精品解析：江苏省淮安市2024-2025学年高二上学期1月调研测试数学试题

2024—2025学年度第一学期期末高二调研测试 数学试题 2025.01 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只要将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l经过两点，，则直线l的斜率是（ ） A. 2 B. C. D. －2 2. 已知等比数列的公比为2，且前n项和为，，则（ ） A. 15 B. 31 C. 63 D. 127 3. 已知函数在处可导，且，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 4. 《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共6升，下面3节的容积共12升，则第5节的容积为（ ）升. A 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 6. 已知，是双曲线C：的左右焦点，过与双曲线实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若是正三角形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 数列满足，，数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某物体运动的位移方程为（ ） A. 该物体位移的最大值为100 B. 该物体在内的平均速度为15 C. 该物体在时的瞬时速度是32 D. 该物体的速度ν和时间t时的关系式是 10. 已知各项均为正数的等比数列的公比为q，，，则（ ） A. B. C. D. 数列的前n项和为 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于，两点，直线交抛物线的准线于点C，设抛物线在点A处的切线为l，且l与x轴的交点为D，则（ ） A. B. C. 四边形为梯形 D. 的面积是的面积的2倍 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两条直线：，：，且，则______. 13. 已知函数，则的单调递增区间为______. 14. 已知A，B分别是椭圆C：的左右顶点，点Q是椭圆C上异于A，B的一点，在中，，，则椭圆C的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知各项为正数的等差数列满足，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，，问：数列的前50项中哪些项在等比数列中？ 16. 已知的三个顶点为，，，记外接圆为圆M. （1）求圆M的方程； （2）过点C且斜率为k的直线l与圆M交于另一点D，且，求直线l的方程. 17. 拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础.其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得.已知函数，数列满足，且. （1）求，； （2）证明：数列等比数列； （3）若数列的前n和为，且设，问：是否存在实数p，q，使得对任意，总有成立？ 18. 在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. （1）求曲线C方程； （2）若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； （3）过点A作x轴平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 19. 已知函数在点处切线方程为. （1）求实数a的值； （2）若不等式对恒成立，求实数m的取值范围； （3）对，关于x的方程总有两个不等的实数根，，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末高二调研测试 数学试题 2025.01 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只要将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l经过两点，，则直线l的斜率是（ ） A. 2 B. C. D. －2 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线斜率公式直接进行求解即可. 【详解】因为直线l经过两点，， 所以直线l的斜率是， 故选：C 2. 已知等比数列的公比为2，且前n项和为，，则（ ） A. 15 B. 31 C. 63 D. 127 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的求和公式得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 3. 已知函数在处可导，且，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义进行求解即可. 【详解】由， 故选：B 4. 《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共6升，下面3节的容积共12升，则第5节的容积为（ ）升. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】该等差数列为，公差为，由题意，结合等差数列下标之和的性质，即可求解. 【详解】记该等差数列为，公差为， 由题意可得，，， 因此，解得， 即第5节的容积为升. 故选：A 5. 设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在圆外可得，即可利用点到直线的距离公式求解. 【详解】点圆上，故， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相切. 故选：B 6. 已知，是双曲线C：的左右焦点，过与双曲线实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若是正三角形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的定义及正三角形，结合，即可求出得值，渐近线方程即为. 【详解】如图， 因为是正三角形， 由双曲线的对称性及定义可知，， 所以，即，解得， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：C 7. 数列满足，，数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用累乘法求出通项公式，再由错位相减法求和即可. 【详解】由可得， 累乘可得， 即，所以，也符合该式，故. 所以，① ，② ①②可得， 因此，. 故选：D 8. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】我们可以通过构造函数，利用函数的单调性和极值来确定方程有两个不相等实数根时的取值范围. 【详解】设，对求导，可得. 令，即，得到，设与交点横坐标为. 当时，，在上单调递增. 当时，，在上单调递减. 因为方程有两个不相等的实数根，所以的最大值. 由可得，即. 而. 设，显然在上单调递增，且，所以. 又因为，当时，. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某物体运动的位移方程为（ ） A. 该物体位移的最大值为100 B. 该物体在内的平均速度为15 C. 该物体在时的瞬时速度是32 D. 该物体的速度ν和时间t时的关系式是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据单调递增，求出最大值，判断A错；由计算，判断B正确；对函数求导，求，可判断C错；位移的导数即是速度，可判断D正确. 【详解】因为在上单调递增，所以，故A错； 该物体在内的平均速度为，故B正确； 又，则该物体在时的瞬时速度是，故C错； 该物体的速度和时间时的关系式是，故D正确； 故选：BD 10. 已知各项均为正数的等比数列的公比为q，，，则（ ） A. B. C. D. 数列的前n项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式，对数的运算性质、等差数列的定义和前项和公式逐一判断即可. 【详解】A：由，， 因为各项均为正数的等比数列的公比为q，所以， 于是由，，或， 当时，， 当时，不符合题意，因此本选项正确； B：因为，所以本选项正确； C：，， 所以，因此本选项不正确； D：，显然数列是等差数列， 因此数列的前n项和为，所以本选项正确， 故选：ABD 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于，两点，直线交抛物线的准线于点C，设抛物线在点A处的切线为l，且l与x轴的交点为D，则（ ） A. B. C. 四边形为梯形 D. 的面积是的面积的2倍 【答案】BCD 【解析】 【分析】设直线的方程为，进而联立方程即可证明，可得点坐标可判断A，B，C；求出直线的方程，由，可证为的中点，可判断D. 【详解】由抛物线，焦点为， 设直线的方程为， 联立得， 所以， B正确； 由于，直线方程为，则点，A错误； 由，所以，则轴，由， 所以四边形为梯形，C正确； 由于，所以直线的方程为， 则点，由上可得， 所以，为的中点， 设点到直线的距离，点到直线的距离，则, 所以，D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两条直线：，：，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据互相垂直的两直线的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 13. 已知函数，则的单调递增区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，令导函数大于零求解即可. 【详解】由题意， 由得， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 14. 已知A，B分别是椭圆C：的左右顶点，点Q是椭圆C上异于A，B的一点，在中，，，则椭圆C的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先设边长，再应用余弦定理得出，再结合角度得出点，最后应用点在椭圆上计算即可求出离心率. 【详解】依题意，， 设，则由，得， 因为中，，所以， 计算得， 过点作，因为，所以， 所以，点在椭圆上可得， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知各项为正数等差数列满足，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，，问：数列的前50项中哪些项在等比数列中？ 【答案】（1）或 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程求出公差即可得出通项公式； （2）分别求出的通项公式，根据通项公式即可确定答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以，解得或， 当时，， 当时，. 【小问2详解】 设等比数列的公比为 当时，由，， 可知等比数列的通项公式为， 所以数列的前50项都在数列中； 当时，，， 所以， 故，， ， 所以数列前50项有5项，分别是第1,2,5,14,41项，在等比数列中. 16. 已知的三个顶点为，，，记外接圆为圆M. （1）求圆M的方程； （2）过点C且斜率为k的直线l与圆M交于另一点D，且，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 设圆M的方程为， 把的三个顶点的坐标代入方程中， 得 【小问2详解】 由圆M的方程， 因此有，过M作直线l的垂线，垂足为， 设直线l的方程为， 因此， 由圆的垂径定理可知： 化简，得，或， 分别代入直线l的方程，得，或 所以直线l的方程为或. 17. 拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础.其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得.已知函数，数列满足，且. （1）求，； （2）证明：数列为等比数列； （3）若数列的前n和为，且设，问：是否存在实数p，q，使得对任意，总有成立？ 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出，化简，可得，从而求解，； （2）由，可得证； （3）先求出，利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 根据题意，函数，则， 由，可得， 即， 化简为， 由，所以； 【小问2详解】 由，可得， 即，所以数列为首项为3，公比为3的等比数列； 【小问3详解】 由（2）可得，则， 所以， 则 ， 所以存在实数，满足题意. 【点睛】数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和. 18. 在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. （1）求曲线C的方程； （2）若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； （3）过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义，以及题中条件，即可得出双曲线的方程； （2）设，，先由题中条件，得到直线斜率为正，设直线的方程为：，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，以及，列出方程组求解即可； （3）同（2）设，，直线的方程为：，得，；直线的方程为；写出直线的方程，进而求出点横坐标，得出点坐标，求出直线的方程与联立，即可求出点横坐标，从而证明结论成立. 【小问1详解】 因为， 所以点P的轨迹是以,为焦点的双曲线，且焦距为，实轴长为， 所以，，则， 因此双曲线C的方程为； 【小问2详解】 设，，则，， 因为点A在x轴上方，且，所以易知直线的斜率存在，且斜率大于零， 因此可设直线的方程为：， 由得，即， 所以①，②，， 又，所以③ 由①③得代入②可得，即，解得(负值舍去)， 因此直线的方程为：，即； 【小问3详解】 同（2）设，，直线的方程为：， 则，； 因为直线m过点A与x轴平行，所以直线的方程为； 又，则直线的方程为， 由得， 则，所以， 即, 所以， 因此直线的方程为：， 因为点Q是直线l与直线的交点， 由得，解得， 所以点Q的横坐标是，因此点Q恒在定直线上. 【点睛】关键点点睛：求解本题第三问的关键在于，利用（2）中直线与双曲线联立后所得根与系数关系，结合题中条件，表示出的方程，再由直线l与直线的方程联立，即可求解. 19. 已知函数在点处的切线方程为. （1）求实数a的值； （2）若不等式对恒成立，求实数m的取值范围； （3）对，关于x的方程总有两个不等的实数根，，求证：. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导得，再根据切线方程得到，解出即可； （2）当，，当时，分离参数得，再设新函数，求出其最大值即可； （3）求出的最大值点和与轴交点，再求出两点连线所在直线方程，求出，，再代入计算即可. 【小问1详解】 因为函数在点处的切线方程为， ，所以，得. 【小问2详解】 因为对恒成立， 当时，， 当时，等价于恒成立 令，得， 令， 得，则在区间上单调递增． 则，即在区间上恒成立， 所以在区间上单调递减，所以， 所以数的取值范围为. 【小问3详解】 因在区间单调递增，在单调递减， 最大值为，记最大值点为， 函数与轴的交点记为点． 因为直线， 由（2）知在区间上， 又因为直线， 又当在区间上时，， 又与直线交点横坐标记为， 直线直线交点横坐标记为， 所以 . 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用分离参数法得到，再设新函数，利用多次求出其最大值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $