精品解析：北京市门头沟区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

北京市门头沟区2024-2025学年八年级上学期期末考试 数 学 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名、班级和考场． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列是年巴黎奥运会运动项目的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握此知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 某公司运用技术，下载一个的文件大约需要秒，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 3. 如图，，交于点O，且，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、和分别是和的对边，不能判定，故A符合题意； B、由判定，故B不符合题意； C、由判定，故C不符合题意； D、由判定，故D不符合题意． 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方，运用相关运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可． 【详解】解：A.，原选项计算错误，不符合题意； B. ，原选项计算错误，不符合题意； C. ，原选项计算错误，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意； 故选：D. 5. 如果等腰三角形的三边长分别是x，2，6，那么x的值是（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 4或8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，分两种情况求解后利用三角形的三边关系验证；解题的关键是分类讨论． 【详解】解：当时，，不能构成三角形，不合题意； 当时，，能构成等腰三角形； 故选：B． 6. 如图，在中，是的角平分线．如果点D到的距离为1，那么的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，含角的直角三角形的性质等知识，过D作于E，由题意可知，，根据角平分线的定义得，则，得出，再利用含角的直角三角形的性质可得的长，从而解决问题． 【详解】解：过D作于E，由题意可知，， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 7. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式的性质，根据分式的性质逐项计算即可得出正确的选项 【详解】解：A. ，正确，符合题意； B. ，原选项错误，不符合题意； C. ，原选项错误，不符合题意； D. ，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 8. 如图，在中，，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点．给出下面四个结论： ①；②；③；④的面积是的面积的2倍；上述结论中，所有正确结论的序号是（） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定与性质、三角形面积公式判断求解即可． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ，， 故①正确，符合题意； ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 故②正确，符合题意； ，，， ； 故③正确，符合题意； 根据三角形面积公式得，只有时，的面积是的面积的2倍， 故④错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 如果分式有意义，那么x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，列不等式求解即可． 【详解】∵分式有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键． 10. 分解因式：3x2+6xy+3y2＝_____． 【答案】3（x+y）2． 【解析】 【分析】先利用提取公因式法提取数字3，再利用完全平方公式继续进行分解． 【详解】3x2+6xy+3y2=3（x2+2xy+y2）=3（x+y）2． 故答案为3（x+y）2． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 11. 如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的关系，设这个多边形的边数为，则，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴这个多边形的内角和为， 设这个多边形的边数为， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 当时，代数式的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值，正确计算是解题的关键．由已知条件得出，然后根据平方差公式计算，再整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：1． 13. 如图，在中，垂直平分，垂足为D，交于点E，连接．如果，，那么的度数是______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，根据线段垂直平分线的性质得出，进而得到，根据三角形外角求出，然后再利用，得出即可． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， ， ， ∵， ， 故答案为：． 14. 如图，在等边中，是边上的高线，且，E是的中点，如果点P在上运动，那么的最小值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系求最值： 根据等边三角形可得，那么，即最小值为，根据面积法可得． 【详解】解：连接， ∵在等边中，是边上的高线，且，E是的中点， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，最小，即为， ∵，， ∴， 故答案为：6． 15. 如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据图形进行面积计算是解题的关键．观察图形，阴影部分面积可以通过大正方形面积减去小正方形面积，再减去两个直角三角形的面积计算得出． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴上式， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，已知点和第一象限内点 M，若是等腰直角三角形，则点M的坐标是________. 【答案】或或 【解析】 【分析】此题考查了坐标与图形、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，分三种情况讨论解答即可. 【详解】如图，时，作轴于点E， ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标是， 当时，同理可求，点的坐标是， 当是等腰直角三角形的斜边时，点是的中点，则点的坐标为， 综上可知，满足条件的点M的坐标是或或 故答案为：或或 三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方运算法则计算，再根据有理数加减法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了绝对值、零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方、有理数的加减，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式除法法则的应用，掌握多项式除以单项式法则是解题的关键．利用多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解： ． 19. 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，AC=DB，AE=DF，BE=CF．求证：∠E=∠F． 【答案】见解析 【解析】 【分析】因为AC=DB，所以AB=DC，又AE=DF，BE=CF，证明，即可证明. 【详解】∵AC=DB且BC=BC ∴AB=DC ∠E=∠F 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，关键是正确找出证明三角形全等的条件. 20. 解分式方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【详解】解： ， 检验：当时，， ∴是原方程的解， ∴原方程的解是． 21. 老师设计了一个数学“接力游戏”，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给甲同学，他完成一步计算后，再将结果传递给乙同学，依次进行，最后完成计算．规则是每位同学只能看到前一位同学传过来的式子． 根据上面同学的接力过程，回答以下问题： （1）在“接力游戏”中，从____同学开始出现计算错误，错误的原因是_______________； （2）请写出正确解答过程． 【答案】（1）甲，分子分母没有同乘以 （2） ． 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算：一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． （1）甲在通分时，分子没有乘； （2）先通分，再进行同分母的减法运算，然后约分即可． 【小问1详解】 解：在“接力游戏”中，从甲同学开始出现计算错误，错误的原因是分子分母没有同乘以； 故答案为：甲，分子分母没有同乘以； 【小问2详解】 略 22. 下面是小明设计的尺规作图过程： 已知：如图，． 求作：，使点D在上，且． 作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线，交于点D； ③连接． 所以为所求 据小明设计的尺规作图过程，回答以下问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接． ∵， ∴点M，N均在线段的垂直平分线上． 即：直线是线段的垂直平分线． ∵点D在直线上， ∴_____（_______________________________________）（填推理的依据)． ∴（__________________________________）（填推理的依据)． ∵， ∴． 【答案】（1）见解析 （2），线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，等边对等角 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）利用线段的垂直平分线的性质以及等边对等角解决问题即可． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 证明：连接． ∵， ∴点M，N均在线段的垂直平分线上． 即：直线是线段的垂直平分线． ∵点D在直线上， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）． ∴（等边对等角）． ∵， ∴． 故答案为：，线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，等边对等角． 23. 先化简，再求值：，其中a＝2． 【答案】 【解析】 【分析】先计算括号内的加法、将除式的分子、分母因式分解后，把除法转化为乘法，再约分即可化简原式，最后将a的值代入计算可得． 【详解】解：原式 当a＝2时，原式 ． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．直线l过点C且平行于y轴． （1）在图中画出关于直线l对称的，（其中点A，B，C的对称点分别是点，，）； （2）点的坐标是__________，点的坐标是__________； （3）如果为平面直角坐标系中任意一点，那么点M关于直线l的对称点M1的坐标是（_______，_______）（结果用含a，b的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2）； （3）；b 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图可得答案； （3）根据轴对称的性质可得答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：由图可得，，， 故答案为：；； 【小问3详解】 解：由题意得，点M关于直线l的对称点的坐标是． 故答案为：；b． 25. 列方程解应用题： 《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，是中国十大传世名画之一．如图是小李所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为，宽为，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度． 【答案】边衬的宽度为 【解析】 【分析】本题考查运用分式方程解决实际问题，熟练掌握比的意义，列方程是解题的关键． 设边衬的宽度为，表示出装裱后的长和宽，根据“整幅图画长与宽的比是”即可列出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设边衬的宽度为．依题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意. 答：边衬的宽度为． 26. 阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵, ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵, ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： （1）求多项式的最小值，并求出相应的x的值； （2）如果多项式的最小值是，那么p的值为________； （3）如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 【答案】（1）当时，代数式的最小值为 （2） （3）5米，25 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）根据阅读材料即可求出答案； （2），根据阅读材料和已知条件即可求出答案； （3）由题意得到长方形的面积，根据阅读材料和已知条件即可求出答案． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴． ∴当时，代数式的最小值为4； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为， ∵多项式的最小值是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵米， ∴（米）， ∴长方形的面积， ∵， ∴长方形的面积， ∴当时，长方形的面积的最大值为25， 即米时，该花坛的面积最大，最大面积是25平方米． 故答案为：5米，25． 27. 如图，为等边三角形，点D在上，且，作点C关于直线的对称点E，射线交直线于点F，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的大小； （3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）补全图形见解析： （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）根据等边三角形的性质得到，，则，根据对称的性质得到，求得 ，于是得到． （3）如图：延长到M，使，连接．根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，则得到，再运用等量代换即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意补全图形如下： ． 