精品解析：河北省廊坊市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷

廊坊市2024～2025学年度第一学期期末考试 高一数学试卷 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不能答在本试卷上，否则无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在非答题区域无效． 4．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，，则 3. 已知扇形面积为，半径为1，则此扇形的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点是角终边上一点，且，则值为（ ） A. ±2 B. 2 C. D. 6. 函数在上有解的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若方程有两个不同的实数解，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若幂函数的图象经过点，则 B. 命题“，”的否定是“，” C. 若不等式的解集为，则 D. 函数的单调递减区间为 10. 亚马逊大潮是世界潮涌之最，当潮涌出现时，其景、其情、其声，真是“壮观天下无”，在客观现实世界中，潮汐的周期性变化现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型来研究．已知函数的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数的一个对称中心为 C. 若函数在上的两个零点为，，则 D. 若将函数图象上的所有点向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，则m的最小值为 11. 设函数，其中表示x，y，z中的居中者，下列说法正确的有（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 的值域为 C. 为偶函数 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. _____． 13. 函数（，且）的图象恒过定点，若点在函数（，且）的图象上，则的最小值为_____． 14. 颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治七年，这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用．悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则m的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，． （1）分别求，； （2）已知，若，求实数a取值范围． 16. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且图象过点和，当时，． （1）求的值： （2）求在上的解析式 （3）解不等式． 18. 已知． （1）求最小正周期； （2）若，试求函数的单调递减区间； （3）若恒成立，试求实数m的取值范围． 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知定义在上的函数的图象关于点对称． （1）求的值； （2）设函数． ①证明函数的图象关于点对称； ②用定义证明在区间上单调递增，并求在上的值域； ③在题干条件下，当时，，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 廊坊市2024～2025学年度第一学期期末考试 高一数学试卷 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不能答在本试卷上，否则无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在非答题区域无效． 4．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义可求交集. 【详解】由题设可得， 故选：A. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】利用反例可判断BDC的正误，根据不等式的性质可判断AC的正误. 【详解】对于A，取，则，若，则， 故若，则，故成立，故A正确； 对于B，取，则成立，但， 故B错误； 对于C，取，则成立，但 ， 故C错误； 对于D，取，则，， 但，故D错误； 故选：A. 3. 已知扇形面积为，半径为1，则此扇形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】算出弧长后可求周长. 【详解】设扇形的弧长为，则，故，故此扇形的周长为， 故选：C. 4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得三者的大小关系，故可得正确的选项. 【详解】，，， 故， 故选：D 5. 已知点是角终边上一点，且，则的值为（ ） A. ±2 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义可求的值. 【详解】因为，故，故（负值舍去）， 故选：C. 6. 函数在上有解的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】参变分离可得在上有解，利用基本不等式求出，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】由在上有解， 即在上有解， 又，当且仅当，即时取等号， 所以； 因为真包含于， 结合选项可知函数在上有解的一个充分不必要条件是. 故选：B 7. 已知函数，若方程有两个不同的实数解，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为以与的图象有两个交点，从而结合图象即可得解. 【详解】因为方程有2个实数解，所以与的图象有两个交点， 因为， 所以作出与的大致图象，如图， 由图像可得或， 故选：D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性可取不等式的解. 【详解】因为，且，都有成立， 故在上为增函数，而为上的偶函数， 故，故为上的奇函数， 故在上为单调增函数， 当时，原不等式即为， 故，解得； 当时，原不等式即为， 故，解得， 综上原不等式的解为：， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若幂函数的图象经过点，则 B. 命题“，”的否定是“，” C. 若不等式的解集为，则 D. 函数的单调递减区间为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出幂函数的的解析式可判断A；根据存在命题的否命题是全称命题可判断B；利用韦达定理可判断C；利用复合函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，设，若幂函数的图象经过点，则， 可得，所以，则，故A正确； 对于B，命题“，”的否定是“，”， 故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则 是方程的两个根，且，所以， 解得，所以，故C正确； 对于D， 由得，则函数的定义域为， 因为在单调递增，在上单调递减， 所以单调递减区间为，故D错误. 