精品解析：广东省汕尾市2024-2025学年高一上学期教学质量监测数学试题

汕尾市2024—2025学年度第一学期高中一年级教学质量监测 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】由倒数定义易判断A正确；通过举反例即可逐一排除B，C，D项. 【详解】对于A，由可知均不为0，故，即A正确； 对于B，由可得或，故B错误； 对于C， 由，若取，则没有意义，故C错误； 对于D，由，若取，则，故D错误. 故选：A. 2. 下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 为奇数 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数的定义即可求解. 【详解】函数定义域为. 对A，，所以与不是同一函数，故A错误. 对B，定义域为，所以与不是同一函数，故B错误. 对C，定义域为，所以与不是同一函数，故C错误. 对D，为奇数,则，且定义域为. 所以与为奇数,是同一函数，故D正确. 故选：D. 3. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次方程和根式方程求得集合，再求并集即得. 【详解】由可得或，则； 由可得：，解得，即， 故. 故选：B. 4. 老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”， 但“做难题”一定可以推出“做容易题”， 故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件， 故选：B. 5. 下列函数中，其函数的定义域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次函数在是时恒大于等于的条件判断即可. 【详解】由恒成立的条件可知，只需满足且即可； 对于A，B选项根号里的二次函数开口向下，不满足题意，故 AB错误； C选项根号里的二次函数，满足题意，故C正确； D选项根号里的二次函数，不满足题意，故D错误. 故选：C 6. 定义在区间上的函数的图象如下图所示，则的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用中心对称得到的图象，再进行平移变换，即得的图象. 【详解】先把函数的图象关于原点对称，可得函数的图象， 再将其向右平移4个单位长度，即得函数的图象. 故选：B. 7. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由题意得，进而求得即可求解. 【详解】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故选：D. 8. 函数与的图象关于轴对称，且，下列判断正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 的图象关于点对称 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数图象关于y轴对称求出表达式，再根据与的关系判断的性质. 【详解】对于A，因为与的图象关于轴对称，对于函数， 那么，所以A选项错误， 对于B，，定义域为R， ，所以是奇函数，B选项错误， 对于C，因为，即， 令，则，所以， 展开整理，则， ，且， 所以既不是奇函数也不是偶函数，C选项错误， 对于D，因为， 可以看作向左平移2个单位，再向上平移16个单位得到， 逆向推得，向右平移2个单位，再向下平移16个单位得到， 且前面分析知道是奇函数，图象关于原点对称， 则的图象关于点对称，D选项正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键在于，利用图象的平移，结合奇函数的性质即可得解. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据指数运算的公式直接计算即可. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：CD 10. 已知函数且的定义域为，当时，有，则实数的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域求出的范围，利用复合函数的单调性再求出的另一个范围，结合选项即可求解. 【详解】由题意知，，则， 又且，故解得且； 令，其图象为一条开口向上的抛物线，对称轴为， 所以在上单调递减， 又时，，即在上单调递减， 所以函数为增函数，则， 所以实数的取值范围为. 故选：AB 11. 已知是函数的一个零点，若，都有，则（ ） A. B. C. 有最大值 D. 是奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断A；令，得，进而求得；构造函数可排除C，设，则，令即可证明函数是奇函数. 【详解】由题意，，令，则，解得， 对于A，令，则，解得， 令，则，解得，故A正确； 对于B，令，则， 则，故B正确； 对于C，设函数， 此时，，符合题意； 此时，的值域为，则无最大值，故C错误； 对于D，设， 因为，有， 即，有， 所以，有， 令，则，所以函数是奇函数， 即函数是奇函数，故D正确； 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数为偶函数，则实数__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用偶函数定义，展开利用对应系数相等即可求解. 【详解】由题意可知 即， 展开可得， 即对于都成立， 所以，即. 故答案为：2 13. 已知表示不超过的最大整数，如.若，则所有可能的值组成的集合为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数性质求得，从而利用新定义求出所有可能的值，即可得解. 【详解】因为，所以，由的定义知所有可能的值为， 所以所有可能的值组成的集合为. 故答案为： 14. 若函数的图象关于直线对称，则__________，的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出函数的零点，由对称性可得零点关于对称，由此求出，进而验证即得答案；再变形函数，结合二次函数求出最小值. 【详解】由，得， 由的图象关于直线对称，得必为方程的二根， 则，即， 此时， ， 因此函数的图象关于直线对称，； ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：14； 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到方程有两个根，利用对称性求得方程对应的两个根. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算的值，其中为第二象限角. 【答案】0 【解析】 【分析】先用诱导公式化简，再考虑根式内分式的化简，方法一是考虑上下同乘分母，利用同角三角函数关系式，结合角的象限化简求值；而方法二是考虑上下同乘分子，利用同角三角函数关系式，结合角的象限化简求值. 【详解】（方法一）解：原式 ， 第二象限角，， 原式 . （方法二）原式 ， 为第二象限角，， 原式 . 16. 设集合，若，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意就判别式的正负分情况依次求解. 【详解】，由题设可得为的子集. 当时，解得. 当时， 若，即时， 此时的解为， 即，符合题意 若，即时， ①，即时，此时， 即，解得，即，不符合题意. ②，即时，由此时集合. 则，解得， 与矛盾，不符合题意. 综上所述，实数取值范围为. 17. 在徐州市云龙湖东岸，云龙山西麓，有一座为纪念陶谦爱民让贤以及学习刘备谦虚行的优良品德而建的三让亭（如图1）.三让亭沿山坡建有六十三级台阶，阶分三层，寓意陶谦六十三岁前三次让贤，刘备接任徐州牧.三让亭亭体呈等边三角形，由三根亭柱支撑三角形亭盖，飞檐斗拱，风格独特，打破国内传统建筑“天圆地方”的惯例，实属少见.从三让亭的建筑结构中，我们可以联想到数学知识.假设将三让亭简化为平面图形，且记是边长为2的正三角形，的顶角在坐标原点处，轴，如图2所示.现有来自汕尾的四位同学来到三让亭开展游学活动，旨在学习和传承祖国的优良传统文化.两人在位置观景，且分别只在边上移动，.另外两人在亭外位置观景，其中为的中点，其中，且.设为的面积，点的横坐标为. （1）求关于的函数解析式； （2）求函数的最大值，并求出取最大值时点的坐标. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）依题意，结合图形可求得和以及，即可代入三角形面积公式，从而确定； （2）先对进行配方，根据分类求解，并求出点的坐标即可. 【小问1详解】 是边长为2的正三角形，且轴，. 点的横坐标为，， 为的中点，， 又， . 【小问2详解】 由（1）知， ① 当，即时， 在处取得最大值为，此时； ② 当，即，又，故时， 在处取得最大值为，此时； ③ 当时，，与矛盾，此情况不成立. 综上可得：当时，，此时； 当时，，此时. 18. 已知是定义在上的奇函数，. （1）求的值及的定义域； （2）若，求的取值范围； （3）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用求得，，再用奇偶性定义检验，代入即可求出函数的定义域； （2）利用（1）已得，代入不等式，利用对数函数的单调性即可求出的取值范围； （3）将函数的解析式化简整理成，令，故，令，判断其单调性得，即得，从而有，利用对数函数单调性即得的取值范围. 【小问1详解】 为上的奇函数，故解得， 又，解得， 当，时，， 由可得：是奇函数. 此时，由，得， 故的定义域为. 【小问2详解】 由可得，，故， 即，故的取值范围是. 【小问3详解】 由的解析式可知，故， 令，故，令， 不妨设，则 ， 故，所以在上单调递增， 故， ， 故，解得. 即的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用函数的奇偶性确定函数解析式以及恒成立问题，属于较难题. 解题的关键在于根据函数奇偶性，取特值代入确定参数值后必须利用奇偶性定义进行检验；对于恒成立问题，一般是将待求参数分离到不等式的一边，将问题转化成求另一边函数的值域来解决. 19. 已知函数，其中，且，，且，总有. （1）若恒成立，则称函数具有性质.试判断函数是否具有性质； （2）判断的单调性，并加以证明； （3）若对任意的恒成立，，求实数的取值范围. 【答案】（1）具有性质 （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合基本不等式，利用函数新定义判断即可； （2）先利用奇函数的定义判断函数为奇函数，然后利用单调性的定义证明即可； （3）结合奇函数性质和单调性求出最小值，从而将问题转化为对任意恒成立，利用一次型恒成立法则列不等式组求解即可. 【小问1详解】 因为，所以）， . 因为，且，所以，由基本不等式可知，， 所以， 所以对任意的成立，即函数具有性质. 【小问2详解】 由题意知 当时，； 当时，则，有； 当时，则，有. 综上所述，是定义域为的奇函数. ，且，则有. ， 由已知得， 所以，故在上单调递增. 【小问3详解】 由题意知对任意恒成立， 由（2）知，在上单调递增且为奇函数，则， 即有对任意恒成立， 故有解得， 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 汕尾市2024—2025学年度第一学期高中一年级教学质量监测 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 2. 下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 为奇数 3 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列函数中，其函数的定义域为的是（ ） A. B. C. D. 6. 定义在区间上的函数的图象如下图所示，则的图象为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数与的图象关于轴对称，且，下列判断正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 的图象关于点对称 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数且的定义域为，当时，有，则实数的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知是函数的一个零点，若，都有，则（ ） A B. C. 有最大值 D. 是奇函数 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数为偶函数，则实数__________. 13. 已知表示不超过的最大整数，如.若，则所有可能的值组成的集合为______. 14. 若函数图象关于直线对称，则__________，的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算的值，其中为第二象限角. 16. 设集合，若，求实数的取值范围. 17. 在徐州市云龙湖东岸，云龙山西麓，有一座为纪念陶谦爱民让贤以及学习刘备谦虚行的优良品德而建的三让亭（如图1）.三让亭沿山坡建有六十三级台阶，阶分三层，寓意陶谦六十三岁前三次让贤，刘备接任徐州牧.三让亭亭体呈等边三角形，由三根亭柱支撑三角形亭盖，飞檐斗拱，风格独特，打破国内传统建筑“天圆地方”的惯例，实属少见.从三让亭的建筑结构中，我们可以联想到数学知识.假设将三让亭简化为平面图形，且记是边长为2的正三角形，的顶角在坐标原点处，轴，如图2所示.现有来自汕尾的四位同学来到三让亭开展游学活动，旨在学习和传承祖国的优良传统文化.两人在位置观景，且分别只在边上移动，.另外两人在亭外位置观景，其中为的中点，其中，且.设为的面积，点的横坐标为. （1）求关于函数解析式； （2）求函数的最大值，并求出取最大值时点的坐标. 18. 已知是定义在上的奇函数，. （1）求的值及的定义域； （2）若，求的取值范围； （3）若恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数，其中，且，，且，总有. （1）若恒成立，则称函数具有性质.试判断函数是否具有性质； （2）判断的单调性，并加以证明； （3）若对任意的恒成立，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$