【小问2详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵点C关于直线的对称点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：线段之间的数量关系是，证明如下： 证明：如图：延长到M，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，点A与点B关于x轴对称.对于点A和点B，如果存在点P，使且，那么称点P为点A关于点B的“x轴垂半点”． （1）如图1，点，在，，，中，点A关于点B的“x轴垂半点”是________； （2）如果点是点E关于点F的“x轴垂半点”，那么点E的坐标是________； （3）已知点，，点A是线段上任意一点，如果点G是点A关于点B的“x轴垂半点”，那么点G的横坐标t的取值范围是________． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标的特征，网格的特征，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． （1）利用“x轴垂半点”的定义，画出图形，解答即可； （2）根据“x轴垂半点”的性质得出或，再由点关于轴对称，可求出点的坐标； （3）根据“x轴垂半点”的性质可得，由“x轴垂半点”定义分两种情况可得的取值范围． 【小问1详解】 解：如图， ∴点A关于点B的“x轴垂半点”是，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵ ∴或， ∵点关于轴对称， ∴点的坐标为，， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：如图， ∵，， ∴点关于轴对称点的坐标为，点关于轴对称点的坐标为， ∴ ∵点G是点A关于点B的“x轴垂半点”， ∴或, ∴，， 故答案为：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市门头沟区2024-2025学年八年级上学期期末考试 数 学 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名、班级和考场． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列是年巴黎奥运会运动项目的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某公司运用技术，下载一个的文件大约需要秒，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，交于点O，且，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果等腰三角形的三边长分别是x，2，6，那么x的值是（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 4或8 6. 如图，在中，是的角平分线．如果点D到的距离为1，那么的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 7. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点．给出下面四个结论： ①；②；③；④的面积是的面积的2倍；上述结论中，所有正确结论的序号是（） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 如果分式有意义，那么x的取值范围是______． 10. 分解因式：3x2+6xy+3y2＝_____． 11. 如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是______． 12. 当时，代数式的值为______． 13. 如图，在中，垂直平分，垂足为D，交于点E，连接．如果，，那么的度数是______． 14. 如图，在等边中，是边上的高线，且，E是的中点，如果点P在上运动，那么的最小值是______． 15. 如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为__________ 16. 在平面直角坐标系中，已知点和第一象限内点 M，若是等腰直角三角形，则点M的坐标是________. 三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，AC=DB，AE=DF，BE=CF．求证：∠E=∠F． 20. 解分式方程：． 21. 老师设计了一个数学“接力游戏”，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给甲同学，他完成一步计算后，再将结果传递给乙同学，依次进行，最后完成计算．规则是每位同学只能看到前一位同学传过来的式子． 根据上面同学的接力过程，回答以下问题： （1）在“接力游戏”中，从____同学开始出现计算错误，错误的原因是_______________； （2）请写出正确解答过程． 22. 下面是小明设计的尺规作图过程： 已知：如图，． 求作：，使点D在上，且． 作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线，交于点D； ③连接． 所以为所求 据小明设计的尺规作图过程，回答以下问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接． ∵， ∴点M，N均在线段的垂直平分线上． 即：直线是线段的垂直平分线． ∵点D在直线上， ∴_____（_______________________________________）（填推理的依据)． ∴（__________________________________）（填推理的依据)． ∵， ∴． 23. 先化简，再求值：，其中a＝2． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．直线l过点C且平行于y轴． （1）在图中画出关于直线l对称的，（其中点A，B，C的对称点分别是点，，）； （2）点的坐标是__________，点的坐标是__________； （3）如果为平面直角坐标系中任意一点，那么点M关于直线l的对称点M1的坐标是（_______，_______）（结果用含a，b的式子表示）． 25. 列方程解应用题： 《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，是中国十大传世名画之一．如图是小李所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为，宽为，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度． 26. 阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵, ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵, ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： （1）求多项式的最小值，并求出相应的x的值； （2）如果多项式的最小值是，那么p的值为________； （3）如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 27. 如图，为等边三角形，点D在上，且，作点C关于直线的对称点E，射线交直线于点F，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的大小； （3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，点A与点B关于x轴对称.对于点A和点B，如果存在点P，使且，那么称点P为点A关于点B的“x轴垂半点”． （1）如图1，点，在，，，中，点A关于点B的“x轴垂半点”是________； （2）如果点是点E关于点F的“x轴垂半点”，那么点E的坐标是________； （3）已知点，，点A是线段上任意一点，如果点G是点A关于点B的“x轴垂半点”，那么点G的横坐标t的取值范围是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $