精品解析：广东省惠州仲恺区2024—2025学年上学期九年级数学期末测试

2024—2025学年第一学期学校期末考试 九年级数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 黄河入海流 C. 大漠孤烟直 D. 鱼戏莲叶东 3. 关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 图像经过点 B. 两个分支分布在第二、四象限 C. 两个分支关于轴成轴对称 D. 当时，随的增大而减小 4. 一元二次方程的根是（ ） A. ， B. C. D. ， 5. 如图，在Rt中，，，将绕点C顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，、分别切于A、B两点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 胖东来超市因其对食品质量的严格把控而广受好评，特别是售卖的鱼，会在优质水域空养十天，确保鱼的质量安全后才上市销售．为评估一批鱼的质量，超市随机抽取120条已经养殖了10天的鱼进行检测，发现108条达标，12条不达标．根据此抽样，超市估算整批（1000条）鱼中质量达标的鱼大约有（ ） A. 800条 B. 900条 C. 960条 D. 1000条 8. 综合实践课上，珍珍用半径，圆心角为的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽．如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是（ ）． A. B. C. 3 D. 6 9. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图，在正方形中，，点E是对角线上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接，过点B作，垂足为F，连接．则的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 12. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则点C的坐标是________． 13. 今年秋冬季是支原体肺炎感染高发期，戴口罩可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染．现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为________． 14. 如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为_______米． 15. 我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论： ①图象与坐标轴的交点为和； ②图象具有对称性，对称轴是直线； ③当或时，函数值y随x值增大而增大； ④当或时，函数的最小值是0； ⑤当时，函数的最大值是4． 其中正确结论有______．（填正确的序号） 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 已知：是的边、上的点，，，，，求证：． 17. 旅客在某网站购高铁票，系统会随机分配座位．李某和张某打算购票，如图所示一排中座位编号为A，B，C，D，F，若系统已将两人分配到同一排，在同一排分配各个座位的概率一样． A B C 过道 D F （1）“分给李某座位A”是________事件，这一事件的概率是________； （2）试用列表法或画树状图法求分给这两人相邻座位（过道两侧座位C，D算相邻）的概率． 18. 如图，在的网格中，每个格子都是边长为1的小正方形，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O成中心对称的，并写出点坐标． （2）画出绕点A顺时针旋转后得到． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计麦秆画的销售方案 素材1 麦秆画是一种历史悠久的传统工艺美术品，以其独特的艺术风格和精湛的制作工艺被誉为中华瑰宝．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅． 素材2 据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元（），平均每天就可以多售出幅． 素材3 这种麦秆画在实体店的销售价定为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上影响，平均每天的销售量为幅． 问题解决 任务1 确定模型 （1）求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式． 任务2 探究销售方案 （2）若该手工艺品店网上每天销售这种麦秆画的毛利润为1250元，那么网上销售的价格应定为多少元． 任务3 拟定最优方案 （3）当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）？最大总毛利润是多少？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B，与x轴交于点D． （1）________，________，B点坐标为________； （2）根据函数图象直接写出时x的取值范围； （3）P是x轴上一点，且满足的面积等于5，求点P坐标． 21. 如图，是直径，点C在上，连接，使． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合实践 【初步探究】如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点顺时针旋转得到．易证：． （1）根据以上信息填空： ①________； ②线段，，之间满足的数量关系为________． 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点在的延长线上，点在的延长线，，猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，，分别在，上，，连接分别交，于点，，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点． （1）求拋物线的解析式； （2）当点P在直线上方的拋物线上时，连接交于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连结，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期学校期末考试 九年级数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 黄河入海流 C. 大漠孤烟直 D. 鱼戏莲叶东 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了事件发生的可能性大小．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、手可摘星辰是不可能事件，故本选项符合题意； B、黄河入海流是必然事件，故本选项不符合题意； C、大漠孤烟直随机事件，故本选项符合题意； D、鱼戏莲叶东是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：A 3. 关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 图像经过点 B. 两个分支分布在第二、四象限 C. 两个分支关于轴成轴对称 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象经过的点横纵坐标之积，掌握反比例函数的性质．根据反比例函数的性质（1）反比例函数的图象是双曲线；（2）当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；（3）当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大进行分析即可． 【详解】解：A、，故反比例函数的图象不过点，故此选项错误，不符合题意； B、，两个分支分布在第二、四象限，故此选项正确，符合题意； C、两个分支关于轴成轴对称，说法错误，应是关于原点对称，故此选项错误，不符合题意； D、当时，随的增大而减小，说法错误，应为当时，随的增大而增大，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 4. 