精品解析：江苏省扬州市2024-2025学年高一上学期期末检测数学试卷

2024—2025学年第一学期期末检测 高一数学 2025.1 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. 不存在， C ， D. ， 2. 集合的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A B. C. D. 6. 若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 方程的实数根为 C. 在上为增函数 D. 的值域为 7. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，单位圆上的动点、同时从点出发，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度.若两点相遇时的坐标是，则此时它们可能是第（ ）次相遇. A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列三角函数值的符号为负的有（ ） A B. C. D. 10. 已知实数满足且，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则对任意实数， B. 若，则 C. 的最小值是 D. 的最小值是 11. 已知函数的图象过坐标原点，且值域为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：__. 13. 已知函数满足下列三个条件：①对任意，； ②对任意，；③的值域为， 则______.（写出满足要求的一个函数即可） 14. 已知函数，若对任意，，不等式成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 16. 在平面直角坐标系中，角以轴的正半轴为始边，它的终边与单位圆交于第四象限内的点. （1）若，求值； （2）若，求的值及点的坐标. 17. 已知定义在上函数的图象关于坐标原点对称. （1）求实数m的值； （2）判定的单调性并证明； （3）若实数满足，求的取值范围. 18. 已知用“五点法”画函数在一个周期上的图象时，列表如下： 0 0 0 0 （1）求的解析式； （2）将函数图象上所有点向右平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象. ①求在上的单调增区间； ②若关于的方程在上有四个不相等的实数根，求的值. 19. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若是“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期末检测 高一数学 2025.1 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. 不存在， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可得到答案. 【详解】全称命题的否定是特称命题 命题“，”的否定是：，. 故选：D. 2. 集合的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用真子集个数公式可求得结果. 【详解】集合的元素个数为，该集合的真子集个数为. 故选：C. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式不等式可以转化整式不等式，注意分母不为零. 【详解】因为等价于，解得：， 即：，所以不等式的解集为. 故选：C 4. 若，，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数幂与根式关系、对数的运算性质判断各项正误. 【详解】A：，对； B：，错； C、D：由对数的运算性质有、，错. 故选：A 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除两个选项，再根据上的单调性，即可得到正确答案. 【详解】因为的定义域为关于原点对称，且， 所以为偶函数，故排除C，D； 因为在均为增函数，且函数值均为正， 所以在上单调递增. 故选：B． 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性选择函数图象，考查数形结合思想的运用，求解时要注意排除法的应用. 6. 若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 方程的实数根为 C. 在上为增函数 D. 的值域为 【答案】B 【解析】 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可. 【详解】设，代入点可得，所以， 所以，因为，所以，即函数的定义域为， 对于A：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是为偶函数也不是奇函数，故A错误； 对于B：令，所以，解得，故B正确； 对于C，因为，因为，所以在上为减函数，故C错误； 对于D：因为，所以，所以， 的值域为，故D错误. 故选：B. 7. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先指对互化，求，再将表示为对数形式，再结合函数的单调性，比较大小. 【详解】，，， ，， 所以. 故选：C 8. 在平面直角坐标系中，单位圆上的动点、同时从点出发，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度.若两点相遇时的坐标是，则此时它们可能是第（ ）次相遇. A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设，经过秒相遇，有，且，得，再由且，即，结合各选项判断是否满足即可. 【详解】由题设，两点相遇时的坐标是，则分别最少旋转了、， 经过秒相遇，有，且， 则，所以， 要使相遇，则且，即， 若，则，此时，A错； 若，则，此时，B对； 若，则，此时，C错； 若，则，此时，D错； 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列三角函数值的符号为负的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据角所在的象限，确定三角函数值的正负. 【详解】A.角的终边在第四象限，所以，故A正确； B.的角的终边在第二象限，所以，故B错误； C.弧度的角的终边在第二象限，所以，故C正确； D.的角的终边在第三象限，所以，故D错误. 故选：AC 10. 已知实数满足且，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则对任意实数， B. 若，则 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用特殊值判断A；作差法判断B；应用基本不等式“1”的代换求最小值判断C；由且求最小值判断D. 【详解】A：当，此时，错； B：由，则，即，对； C：， 当且仅当时取等号，对； D：由，则，故， 当时，取得最小值，对； 故选：BCD 11. 已知函数的图象过坐标原点，且值域为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数过原点求出，又因为值域为，求出，A正确；利用函数的单调性判断B选项；利用不等式性质得到C选项正确；再利用换元法将函数转化为二次函数，即可求得的取值范围得到D选项正确. 【详解】对于选项A:因为函数过坐标原点，所以，即.