故选：ABC. 10. 亚马逊大潮是世界潮涌之最，当潮涌出现时，其景、其情、其声，真是“壮观天下无”，在客观现实世界中，潮汐的周期性变化现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型来研究．已知函数的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（ ） A B. 函数的一个对称中心为 C. 若函数在上的两个零点为，，则 D. 若将函数图象上所有点向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，则m的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用整体法结合正弦函数的性质可判断ABC的正误，求出平移后图象对应的解析式后根据图象的对称性可求参数的值，故可判断D的正误. 【详解】图象关于直线对称，故，， 故，而，故，故A正确； 所以，，函数的一个对称中心为，故B正确； 令，故，故， 令，故，故， 故两个零点分别为，，故，故C错误； 由题可知平移后函数， 则的最小值为，故D正确． 故选：ABD． 11. 设函数，其中表示x，y，z中的居中者，下列说法正确的有（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 的值域为 C. 为偶函数 D. 在上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】先画出的图象，依据图象逐项判断后可得正确的选项. 【详解】，故为的偶函数，故C正确； 当时，，故， 当时，，故， 当时，，故， 故的图象如图所示， 对于A，由图可得有最小值，无最大值，故A错误； 对于B，的值域为，故B正确； 对于D，由图可得在上单调递增， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂和对数的运算性质可求代数式的值. 【详解】原式， 故答案为： 13. 函数（，且）的图象恒过定点，若点在函数（，且）的图象上，则的最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据对数函数的性质求出点坐标，从而得到，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】对于函数（，且），令，即， 此时， 即函数（，且）的图象恒过定点， 则（，且）， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为：. 14. 颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治七年，这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用．悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的奇偶性和单调性可求不等式的解. 【详解】由题设有，的定义域为， 而，故为上的奇函数， 又，而在上为增函数且， 故为上的增函数， 又等价于， 故，解得， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集为，集合，． （1）分别求，； （2）已知，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，， 则， 可得或，所以. 【小问2详解】 因为，可知，且， 可得，解得， 所以实数a的取值范围为. 16 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式将函数化简，再由诱导公式计算可得； （2）由（1）可得，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【小问1详解】 因为 ， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以 . 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且图象过点和，当时，． （1）求的值： （2）求在上的解析式 （3）解不等式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合奇函数的定义，以及图象过点和，列出方程组，求解该方程组，即可求解； （2）根据奇函数的性质可求在上的解析式； （3）先求出当时，函数的解析式，再分类讨论，即可求解． 【小问1详解】 因为的图象过点，所以.① 因为是奇函数，且的图象过点， 所以的图象过点， 则.② 联立①②，解得. 【小问2详解】 由（1）知，时，， 当时，，则. 因为是奇函数，所以，则. 而当时，， 故. 【小问3详解】 当时，，即，解得； 当时，，即，解得. 当时，，符合题意， 综上，不等式的解集是. 18. 已知． （1）求的最小正周期； （2）若，试求函数的单调递减区间； （3）若恒成立，试求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）将函数转化为，利用周期公式求解； （2）由（1）得到，再利用正弦函数的性质求解； （3）将恒成立，转化为求解. 【小问1详解】 ∵ ， ∴的周期． 【小问2详解】 由（1），知， ， 由，， 解得，， ∴函数的单调递减区间，． 【小问3详解】 ∵， ， ∴当时，， ∵恒成立，等价于， ∴，即，解得， ∴实数的取值范围为． 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知定义在上的函数的图象关于点对称． （1）求的值； （2）设函数． ①证明函数的图象关于点对称； ②用定义证明在区间上单调递增，并求在上的值域； ③在题干条件下，当时，，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析，；③ 【解析】 【分析】（1）根据函数的对称性计算可得； （2）①根据对称性的定义证明即可；②利用单调性定义证明，再根据所得单调性结合定义域求值域即可；③记在区间上的值域为，则.由此问题转化为讨论的值域，分，，三种情况讨论即可. 【小问1详解】 因为的图象关于点对称， 所以， 令，得. 【小问2详解】 ①函数的定义域为， 又，则 ， 所以的对称中心为； ②任取，且， 则， 所以且， 所以，即， 所以在上单调递增. 所以在上单调递增，又， 所以在上的值域为. ③由于对任意，总存在，使得成立， 于是问题转化为在上的值域是在上的值域的子集， 记在区间上的值域为，则 因为图象关于点对称，当时，， 当时，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增， ∴在上单调递增， 只需即可，得，∴满足题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，在上单调递减， ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴或， 当时，，， ∴满足题意； 当时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，∴在上单调递减， 只需即可，得，∴满足题意. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是求出两函数的值域，再利用两函数值域的包含关系即可得到不等式组，解出即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$