一元二次方程根是（ ） A. ， B. C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴，； 故选A． 5. 如图，在Rt中，，，将绕点C顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；如图，证明；求出，得到，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，、分别切于A、B两点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质，结合四边形的内角和，求出的度数，再利用圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：连接，由题意，得：， ∴， ∴； 故选C 7. 胖东来超市因其对食品质量的严格把控而广受好评，特别是售卖的鱼，会在优质水域空养十天，确保鱼的质量安全后才上市销售．为评估一批鱼的质量，超市随机抽取120条已经养殖了10天的鱼进行检测，发现108条达标，12条不达标．根据此抽样，超市估算整批（1000条）鱼中质量达标的鱼大约有（ ） A. 800条 B. 900条 C. 960条 D. 1000条 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用样本估计总体，用总体乘以样本中的频率，进行求解即可． 【详解】解：（条）； 故选B． 8. 综合实践课上，珍珍用半径，圆心角为的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽．如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是（ ）． A. B. C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求圆锥底面半径，根据圆锥底面周长为展开图扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：； 故选C． 9. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， 解得，，且. 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 10. 如图，在正方形中，，点E是对角线上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接，过点B作，垂足为F，连接．则的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求一点到圆上一点的最值，勾股定理，正方形的性质；取的中点，连接，依题意得出在以为直径的上运动，进而由勾股定理求得，根据的最小值为，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵ ∴， ∴在以为直径的上运动， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 【答案】十 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角，根据正多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：； ∴该正多边形的边数是10； 故答案为：十． 12. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则点C的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与位似图形，根据以原点为位似中心，位似比为的点的对应点坐标为或，进行求解即可． 【详解】解：∵，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段， ∴，即：； 故答案为：． 13. 今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，戴口罩可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染．现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），据此列方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 列方程得：， 故答案为： 14. 如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为_______米． 【答案】3 【解析】 【分析】过O作OD⊥AB于D，连接OA，由垂径定理得AD=BD=AB=4（米），然后在Rt△AOD中，由勾股定理求出OD的长即可． 【详解】解：过O作OD⊥AB于D，连接OA，如图所示： 则AD=BD=AB=4（米）， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD=（米）， 即圆心O到水面AB的距离为3米， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 15. 我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论： ①图象与坐标轴的交点为和； ②图象具有对称性，对称轴是直线； ③当或时，函数值y随x值的增大而增大； ④当或时，函数的最小值是0； ⑤当时，函数的最大值是4． 其中正确的结论有______．（填正确的序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．由和坐标都满足函数，①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据，求出相应的x的值为或，因此④也是正确的；从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案． 【详解】解：①∵和坐标都满足函数， ∴①是正确的； ②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，因此②也是正确的； ③根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的； ④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据，求出相应的x的值为或，因此④也是正确的； ⑤从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此⑤是不正确的； 故答案为：①②③④． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 已知：是的边、上的点，，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由已知可得，进而由求证，即可得出结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：在和中， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 17. 旅客在某网站购高铁票，系统会随机分配座位．李某和张某打算购票，如图所示一排中座位编号为A，B，C，D，F，若系统已将两人分配到同一排，在同一排分配各个座位的概率一样． A B C 过道 D F （1）“分给李某座位A”是________事件，这一事件的概率是________； （2）试用列表法或画树状图法求分给这两人相邻座位（过道两侧座位C，D算相邻）的概率． 【答案】（1）随机； （2） 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，树状图求概率： （1）根据事件的分类进行判断，概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：“分给李某座位A”是随机事件； ； 【小问2详解】 根据题意画树状图如下： 共有20种等情况数，其中相邻座位的情况数有8种， ∴分给李某和张某相邻座位（过道两侧座位C，D算相邻）的概率是． 18. 如图，在的网格中，每个格子都是边长为1的小正方形，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O成中心对称的，并写出点坐标． （2）画出绕点A顺时针旋转后得到的． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换---旋转与中心对称，熟练掌握中心对称和旋转的性质，是解题的关键： （1）根据中心对称的性质画出，进而写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质画出即可。 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求．由图可知： 【小问2详解】 如图所示，即为所求． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计麦秆画的销售方案 素材1 麦秆画是一种历史悠久的传统工艺美术品，以其独特的艺术风格和精湛的制作工艺被誉为中华瑰宝．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅． 素材2 据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元（），平均每天就可以多售出幅． 素材3 这种麦秆画在实体店的销售价定为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上影响，平均每天的销售量为幅． 问题解决 任务1 确定模型 （1）求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式． 任务2 探究销售方案 （2）若该手工艺品店网上每天销售这种麦秆画的毛利润为1250元，那么网上销售的价格应定为多少元． 任务3 拟定最优方案 （3）当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）？最大总毛利润是多少？ 【答案】（1）；（2）网上销售的价格应定为35元；（3）当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆两的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用销售问题，解题关键是读懂题意，能列出相应的表达式，并能根据函数的图象与性质求解． 任务1：利用单件利润乘以销量即可求解； 任务2：求解方程，即可得解； 任务3：设总毛利润为元，表示出利润，利用抛物线的性质先确定x的值，再求解． 【详解】解：任务1： 任务2：当时，得 经整理，得 ∴ 解得或（不符合题意，舍去） 由（1）得网上销售的价格为 ∴网上销售的价格应定为35元． 任务3：设该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润为W元 则 ∵ ∴当时，W的值最大，W最大 （元） ∴当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆两的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B，与x轴交于点D． （1）________，________，B点坐标为________； （2）根据函数图象直接写出时x的取值范围； （3）P是x轴上一点，且满足的面积等于5，求点P坐标． 【答案】（1）3，6，； （2）或； （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． （1）将点代入直线解析式得到m值，继而得到反比例函数解析式，联立方程组求得点B坐标即可； （2）根据两个函数图象直接写出不等式的解集即可； （3）先求出点D坐标，然后根据列出关于m的方程解出m值即可知道P的坐标． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 联立方程组得，解得，或， ∴． 【小问2详解】 解：由图象可知：不等式即：的解集为：或． 【小问3详解】 解：设点P坐标为， 在中，令，则， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴点P坐标为或． 21. 如图，是直径，点C在上，连接，使． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由直径得到，再结合等边对等角性质，得到，进而得出，即可证明结论； （2）先得出，再由圆周角定理，得到，进而得出，最后由阴影部分的面积，即可求出图中阴影部分的面积． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，求不规则图形面积等知识，掌握圆的相关性质和扇形面积公式是解题关键． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合实践 【初步探究】如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点顺时针旋转得到．易证：． （1）根据以上信息填空： ①________； ②线段，，之间满足的数量关系为________． 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点在的延长线上，点在的延长线，，猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，，分别在，上，，连接分别交，于点，，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 【答案】（1）①45°；②；（2），见解析；（3）2.5 【解析】 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质得出，从而可求得； ②证明，由全等三角形的性质得出； （2）将绕点A顺时针旋转到，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出； （3）将绕点A顺时针旋转，得到，证明，得，再证，然后由勾股定理得出，即可解决问题． 【详解】（1）解：①如图（1），延长到点G，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）． 证明如下：如图（2），在上截取，连接． 在和中， ， ， ，， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接． 四边形是正方形， ，，， ， ， 由旋转可得， ，，，， ， ，， ． ． ， ． 设，则． 在中， 解得：， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质综合，旋转的性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点． （1）求拋物线的解析式； （2）当点P在直线上方的拋物线上时，连接交于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连结，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，求点M的坐标． 【答案】（1）该抛物线的解析式为； （2）点P的坐标为，的最大值为； （3）点M的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式； （2）过点P作轴交直线于点E，设，进而表示出点的坐标，证明，列出比例式，将转化为二次函数求最值即可； （3）设，则，根据折叠的性质，平行线的性质，推出，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵拋物线与x轴交于点，两点 ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 当时， ∴ 设直线的解析式为，把A，C两点代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交直线于点E，如图，设， ∵轴， ∴点E的纵坐标为 则 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为， 此时点P的坐标为， 【小问3详解】 如图，设，则 ∴，， ∵沿直线翻折，M的对应点为点，落在y轴上，而轴 ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∴ 当时，解得：（舍去），， 此时点 当时，解得：（舍去），， 此时点， 综上，点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $