精品解析：湖南省岳阳市2024-2025学年上学九年级数学期1月期末测试卷

2024年下期期末教学质量监测九年级数学试卷 温馨提示： 1.本试卷共3道大题，26小题，满分120分，考试时量120分钟； 2.本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内； 3.考试结束后，考生不得将答题卡带出考场． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，下列结论中，正确的是（） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 如右图，中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若点在双曲线上，则该双曲线还经过下列各点中（ ） A. B. C. D. 5. “菜篮子”事关民生工程，是建设和谐社会的标准之一．某数学活动小组对甲、乙、丙、丁四个菜市场冬季的相同品质的白菜价进行调查．四个菜市冬季白菜的平均价与方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均价（元） 方差（元） 根据统计结果，若你推荐王阿姨去购买白菜，选择哪个菜市场比较合适．（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系内，的顶点分别为，，，以点为位似中心，在第一象限作与位似，如图，位似比为，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，仓库要将货物从地面处传送到离地面高的处，若传送带和水平地面所成斜坡的坡度，则货物在传送带上运动的路程是多少？（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的中位线，与交于点．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，若点满足，则称点P为“二倍点”，像点、、…，均为“二倍点”，若抛物线上有且只有一个“二倍点”，则该抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 反比例函数图象如图，则k的取值范围是______． 12. 小明解方程时得出解，他遗漏的解是______． 13. 设，是二次方程的两个根，则______． 14. 如图，直线过点，且，则______． 15. 若，，的周长为，则的周长为______． 16. “洞庭天下水，岳阳龙虾美”．洞庭湖区某龙虾养殖专业户为了估计池塘里龙虾的数目，第一次捕捞了只虾，将这些虾都做上标记后放回池塘．几天后，第二次捕捞了只虾，发现其中有只虾身上有标记，由此可估计该池塘里约有______只龙虾． 17. 在矩形中，，，如图，以点D为圆心，以合适的长为半径作弧，分别交边，对角线于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．则的值为______． 18. 已知在第二象限，连接、交于点P，双曲线经过点P，交直线于点D，如图，若的周长为40，平分，．在下列结论中： ①是菱形；②；③；④点D的坐标为，⑤．其中正确的结论有______． 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19. 计算：． 20. 如图，直线和双曲线的交于点、． （1）求双曲线的函数表达式； （2）求B的坐标． 21. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是______，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中______，选项“较多”对应的圆心角是______°； （3）若该校共2500名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 22. 某小区计划在一块矩形空地上修两条宽度相同且相互垂直的小路，小路两侧空余部分种花，如图，若矩形长为，宽为，种花的总面积为． （1）求道路宽度； （2）园林部门要种植甲、乙两种花共株，其中甲种花每株元，乙种花每株元，园林部门采购花的费用不超过元，则最多购进甲种花多少株？ 23. 如图，在中，，点为边上一点，点为边上一点，______．请从“；，”三个关系式中任选一组作为已知条件，将其序号填在横线上，再解决下列问题： （1）求证：； （2）若，，，求的长． 24. 某校数学活动小组在老师指导下，进行了一次项目式学习： 项目主题 测量观光塔的高度 参与人员 数学活动小组成员 测量工具 皮尺、测角仪、计算器 数据记录 测量方案设计图 活动过程 步骤1 从B点测得塔顶N的仰角 步骤2 从B点后退到C点（M、B、C共线） 步骤3 从C点测得塔顶N的仰角 步骤4 测角仪离水平地面高度 问题解决 求观光塔的高度（运用计算器可得：，，） 25. 在平面直角坐标系内，抛物线与x轴的交点分别为、，如图． （1）求抛物线函数表达式； （2）当自变量x满足时，对应的函数值y的最大值为，求p的值． （3）动点D在第一象限的抛物线上．动点E在第四象限的抛物线上，如图，连结、，分别与y轴交于点F、G点．且点D、E在运动过程中、总是满足，探究直线能否经过某个定点，若能，请求出该定点的坐标；若不能，请说明理由． 26. 【建立模型】（1）已知中，点分别在，边上，，如图（1）．求的值． 【初步应用】（2）若内接于，边落在边上，点分别在，边上，如图（2）．若，，，求的值． 【拓展提升】（3）直线与正的边，交于点，取线段的中点，连接并延长交于点，如图（3）．若，．求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期期末教学质量监测九年级数学试卷 温馨提示： 1.本试卷共3道大题，26小题，满分120分，考试时量120分钟； 2.本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内； 3.考试结束后，考生不得将答题卡带出考场． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，下列结论中，正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质：内项之积等于外项之积，是解此题的关键．