精品解析：河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题

绝密★启用前 2024－2025学年（上）南阳六校高二年级期末考试 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】利用分步计数原理可得出结果. 【详解】从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人， 第一个路口有种选择，第二个路口有种选择，最后一个路口有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为种. 故选：B. 2. 已知点，直线的倾斜角为，若，则的值为（ ） A. 3 B. －1 C. 3或－1 D. 3或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系计算可得结果. 【详解】由得，或． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，的值为3或． 故选：C. 3. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性计算即可求解. 【详解】由题意得， 由正态曲线的对称性知， 所以． 故选：C 4. 已知空间中三个点，则直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出向量，利用向量夹角公式求解可得. 【详解】由已知得， 记直线与的夹角为， 则． 故选：D 5. 已知事件相互独立，与分别为的对立事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据对立事件概率公式及独立事件乘法公式求出，然后利用概率性质求解即可. 【详解】因为，所以， 因为事件相互独立，所以， 所以． 故选：D 6. 如图，在四面体中，设，为重心，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算可得结果. 【详解】 如图，连接，连接并延长交于点，则为中点，且， ∴. ∵为的中点，∴， ∴． 故选：A. 7. 过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线焦半径公式先确定点坐标，从而可得直线的方程，与抛物线方程联立求弦长. 【详解】易知的斜率存在，设， 则，得， 因为点在上，所以， 又点在第一象限，故，所以， 又，所以， 所以直线的方程为，即． 联立，得，则， 由抛物线定义，得． 故选：A 8. 盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球．设在此过程中，取到黄球的个数为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】分析的所有可能取值并计算对应的概率，根据公式计算的期望进而计算. 【详解】由题意得，的所有可能取值为， ， ， 所以的期望为， 所以． 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在（是常数）的展开式中，各项的二项式系数中只有第4项最大，且的系数为160，则（ ） A. B. C. 展开式中的常数项为240 D. 各项系数的和为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质判断A；利用二项展开式式的通项公式判断BC；利用赋值法判断D. 【详解】对于A，因为展开式中二项式系数只有第4项最大，所以展开式共有7项，则，故A正确； 对于B，展开式的通项， 令，得，因为的系数为160，所以，解得，故B错误； 对于C，令，得，所以常数项为，故C正确； 对于D，在中，令，得的展开式中各项系数的和为，故D错误． 故选：AC. 10. 已知是异于点的动点，且满足（表示斜率），动点的轨迹加上点构成曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，曲线的离心率为 B. 当时，曲线有渐近线，且渐近线方程为 C. 当时，直线被曲线所截得的弦长为 D. 当时，设点，过原点的直线与曲线交于两点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，表示，根据的取值计算曲线的方程，结合具体的曲线分析即可确定答案. 【详解】设，则． 对于A和B，由得曲线方程为：， 故曲线为双曲线，其中， ∴双曲线离心率为，渐近线方程为，即，故A，B正确. 对于C，由得曲线方程为：， 故曲线表示圆，其中圆心为，半径， ∴圆心到直线的距离， ∴直线被曲线所截得的弦长为，故C错误. 对于D，由得曲线方程为：， 故曲线表示椭圆，上、下顶点坐标分别为. ∵（是原点），，， 当直线与轴重合时取最大值2， ∴面积的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 11. 在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为棱上任意一点，则（ ） A. B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 过三点作正方体的截面，所得截面的面积为 D. 点到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据可得选项A错误；利用空间向量计算线面角可得选项B正确；由分析得过三点的截面为四边形，且四边形为等腰梯形，计算面积可得选项C正确；利用空间向量计算点到平面的距离可得选项D正确. 【详解】如图，以所在的直线分别为轴、轴，轴建立空间直角坐标系， 则． 对于A，设，则， 因为，所以与不一定垂直，故A错误. 对于B，. 设面的一个法向量为，则， 令，则，故， 设直线与平面所成的角为，则，故B正确. 对于C，由得，故， 连接，可得过三点的截面为四边形， 其中，故四边形为等腰梯形， 因为等腰梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为，故C正确. 对于D，， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 所以点到平面的距离，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据组合数的性质计算可得结果. 【详解】由题意得，且，解得， ∵，∴或， 解得（舍去）或． 故答案为：2. 13. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点在上，，且的面积为，则的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】在 中，利用余弦定理求得，再借助的面积为和双曲线的定义，得到，从而求得离心率. 【详解】解析 如图，在中，因为， 所以由余弦定理得， 可化为． 因为的面积为， 所以， 得①，又由双曲线的定义知②， 把①②代入（）式，化简整理可得，所以离心率． 故答案为： 14. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时，________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据二项分布的期望和方差公式求出，再利用不等式法求概率的最大值. 【详解】依题意，得解得， 故，所以． 当最大时， 即 即整理得 解得，而，因此． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆过点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线过点且与圆相切，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）圆心在直线和线段的中垂线上，求出即可得解； （2）根据圆心到切线的距离等于半径求切线方程. 【小问1详解】 因为点， 所以线段的中点为， 所以的中垂线方程为． 联立得，故圆的圆心为点， 又圆的半径， 所以所求圆的方程为． 【小问2详解】 由题意及（1）知，圆的圆心为，半径为，直线过点． ①若的斜率不存在，则的方程为，此时，圆心到的距离为3，符合题意； ②若的斜率存在，设的方程为，即， 因为与圆相切，所以，解得， 此时，的方程为． 综上，的方程为或． 16. 某工厂有甲，乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一，二道加工工序合格的概率分别为． （1）对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检，若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率． （2）甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元．由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以每个零件获利的数学期望为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间． 【答案】（1）0.79 （2）应扩建甲车间 【解析】 分析】（1）根据相互独立事件、条件概率、全概率公式计算可得； （2）分别求出甲、乙车间占个零件获利的数学期望，比较即可得解. 【小问1详解】 用事件表示“抽取的零件来自甲车间”，用事件表示“抽取的零件来自乙车间”， 用事件表示“抽取的零件可以出厂销售”， 则， ． ． 【小问2详解】 甲车间加工的每个零件可以出厂销售的概率为0.81， 甲车间加工的每个零件获利的期望为（元）， 乙车间加工的每个零件可以出厂销售的概率为0.76， 乙车间加工的每个零件获利的期望为（元）， 因为，所以应扩建甲车间． 17. 某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答． （1）若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率； （2）若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件表示“甲第一次从A箱中抽到代数题”，事件表示“甲第二次从A箱中抽到几何题”，根据可得结果. （2）针对乙同学在A箱中选择的题目进行分类，结合全概率公式计算可得结果. 【小问1详解】 设事件表示“甲第一次从A箱中抽到代数题”，事件表示“甲第二次从A箱中抽到几何题”， 则． 在发生的条件下，A箱中还剩下3道代数题和2道几何题，所以． 故． 【小问2详解】 设事件为“丙从B箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“乙从A箱中取出2道代数题”， 事件为“乙从A箱中取出1道代数题和1道几何题”， 事件为“乙从A箱中取出2道几何题”， 则． 当发生时，B箱中有5道代数题和3道几何题，； 当发生时，B箱中有4道代数题和4道几何题，； 当发生时，B箱中有3道代数题和5道几何题，． 由全概率公式可得． 18. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，且，为的中点． （1）证明：； （2）求二面角的正弦值； （3）若点分别是直线上的动点，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据线面垂直的性质可得，结合几何关系可得，进而可得平面证明； （2）以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，再根据二面角的向量求法求解即可； （3）设，，进而可得解析式，从而根据二次函数的性质求得最值. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接． 因为为的中点，为的中点，所以． 因为底面，所以平面，又平面， 所以． 因为底面是矩形，且，所以， 又，所以，所以， 所以，所以． 又，平面，所以平面． 又平面，所以． 【小问2详解】 如图，以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则． 由题意知平面的一个法向量为． 易知， 设平面的法向量为， 则即取， 所以， 所以二面角的正弦值为． 【小问3详解】 因为点分别是直线上的动点， 设，则， 所以． 设，则， 所以，则 ， 所以当时，． 19. 已知平面内的动点到点的距离和到定直线的距离的比为，动点的轨迹为曲线． （1）求的方程． （2）过点的直线与交于不同的两点，点与点关于轴对称． （i）证明：直线过轴上一定点； （ii）记（i）中的直线所过的定点为，若在直线上的射影分别为（为不同的两点），记的面积分别为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，化简，即可求得答案； （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得； （ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再利用函数的单调性求出最大值. 【小问1详解】 依题意得， 化简整理得，所以的方程为． 【小问2详解】 （i）当的斜率不为0时，设的方程为， 则． 由得， 由，得， 则． 直线的方程为， 令，得 ， 即直线过定点． 当的斜率为0时，直线的方程为，也过点． 综上，直线过定点． （ii）方法一：由题意知的斜率存在且不为，如图． 由（i）知直线的方程为， ， ， ， 由（i）知且，可知的符号相同， 根据对称性，只需考虑的情形． 因为 又，所以，所以， 所以，所以， 故的取值范围为． 方法二：， 由（i）知， 所以． 下同方法一． 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2024－2025学年（上）南阳六校高二年级期末考试 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 已知点，直线的倾斜角为，若，则的值为（ ） A. 3 B. －1 C. 3或－1 D. 3或1 3. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84 4. 已知空间中三个点，则直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知事件相互独立，与分别为的对立事件，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四面体中，设，为重心，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（ ） A. B. 6 C. D. 8 8. 盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球．设在此过程中，取到黄球的个数为，则（ ） A 1 B. C. D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在（是常数）的展开式中，各项的二项式系数中只有第4项最大，且的系数为160，则（ ） A. B. C. 展开式中的常数项为240 D. 各项系数的和为 10. 已知是异于点的动点，且满足（表示斜率），动点的轨迹加上点构成曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，曲线的离心率为 B. 当时，曲线有渐近线，且渐近线方程为 C. 当时，直线被曲线所截得的弦长为 D. 当时，设点，过原点的直线与曲线交于两点，则面积的最大值为 11. 在棱长为2正方体中，分别为棱的中点，为棱上任意一点，则（ ） A. B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 过三点作正方体的截面，所得截面的面积为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则________． 13. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点在上，，且的面积为，则的离心率为________． 14. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆过点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线过点且与圆相切，求的方程． 16. 某工厂有甲，乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一，二道加工工序合格的概率分别为． （1）对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检，若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率． （2）甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元．由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以每个零件获利的数学期望为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间． 17. 某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答． （1）若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率； （2）若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率． 18. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，且，为的中点． （1）证明：； （2）求二面角的正弦值； （3）若点分别是直线上的动点，求的最小值． 19. 已知平面内的动点到点的距离和到定直线的距离的比为，动点的轨迹为曲线． （1）求的方程． （2）过点的直线与交于不同的两点，点与点关于轴对称． （i）证明：直线过轴上一定点； （ii）记（i）中直线所过的定点为，若在直线上的射影分别为（为不同的两点），记的面积分别为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$