精品解析：河南省新乡市2024-2025学年高一上学期期末测试数学试卷

2024-2025学年高一期末（上）测试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一、二、三章占40%，第四、五章占60%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式求解即可 【详解】. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合，结合交集的定义可求得. 【详解】由题意可得， 又，所以. 故选：B. 3. 若扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的弧长和面积公式列式运算求解. 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 则，解得，. 故选：C. 4. 若幂函数是偶函数，则（ ） A. -2 B. 3 C. 1 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义得到方程，求出或，结合函数奇偶性排除，得到答案. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或. 当时，是偶函数，符合题意； 当时，是奇函数，不符合题意. 故选：C 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的性质比较大小. 【详解】，， 所以，，的大小关系是. 故选：A 6. 将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于点中心对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦型函数的性质进行判断即可. 【详解】由题意可得.因为，所以不是奇函数，则A错误; ，则B错误; 令，得，所以的图象的对称中心为，则C错误; 令，得，当时，，则D正确. 故选：D. 7. 已知，且，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由在R上单调递增求得的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得. 【详解】由在上单调递增，得，解得， 故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量（单位：mg）在内的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量为，如果停止喝酒后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，经过小时后，该驾驶员可以驾驶车辆，那么整数的最小值是（参考数据：）（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用题意列出不等式，再利用指对数转化，解不等式，然后用对数运算求值即可. 【详解】由题意可得，则， 即，所以. 因为，所以， 则整数的最小值是8. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断A；由题意可得，，可判断B；利用对数函数的单调性可判断C；利用不等式的性质可判断D. 【详解】当，时，，则A错误. 因为，所以，，所以，则B正确. 因为在上单调递增，因为，所以，则C正确. 因，所以，，所以，所以，则D正确. 故选：BCD. 10. 对于函数，存在，使得，我们称为“不动点”函数.下列函数中，是“不动点”函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】将函数是否为“不动点”函数，转化为方程是否有解，根据方程判别式的符号判断AB；根据是方程的一个解判断C；分两种情况讨论分别判断方程是否有解即可判断D. 【详解】令，即. 因为，所以无解， 则不是“不动点”函数，A不正确； 令，即，即. 因为，所以有两个不同的非零实根， 则是“不动点”函数，B正确； 令，即， 易知是方程的一个解， 则是“不动点”函数，C正确； 当时，令，即，解得或， 则方程在上无解；当时，， 则方程在上无解.故不是“不动点”函数，D 不正确； 故选：BC. 11. 纯音是指单一频率的声音，纯音的数学模型是函数.我们在日常生活中听到的声音，几乎都是复合音，而复合音是由多个频率不同的纯音组成的.已知某声音的函数是，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为5 C. 的图象关于直线对称 D. 方程在内的所有实根之和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得函数的最小正周期判断A；若的最大值为5，则，求解判断B；由可判断C；，利用换元法可求得方程的所有实数根，可判断D. 【详解】因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以的最小正周期为，故A正确. 若的最大值为5，则，所以，所以，故B错误. 因为， 所以的图象关于直线对称，故C正确. . 设，则，即， 所以，解得或或. 当，即时，因，所以或或或； 当，即时，； 当，即时，因为，所以或. 故方程在内的所有实根之和为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换可求得的根，从而求得所有实根之和，换元法是解决具有某一类公同特征的类型问题的一种常用思路和方法. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最小正周期是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正切函数的周期公式求解. 【详解】由题意可得的最小正周期. 故答案为：. 13. 已知是上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是__________. 【答案】或 【解析】 【分析】先得到在上单调递增，，从而得到，再由函数奇偶性，得到在上单调递增，且，当时，需满足，解得，从而得到不等式解集. 【详解】，在上均单调递增， 故在上单调递增，又， 故当时，，需满足，解得， 当时，，由于此时，不合要求， 由于是上的奇函数，故在上单调递增，且， 当时，，故需满足，解得， 综上，的解集为或， 故答案为：或 14. 已知，，且，则的最小值是__________. 【答案】4 【解析】 【分析】由已知条件可得，代入所求式子，再根据基本不等式求解. 【详解】因为，则，所以， 所以. 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值是4. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法化简集合A，当时求出集合B，再求并集即； （2）根据，列不等式即可求的取值范围. 【小问1详解】 因为. 当时，， 则. 【小问2详解】 因为，， 且， 所以或， 解得或， 即的取值范围是. 16. 已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式化简条件式，结合商数关系求解； （2）利用两角和的正切公式求解； （3）利用二倍角公式和平方关系，将原式化为齐次式，再将弦化切计算可得. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 则. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 17. 已知函数. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性并根据定义加以证明； （3）若函数在上的最小值是，求的值. 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用换元法可求函数的解析式； （2）利用单调性的定义可证在上单调递减； （3）分，两种情况求得的最小值，再结合已知求得的值. 【小问1详解】 设，得， 则， 故. 【小问2详解】 在上单调递减. 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，且，所以，，， 所以，所以， 则在上单调递减. 【小问3详解】 当时，是上的减函数， 由（2）可知函数是上的减函数， 所以是上的增函数， 所以，解得. 当时，是上的增函数， 由（2）可知函数是上的减函数， 则是上的减函数， 所以，解得. 综上，或. 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某市的摩天轮最高点距离地面的高度为，转盘直径为，设有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周约需要.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后，距离地面的高度为. （1）在转动一周的过程中，求关于的函数关系式； （2）求游客甲在开始转动后距离地面的高度； （3）当游客距离地面的高度不低于时，可以俯瞰该市的全景，求游客甲在摩天轮转动一周的过程中能俯瞰该市全景的时长. 【答案】（1），. （2）. （3）10分钟 【解析】 【分析】（1）设游客甲乘坐座舱距离地面最近的位置为点，以摩天轮的轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，依据题意建立三角函数模型，求出即可； （2）将代入，根据特殊角的三角函数值求解即可； （3）根据正弦函数的图象和性质解不等式即可. 【小问1详解】 设游客甲乘坐的座舱距离地面最近的位置为点，以摩天轮的轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系， 当时，，此时，以为终边的角是， 因为该摩天轮转一周约需要，该摩天轮的角速度约为， 所以，. 【小问2详解】 当时，， 即游客甲在开始转动后距离地面的高度约为. 【小问3详解】 由题意可得，即. 因为，所以， 所以，解得， 则游客甲在摩天轮转动一周的过程中能俯瞰该市全景的时长为. 19. 若函数满足对任意的，，都有，，且，则称为“超加性倾向函数”. （1）若函数，试判断是否是“超加性倾向函数”，并说明理由. （2）证明：函数是“超加性倾向函数”. （3）若函数是“超加性倾向函数”，求的值. 【答案】（1）不是“超加性倾向函数”，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接求解判断即可； （2）根据“超加性倾向函数”的定义直接证明即可； （3）根据“超加性倾向函数”的定义，对恒成立，等价于对恒成立，又对任意的，恒成立，等价于对任意的，恒成立，进而利用不等式恒成立问题，求解参数即可. 【小问1详解】 当时，， . 因为是上的增函数，所以， 则，则不是“超加性倾向函数”. 【小问2详解】 因为，所以是上的增函数. 因为是上的增函数，所以是上的增函数， 因为，所以. 取任意的，， 则. 因为，，所以，，所以，， 所以， 所以，则， 故是“超加性倾向函数”. 【小问3详解】 因为是“超加性倾向函数”，所以对恒成立， 即对恒成立. 因为，所以，所以. 因为是“超加性倾向函数”， 所以对任意的，恒成立， 所以，即， 即对任意的，恒成立. 因为，，所以，，所以，， 所以，所以，解得. 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一期末（上）测试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一、二、三章占40%，第四、五章占60%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长是（ ） A. B. C. D. 4. 若幂函数偶函数，则（ ） A. -2 B. 3 C. 1 D. 1或3 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A B. C. D. 6. 将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于点中心对称 D. 图象关于直线对称 7. 已知，且，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 酒驾是严重危害交通安全违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量（单位：mg）在内的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量为，如果停止喝酒后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，经过小时后，该驾驶员可以驾驶车辆，那么整数的最小值是（参考数据：）（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数，存在，使得，我们称为“不动点”函数.下列函数中，是“不动点”函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 纯音是指单一频率的声音，纯音的数学模型是函数.我们在日常生活中听到的声音，几乎都是复合音，而复合音是由多个频率不同的纯音组成的.已知某声音的函数是，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为5 C. 的图象关于直线对称 D. 方程在内的所有实根之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最小正周期是__________. 13. 已知是上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是__________. 14. 已知，，且，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 16. 已知. （1）求值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 已知函数. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性并根据定义加以证明； （3）若函数在上的最小值是，求的值. 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某市的摩天轮最高点距离地面的高度为，转盘直径为，设有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周约需要.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后，距离地面的高度为. （1）在转动一周的过程中，求关于的函数关系式； （2）求游客甲在开始转动后距离地面的高度； （3）当游客距离地面的高度不低于时，可以俯瞰该市的全景，求游客甲在摩天轮转动一周的过程中能俯瞰该市全景的时长. 19. 若函数满足对任意的，，都有，，且，则称为“超加性倾向函数”. （1）若函数，试判断是否是“超加性倾向函数”，并说明理由. （2）证明：函数是“超加性倾向函数”. （3）若函数是“超加性倾向函数”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$