根据比例的性质分别判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴只有选项A符合题意． 故选：A． 2. 二次函数的图象的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式直接写出其对称轴即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 故选：． 3. 如右图，中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦是解题的关键．根据余弦的定义计算即可． 【详解】解：中，， ∴， 故选：D． 4. 若点在双曲线上，则该双曲线还经过下列各点中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查求反比例函数的解析式，判断点是否在反比例函数图象上，把反比例函数的解析式求出来是解题的关键． 先根据点，求出双曲线的解析式为，再根据将点的横坐标代入反比例函数，得到的结果是否等于该点的纵坐标，即可求解判断． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴，即， ∴该双曲线解析式为， ∴A．当时，，则不在该双曲线上，故本选项不符合题意； B．当时，，则在该双曲线上，故本选项符合题意； C．当时，，则不在该双曲线上，故本选项不符合题意； D．当时，，则不在该双曲线上，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. “菜篮子”事关民生工程，是建设和谐社会的标准之一．某数学活动小组对甲、乙、丙、丁四个菜市场冬季的相同品质的白菜价进行调查．四个菜市冬季白菜的平均价与方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均价（元） 方差（元） 根据统计结果，若你推荐王阿姨去购买白菜，选择哪个菜市场比较合适．（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，先通过平均数确定甲和丙，最后由方差的意义即可确定丙，解题的关键是正确理解方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中.各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：通过表格可知， 又∵， ∴选择丙菜市场比较合适， 故选：． 6. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程一直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么．根据直接开平方法的条件得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：D． 7. 在平面直角坐标系内，的顶点分别为，，，以点为位似中心，在第一象限作与位似，如图，位似比为，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据题意可得点的坐标等于点的横纵坐标，据此即可求解，掌握点的坐标的位似变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心，位似比为，， ∴点的坐标等于点的横纵坐标， ∴， 故选：． 8. 如图，仓库要将货物从地面处传送到离地面高的处，若传送带和水平地面所成斜坡的坡度，则货物在传送带上运动的路程是多少？（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角，勾股定理，首先根据坡度求出的长，再利用勾股定理求出即可得结论，掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴货物在传送带上运动的路程是， 故选：． 9. 如图，是的中位线，与交于点．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，中位线的性质，根据中位线的性质，相似三角形的判定与性质逐一判断即可，解题的关键是掌握中位线的性质和相似三角形的判断与性质． 【详解】解：、∵是的中位线， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵是的中位线， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵是的中位线， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴，原选项错误，符合题意； 故选：． 10. 在平面直角坐标系中，若点满足，则称点P为“二倍点”，像点、、…，均为“二倍点”，若抛物线上有且只有一个“二倍点”，则该抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是理解新定义，掌握二次函数的性质是解题的关键； 根据“二倍点”的定义，令化简，并根据抛物线有且只有一个“二倍点”得到判别式，再根据过点，联立方程求得a，c的值，即可求得抛物线的解析式，即可求得抛物线的顶点坐标． 【详解】解：令， 化简得， ∵抛物线上有且只有一个“二倍点”， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为． 故选：A． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 反比例函数的图象如图，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，由反比例函数图象经过第二、四象限，则，求出的取值范围即可，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，反比例函数图象经过第二、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 小明解方程时得出解，他遗漏的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 用因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， 或， ， 他遗漏的解是 故答案为： ． 13. 设，是二次方程两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是二次方程的两个根， ∴， 故答案为：． 14. 如图，直线过点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义，过作轴于点，由，则，，然后根据正切的定义即可求解，掌握三角函数的有关定义是解题的关键． 【详解】解：过作轴于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 若，，的周长为，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形周长的比等于相似比即可求解，熟练掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的周长为， ∴的周长为， 故答案为：． 16. “洞庭天下水，岳阳龙虾美”．洞庭湖区某龙虾养殖专业户为了估计池塘里龙虾数目，第一次捕捞了只虾，将这些虾都做上标记后放回池塘．几天后，第二次捕捞了只虾，发现其中有只虾身上有标记，由此可估计该池塘里约有______只龙虾． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了样本估算总体，分式方程的应用，设此该池塘里约有只龙虾，根据题意得，然后解方程并检验即可，掌握这两个知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设此该池塘里约有只龙虾， 根据题意得：， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 所以此该池塘里约有只龙虾， 故答案为：． 17. 在矩形中，，，如图，以点D为圆心，以合适的长为半径作弧，分别交边，对角线于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．则的值为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据角平分线的画法得出平分，根据矩形的四个角都是直角得出，根据特殊角的三角函数值求出，根据角平分线的定义得出，根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：根据题意可得平分， ∵四边形是矩形，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了角平分线的画法、矩形的性质、根据特殊角三角函数值求角的度数、角平分线的定义，求角的正弦值等．熟练掌握矩形的性质和根据特殊角三角函数值求角的度数是解题的关键． 18. 已知在第二象限，连接、交于点P，双曲线经过点P，交直线于点D，如图，若的周长为40，平分，．在下列结论中： ①是菱形；②；③；④点D的坐标为，⑤．其中正确的结论有______． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到菱形的性质、判定及反比例函数的性质、锐角三角函数的定义等相关知识，难度适中． 过点C作轴于点F，由平分，可证明①，由的周长为40，，可得出C点坐标，A点的坐标，B点的坐标，进而可得P点的坐标，可得②错误，③正确，④错误，⑤正确，即可得答案． 【详解】解：过点C作轴于点F， 平分， ， 中，， ， ， ， 是菱形，故①正确； 的周长为40， ， ， 。 ， ， ，故②错误； ， ， ， ， ， 是菱形， 是中点， ， ， ，故③正确； 设， ， ， ，故④错误； 作于Q， ， ，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤． 故答案为：①③⑤． 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键．根据零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 20. 如图，直线和双曲线的交于点、． （1）求双曲线的函数表达式； （2）求B的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式． （1）先把点代入求出，再把代入即可求解； （2）解法一：把点代入求解；解法二：把点代入求解 【小问1详解】 解：∵点在直线上 ∴， 解得：． 又在反比例函数图象上， ∴． ∴反比例函数为． 【小问2详解】 解法一：∵在双曲线上， ∴， ∴， ∴． 解法二：在直线上 ∴， ∴， ∴． 21. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是______，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中______，选项“较多”对应的圆心角是______°； （3）若该校共2500名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 【答案】（1）200，见解析 （2）24， （3）900名 【解析】 【分析】本题考查的是从扇形统计图与条形图中获取信息，利用样本估计总体； （1）由组数据除以其占比即可得到样本容量，再求解组人数补全条形图即可； （2）由组人数除以总人数即可得到的值，再由组占比乘以即可得到圆心角； （3）由组的占比乘以即可得到答案 【小问1详解】 解：由题意得，总人数：（名）．即样本容量为200， 选项“较多”的人数（人）； 补全图形如下： ； 【小问2详解】 解：“较少”的人数有：（人）， ∴， ∴； “较多”对应的圆心角． 【小问3详解】 解：该校“一直”对错题进行纠错解疑的学生有（名）． 答：“一直”对错题进行纠错解疑的学生共有900名． 22. 某小区计划在一块矩形空地上修两条宽度相同且相互垂直的小路，小路两侧空余部分种花，如图，若矩形长为，宽为，种花的总面积为． （1）求道路的宽度； （2）园林部门要种植甲、乙两种花共株，其中甲种花每株元，乙种花每株元，园林部门采购花的费用不超过元，则最多购进甲种花多少株？ 【答案】（1）道路宽度为； （2）最多购进甲种花株． 【解析】 【分析】（）设道路的宽度为米，由题意得，然后解方程并检验即可； （）设购进甲种花株，则购进乙种花卉株，由题意得，然后解不等式即可； 本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，读懂题意，找出数量关系，列出方程和不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设道路的宽度为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：道路的宽度为； 小问2详解】 解：设购进甲种花株，则购进乙种花株， 由题意得：， 解得：， 答：最多购进甲种花株． 