因为函数的值域为，即在处取得最大值， 所以函数在区间上单调递增，在上单调递减；当x趋于无穷大时，趋于0，趋于，即，即，故A正确； 对于选项B:因为，又函数在上单调递减，所以，即，故B错误； 对于选项C：当时，， ,故C正确； 对于选项D:令，，当时，取最小值，当或时，值为0，所以方程有实数根，则实数的取值范围为，故D正确； 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：__. 【答案】3； 【解析】 【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解即可. 【详解】， 故答案为：3. 【点睛】本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题. 13 已知函数满足下列三个条件：①对任意，； ②对任意，；③的值域为， 则______.（写出满足要求的一个函数即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】首先确定三个条件的意义，再确定函数的解析式. 【详解】条件①说明函数的周期为，条件②说明函数关于对称， 根据三角函数性质可知，满足条件的函数为 故答案为：（答案不唯一） 14. 已知函数，若对任意，，不等式成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式分析函数性质，并画出大致图象，随变化，的图象只在轴上平移，结合题设条件，只需保证，时有，即可求参数范围. 【详解】由在上单调递增，且过点， 在上，在上单调递减，在上单调递增， 结合解析式，其大致图象如下图， 随变化，的图象只在轴上平移， 令过且平行于的直线为， 则，所以，故， 联立与，消去y得， 所以或， 对任意，都有成立， 由图知，在上不单调，必有， 需保证，时有， 所以， ，整理得，所以， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质及图象，结合不等式恒成立得到，时有为关键. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）首先求解集合和，再根据交集和并集的定义，即可求解； （2）根据必要条件的定义，转化为集合的包含关系，即可列式求解. 【小问1详解】 当， 所以， 【小问2详解】 因为“”是“”的必要条件，所以， 所以 解得. 16. 在平面直角坐标系中，角以轴的正半轴为始边，它的终边与单位圆交于第四象限内的点. （1）若，求的值； （2）若，求的值及点的坐标. 【答案】（1） （2）点P的坐标为. 【解析】 【分析】（1）根据单位圆的性质，以及三角函数的定义，求角的三角函数值，方法1，根据诱导公式化解，再代入三角函数值，即可求解；方法2，构造齐次分式，代入正切值求解； （2）方法1，首先将正切化为正弦和余弦，再根据同角三角函数基本关系式，结合三角函数的定义，即可求解；方法2，直接由同角三角函数基本关系式，求解和，即可求解. 【小问1详解】 因为角与单位圆交于第四象限内的点， 所以，，，，， 由，得 法1： 法2：， 【小问2详解】 法1：， 因为，① 所以两边平方得，即， 所以， 由角终边位于第四象限，得，， 所以，② 由①②解得：，， 所以点P的坐标为. 法2：由角终边位于第四象限，得，， 因为，① 且，② 所以由①②解得：，， 所以 点P的坐标为. 17. 已知定义在上函数的图象关于坐标原点对称. （1）求实数m的值； （2）判定的单调性并证明； （3）若实数满足，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）在上单调递减，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数性质求参数，注意验证即可； （2）利用函数单调性定义及指数函数性质证明函数单调性； （3）法1：根据函数的单调性有，由指数函数单调性求参数范围；法2：应用换元法及函数单调性求参数范围. 【小问1详解】 因为在上的图象关于原点对称，所以为奇函数， 所以，即，检验如下， 此时，所以， 故是奇函数，满足要求. 所以. 【小问2详解】 在上单调递减，证明如下： 任取且，则， 因为，所以，又，， 所以，所以在上单调递减. 【小问3详解】 法1：因为，所以可化为 因为在上单调递减，所以， 即，所以，解得. 法2：在中，令，则， 即，即，所以， 即，所以，解得. 18. 已知用“五点法”画函数在一个周期上的图象时，列表如下： 0 0 0 0 （1）求的解析式； （2）将函数图象上所有点向右平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象. ①求在上的单调增区间； ②若关于的方程在上有四个不相等的实数根，求的值. 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，确定最值和周期，即可求解函数解析式的参数，即可求解； （2）①首先根据三角函数图象的平移和伸缩规律，确定函数的解析式，再结合函数的性质确定函数的单调区间；②将方程的实数根，转化为函数图象的交点问题，根据①的结果，利用换元法转化为与的交点问题，利用对称性，即可求解. 【小问1详解】 由题意得， ，所以. 所以. 因为，所以，即， 因为，所以. 所以. 小问2详解】 ①将图象上所有点向右平移个单位长度后得到的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象， 所以， 令，得， 又，所以在上的增区间为. ②令，因为，所以. 由得，即. 因为方程在上有四个不相等的实数根， 所以方程在上有四个不相等的实数根， 所以，且，， 所以，，所以， 所以. 19. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 【答案】（1）不是，理由见解析； （2）； （3），的最大值为1. 【解析】 【分析】（1）根据“友好函数”的定义判断即可； （2）根据定义，问题化为函数的值域是函数值域的子集，即可求参数范围，进而确定最小值； （3）由函数新定义及已知，的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应），利用正弦型函数性质求的值域，再讨论参数k研究值域，即可得参数范围. 【小问1详解】 ，不是，的“友好函数”，理由如下： 取，因为，所以不存在，使得， 所以，不是，的“友好函数”； 【小问2详解】 由题意，对任意，存在唯一使成立， 即，所以函数的值域是函数值域的子集. 因为，，所以，其值域为， 而在上单调递增，故值域为， 从而，即，所以； 【小问3详解】 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的，使成立， 即，则的值域是值域的子集. 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的使成立， 即，则的值域是值域的子集. 所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）. 当是的“友好函数”时，因为， 若存在使得，则不存在，使得， 所以当时，，所以， 因为在上单调递减，所以， ①当时，，不符合要求； ②当时，，， 因为，所以，不符合要求； ③当时，，， 若，则在上单调递减， 从而在上单调递增，故， 从而时，， 因为的值域与值域相同，所以， 即，所以，又在上单调递增， 所以当时，最大值为1. 若，则在上单调递减，在上单调递增， 此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求. 综上：，的最大值为1. 【点睛】关键点点睛：第三问，将问题化为的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$