同一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米, 某高楼的影长为90米, ∴ 解得 h=54(米) 所以高楼的高度是54米. 巩固练习 9 如图所示,阳光从教室的窗户射入室内,窗户框AB 在地上的影长 DE=1.8m,窗户下檐距地面的距离 BC=1m,EC=1.2m, 窗户框AB高_ m. 练习 10 3.如图所示,有点光源S 在平面镜上面, 若在P 点看到点光源的反射光线, 并测得AB=10cm,BC=20cm, PC⊥AC,且PC=24cm, 求点光源S 到平面镜的距离即SA 的长度. 巩固拓展 11 解: 根据题意, ∵ ∠SBA=∠PBC, ∠SAB=∠PCB, ∴ SAB∽ PCB ∴ ∴ 所以SA的长度为12 cm. 巩固拓展 12 4.如图所示,AB 是斜靠在墙壁上的长梯, 梯脚B 距离墙角1.6m,梯上点D 距离墙1.4m, BD 长0.55m,则梯子长为_. 4.4m 巩固练习 13 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,RT确定PT与过点Q且垂直PS 的直线b的交点R.已测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,请根据这些数据,计算河宽PQ. 问题三 分析: 设河宽PQ长xm,由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线, 故可得到_∽_, PST PQR 再解x的方程可求出河宽. 因此有 即 问题三 已测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m, 请根据这些数据,计算河宽PQ. 15 解: 设河宽PQ长Xm, 依题意得:a // b ∴ PST ∽ PQR ∴ ∴ 解得 X=90 因此河宽为90m。 经检验: X=90是原分式方程的解。 已测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m, 请根据这些数据,计算河宽PQ. 16 利用三角形的_, 可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题. 相似 课堂小结 17 知识拓展 — 测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度, 通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决。 物1高 :物2高 = 影1长 :影2长 18 如图,已知左、右并排的两棵大树的高 分别是AB = 8 m 和CD = 12 m, 两树根部的距离BD = 5 m. 一个身高1.6 m的人沿着 正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进, 当他与左边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端点C 了? 问题四 19 解: 由题意可知,AB⊥l CD⊥l ∴ AB∥ CD, ∴ _∽ _. AEH CEK 即是 ∴ EK AH 解得 EH=_ 8 问题四 20 由此可知,如果观察者继续前进, 即他与左边的树的距离小于 米时由于这颗树的遮挡, 右边树的顶端点C在观察者的盲区之内观察者看不到它. 8 温馨提示: 认真体会这一生活实际中常见的场景,借助图形把这一实际中常见的场景, 抽象成数学图形,利用相似的性质解决这一实际问题. 问题四 21 泰勒斯在数学方面的划时代贡献是开始引入了命题证明的思想.命题的证明,就是借助一些公理或真实性业经确定的命题来论证某一命题真实性的思想过程.它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论.这在数学史上是一次不寻常的飞跃.在数学中引入逻辑证明,它的重要意义可以从下面这几个方面看出来:一、保证命题的正确性,使理论立于不败之地;二、揭露各定理之间的内在联系,使数学构成一个严密的体系,为进一步发展打下基础;三、使数学命题具有充分的说服力,令人深信不疑.证明命题是希腊几何学的基本精神,而泰勒斯是希腊几何学的先驱. 泰勒斯在数学方面的贡献 (1)圆的直径将圆平分. (2)等腰三角形两底角相等. (3)两直线相交,对顶角相等. (4)有两角夹一边分别相等的两个三角形全等. (5)半圆所对的圆周角是直角. 他证明的命题 泰勒斯数学方面的贡献 泰勒斯是公认的希腊哲学鼻祖,他第一次冲破了超自然的鬼神思想的羁绊,去揭示大自然的本来面目.他看到一切生命都依赖于水,而水无处不在,于是断言水是万物的本质.而地球像一个圆盘,漂浮在浩瀚无垠的水中.这种观点使他无法解释日月食的现象.他可能写过《航海天文学》,建议希腊的航海者按小熊星座去寻找北极,他们过去的习惯是看大熊星座.欧德莫斯说他已知按春分、夏至、秋分、冬至来划分的四季是不等长的.在物理学方面,琥珀摩擦产生静电的发现也归功于他。 泰勒斯其他方面的成就 $$