23. 如图，在中，，点为边上一点，点为边上一点，______．请从“；，”三个关系式中任选一组作为已知条件，将其序号填在横线上，再解决下列问题： （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（）或，证明见解析；（）或． 【解析】 【分析】（）根据相似三角形的判定方法逐一判断即可； （）根据相似三角形的性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（）选择条件： 证明：∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴； 条件不能证明； 选择条件： 证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴． （）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 由（）知，， ∴，即， ∴或． 24. 某校数学活动小组在老师指导下，进行了一次项目式学习： 项目主题 测量观光塔的高度 参与人员 数学活动小组成员 测量工具 皮尺、测角仪、计算器 数据记录 测量方案设计图 活动过程 步骤1 从B点测得塔顶N的仰角 步骤2 从B点后退到C点（M、B、C共线） 步骤3 从C点测得塔顶N的仰角 步骤4 测角仪离水平地面的高度 问题解决 求观光塔的高度（运用计算器可得：，，） 【答案】15米 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．延长交于点E，则，先证明四边形与四边形均是矩形，可得，，设，在中，，在中，，列出方程，再求解即可． 【详解】解：延长交于点E，则， ∵，，，， ∴四边形与四边形均是矩形， ∴，， 设， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：该观光塔的高度约为15米． 25. 在平面直角坐标系内，抛物线与x轴的交点分别为、，如图． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当自变量x满足时，对应的函数值y的最大值为，求p的值． （3）动点D在第一象限的抛物线上．动点E在第四象限的抛物线上，如图，连结、，分别与y轴交于点F、G点．且点D、E在运动过程中、总是满足，探究直线能否经过某个定点，若能，请求出该定点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）7或 （3）经过定点 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合应用、二次函数的图象与性质、函数解析式，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质，学会数形结合的思想方法解决函数问题是解题的关键． （1）代入点，到抛物线，再利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质可得图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点为，再分3种情况①；②；③讨论，结合对应的函数值y的最大值为，分别求出p的值即可； （3）设点、，利用一次函数的解析式求出，同理可得，由可得，再设直线的解析式为，联立抛物线表达式可得，利用根与系数的关系可得，，代入、的关系式可得，即可求出定点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴函数图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点为， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， ①若时，即，即， 当时，y取最大值， 可得：，即， 解得：或（舍去）； ②若，即，即 当时，y取最大值， 可得：，即， 解得或（舍去）； ③若时，则，即，此时y的最大值为4， ∴不符合题意，舍去； 综上，p的值为7或． 【小问3详解】 解：设点、， 设直线的表达式为， 代入点、得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， ∴代入得，，即， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， 整理得：①， 设直线的解析式为， 当时， 即， ∵交点横坐标m、n为方程的两个实数根， ∴，， 代入①得：， 整理得：， ∴， ∴当时，， ∴直线过定点． 26. 【建立模型】（1）已知中，点分别在，边上，，如图（1）．求的值． 【初步应用】（2）若内接于，边落在边上，点分别在，边上，如图（2）．若，，，求的值． 【拓展提升】（3）直线与正的边，交于点，取线段的中点，连接并延长交于点，如图（3）．若，．求值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）首先证明，易得，进而可得，结合，即可获得答案； （2）作，交于点，首先证明四边形是平行四边形，易得，，进而证明，即可证明，由全等三角形的性质可得，结合，可知，，再证明，由相似三角形的性质证明，然后证明，由相似三角形的性质即可获得答案； （3）过点D作，交于，则，由等边三角形的性质可得也是正三角形，再证明，由相似三角形的性质可得，进而可得，即可证明，结合为的中点，易得，设，，可知，，可得，整理可得，求得即可获得答案． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）作，交于点， 在中，，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点D作，交于， 则有， ∵是正三角形，则也是正三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∴，即：， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $