精品解析：江苏省镇江市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试题

江苏省镇江市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无放. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的零点在区间内，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 求值：（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”意思是说：现有一块扇形田，弧长30步，扇形所在圆的直径为16步，则这块扇形田的面积（单位：平方步）是（ ） A. 100 B. 110 C. 120 D. 130 7. 已知函数则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的中心点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为（ ） A 10min B. 12min C. 14min D. 16min 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列不等式成立的有 9. 下列不等式成立的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列函数最小值为2有（ ） A. B. C. ，且 D. 11. 已知函数两个零点为，则（ ） A. 当时，的取值范围为 B. C. 当且仅当时，恒成立 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：______________. 13. 请写出一个同时满足以下性质①②的非常数函数______________. ①，②. 14. 已知函数.甲：当时，函数单调递减；乙：函数的图象关于直线对称；丙：函数图象的一个对称中心为.甲、乙、丙三人对函数的论述中有且只有一人正确，则______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是第三象限角，且. （1）求的值； （2）求的值. 16. （1）已知，且，求最小值； （2）已知，证明：. 17. 如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 （1）设，试用表示AP，并求的取值范围； （2）当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 18. 给出以下三个条件：①函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为；②；③对任意的.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并解答该题. 已知函数，且满足_____________. （1）求的值；并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象； （2）将函数的图象向右平移个单位后，再将此时图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 19. 著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数. （1）下列两个命题中至少有一个为真命题，并证明其中一个真命题： ①② （2）证明：函数在上有且仅有一个零点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省镇江市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无放. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集和交集的定义与运算直接得出结果. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：A 2. 单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数定义即可计算得出点的坐标. 【详解】由三角函数定义可知， 所以. 故选：A 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 分析】利用对数函数单调性以及三角函数周期性对取特殊值，可判断得出结论. 【详解】根据对数函数单调性由可知，不妨取， 此时，不满足，即充分性不成立； 若，不妨取， 此时，不满足，即必要性不成立； 所以“”是“”既不充分也不必要条件. 故选：D 4. 已知函数的零点在区间内，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可判断出零点所在的区间. 【详解】因为，， 所以函数在区间内有零点，所以. 故选：C. 5. 求值：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式直接计算可得结果. 【详解】易知. 故选：A 6. 《九章算术》中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”意思是说：现有一块扇形田，弧长30步，扇形所在圆的直径为16步，则这块扇形田的面积（单位：平方步）是（ ） A. 100 B. 110 C. 120 D. 130 【答案】C 【解析】 【分析】利用扇形面积公式直接代入计算可得结果. 【详解】易知扇形所在圆的半径为8步， 因此这块扇形田的面积为平方步. 故选：C 7. 已知函数则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知分段函数是单调递增函数，所以只需要求解即可. 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 8. 如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的中心点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为（ ） A. 10min B. 12min C. 14min D. 16min 【答案】B 【解析】 【分析】如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系，设时点距离底面的高度为，由题意得，，周期，求出函数解析式，令，解不等式继而可求解. 【详解】 如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴， 与垂直的向右的方向为轴建立坐标系， 设时点距离底面的高度为， 由题意得，，周期， 所以， 所以，即， 可得，令，则， 所以， 令，即， 所以，解得， 令，则， 所以在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列不等式成立的有 9. 下列不等式成立的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，当，则，故A错误， 对于B，若，则，故B正确， 对于C，若，则，故，故C错误， 对于D，，由于，故，因此，故，D正确， 故选：BD 10. 下列函数最小值为2的有（ ） A. B. C. ，且 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A B C根据基本不等式的性质求最值，D根据函数单调性求最值，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，当时，，，最小值不是2，故A错误； 对于B，，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，， 且， ， ， ， ， 且， ，， . 当时，所以在单调递增，即，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数的两个零点为，则（ ） A. 当时，的取值范围为 B. C. 当且仅当时，恒成立 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二次函数的单调即可求解A，根据求根公式求解和，即可根据求解BCD. 【详解】对于A，的对称轴为，且， 故时，单调递减，则，即，A正确； 对于B，由于，则， 由于函数均为上的单调递增函数，故在上单调递增， 故，故，故B正确； 对于C， ，由于函数均为上的单调递增函数， 故在单调递增，则， 即，故当时，恒成立； 又，故时，也有恒成立， 即当或，均恒成立，故C错误； 对于D， 由于，故，故D正确， 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：由求根公式可得和，结合，根据函数的单调性求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：______________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用对数运算性质计算可得结果. 详解】易知. 故答案为：2 13. 请写出一个同时满足以下性质①②的非常数函数______________. ①，②. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据函数性质可得是周期为的偶函数，可得结果. 【详解】由可知，即为偶函数； 由可得，即的周期为， 因此可得是周期为的偶函数，所以. 故答案为： 14. 已知函数.甲：当时，函数单调递减；乙：函数的图象关于直线对称；丙：函数图象的一个对称中心为.甲、乙、丙三人对函数的论述中有且只有一人正确，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的性质可判断甲乙的论述是错误的，则根据丙的说法正确，结合正切函数的对称性即可求解. 【详解】由于，故没有对称轴，因此乙的论述是错误的， 当时，，由于，故函数不能在单调递减，故甲论述错误， 故丙的论述是正确的，即函数的图象关于对称，则，故，结合，则 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是第三象限角，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平方关系和商数关系计算即可求得结果； （2）利用诱导公式以及齐次式化简求值即可. 【小问1详解】 易知，即， 又，可得， 因为是第三象限角，所以， 因此 【小问2详解】 显然， 代入计算可得， 因此. 16. （1）已知，且，求的最小值； （2）已知，证明：. 【答案】（1）4；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式计算可得结果； （2）利用作差法计算即可证明得出结论. 【详解】（1）易知，即可得, 解得，当且仅当时，等号成立， 此时的最小值为4； （2）因为， 所以 , 因此. 17. 如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 （1）设，试用表示AP，并求的取值范围； （2）当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 【答案】（1） （2）m时，取得最小值1200. 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似表示出，再由不等关系即可解得的取值范围； （2）求得面积的表达式，再利用基本不等式可求得当m时，取得最小值1200. 【小问1详解】 依题意可得， 所以，即，可得； 因此， 又要求AP的长不小于40m且不大于90m，即， 解得， 即； 【小问2详解】 易知， 所以 由基本不等式可得； 当且仅当时，即时，等号成立， 此时取得最小值1200； 因此m时，取得最小值，最小值为1200. 18. 给出以下三个条件：①函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为；②；③对任意的.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并解答该题. 已知函数，且满足_____________. （1）求的值；并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象； （2）将函数的图象向右平移个单位后，再将此时图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1），图象见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据两相邻对称轴之间的距离与周期的关系计算可得结果； ②代入函数值计算再结合，可得结果； ③依题意可知在处取得最大值，代入计算即可； （2）利用平移规则可得，再根据函数与方程的思想画出图象根据交点个数可得实数的取值范围. 【小问1详解】 若选择①，可知两条相邻对称轴之间的距离为半个周期，即， 可得； 若选择②，由可得，因此； 解得，又，所以满足题意； 若选择③，由对任意的可得取得最大值，即； 即，解得； 又，可得满足题意； 因此，列表取值如下： 描点连线得到图象如下： 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位可得； 再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得， 当时，，所以； 画出在上的图象，如下图： 若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解， 即为函数与函数在上有且只有一个交点， 由图可得当或时，满足题意； 因此实数的取值范围为. 19. 著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数. （1）下列两个命题中至少有一个为真命题，并证明其中的一个真命题： ①② （2）证明：函数在上有且仅有一个零点，且. 【答案】（1）①假命题，②真命题,证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用指数运算性质即可证明； （2）分和讨论，当时，结合函数单调性及零点存在定理证明即可；当时，函数值恒为正，无零点，综上可得结论；利用零点得，化简可得，再结合单调性证明不等式. 【小问1详解】 由题意， 对于①， . 对于②， . 故①为假命题，②为真命题. 【小问2详解】 函数在区间上连续不断， 当时，和在上都单调递增， 且， ， 因为， 所以 即， 故存在唯一，使得， 即函数在上有且仅有一个零点. 当时，在单调递增，且， 而，故， 所以函数在上没有零点. 综上所述，函数在上有且仅有一个零点. 因为， 所以， 所以， 因为在单调递减， 所以. 所以. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的零点，及函数的单调性，第二问解题的关键是分和讨论，当时，结合函数单调性及零点存在定理证明；当时，函数值恒为正，无零点.利用零点得，化简可得，再结合单调性证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$