精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高三上学期1月月考数学试题

高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出对数不等式和一元二次不等式，再根据交集含义即可. 【详解】，即，则且， 则，，所以. 故选：D. 2. 已知复数z的共轭复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】得到，利用复数除法法则得到，求出虚部. 【详解】由已知得，， 则复数的虚部为. 故选：C 3. 已知向量，向量，则与的夹角大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得. 【详解】向量，，则，而， 所以，的夹角为. 故选：D 4. 等差数列的公差不为0，其前n项和为，若，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的前n项和公式与通项公式转化为基本量计算即可. 【详解】设等差数列的公差为d， 所以，则有， 即，又，所以，所以. 故选：C. 5. 函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原不等式变形为，再利用分段函数的单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】当时，，因为在上单调递增，此时单调递增， 当时，易知单调递增，且当时，， 则在上单调递增， 因为，则， 所以由得， 所以，解得. 故选：A. 6. 若将确定的两个变量y与x之间的关系看成，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的运算及排除法即可求解. 【详解】由得， 显然，所以， 由，得， 所以，排除AB， 由，当且仅当时取等号，可排除D． 故选：C． 7. 中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：，铜的密度为8.96）（ ） A. 1kg B. 2kg C. 3kg D. 0.5kg 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式，结合质量公式求解即可. 【详解】由题意可得惊鸟铃的体积约为长， 所以该惊鸟铃的质量约为（kg）． 故选：A． 8. 若数列满足：当时，（），则数列的前28项和为（ ） A. 2048 B. 2046 C. 4608 D. 4606 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析可知：满足的和为，利用裂项相消法运算求解. 【详解】满足的n的值共有k个，对应的数列的项也有k个， 这k项的和为， 设， 且当时，可得，此时的最大值为28， 可知数列的前28项和就是数列的前7项和， 其和为． 故选：B． 【点睛】方法点睛：裂项相消的规律 （1）裂项系数取决于前后两项分母的差． （2）裂项相消后前、后保留的项数一样多． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 的极小值点为 C. 若满足，则 D. 若满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，根据导函数的正负即可求解AB，举反例即可求解C，根据函数的单调性即可求解D. 【详解】，当或时，，得函数的递增区间为， 当和时，递减区间为，得A错误，B正确； 取，则，C错误； 当时，恒有， 则当，D正确； 故选：ABD 10. 已知A，B是随机事件，若且，则（ ） A. B. A，B相互独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将事件与之间关系表示出来，利用概率公式逐一判断即可. 【详解】因为， ， 因为，所以，A正确； 因为， 所以，，， B错误，C正确； ，D正确． 故选：ACD． 11. 已知点，（）是函数（）图象上两点，则（ ） A. 对任意点A，存在无数个点B，使得曲线在点A，B处的切线倾斜角相等 B. 若存在点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直，则 C. 若对于任意点A，B，直线AB的斜率恒小于1，则a的取值范围是 D. 若且曲线在点A，B处的切线都过原点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，转化为在点A，B处导数值相同，由方程有无数解可得；选项B，转化为在点A，B处导数值之积为，方程有解可得参数的范围；选项C，转化为函数单调递减，利用导数小于等于恒成立可求；选项D，由切线斜率的两种求法建立等量关系可得. 【详解】对于A，因为， 要使，则， 得， 所以，，即对任意，的值有无数个，故A正确： 对于B，若存在点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直， 即存在，使得， 因为，， 则且，即， 则的最小值为， 故要使有解， 则有， 解得，满足条件，故B正确； 对于C，对于任意点A，B，直线AB的斜率恒小于1， 则，即， 所以在上是减函数， 所以恒成立， 设，，且， 所以要使恒成立，则，即，故C错误； 对于D，曲线在点A，B处的切线都过原点， 由，则点均不与原点重合，设曲线在处切线的斜率为， 则，由切线过原点， 则切线即直线的斜率， 所以，化简得， 若时，则，这与矛盾， 故，所以有， 同理可得， 所以由，得，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：导数与切线有关的问题处理的关键在于以下三个关系的应用： （1）切点在切线上，即切点的坐标满足切线的方程； （2）切点在函数图象上，即切点的坐标满足函数的解析式； （3）在切点处的导数值等于切线的斜率，即斜率的求法可以通过求导运算，也可以通过两点斜率坐标公式求解，或通过算两次建立等量关系. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知公比为的等比数列的前项和为，则__________. 【答案】3或 【解析】 【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解. 【详解】由可得， 故,解得或， 故答案为：3或 13. 连续掷一枚质地均匀的骰子两次，先后得到的点数分别为，记“”为事件，则事件发生的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数的计算，结合古典概型概率公式即可求解. 【详解】连续掷一枚质地均匀的骰子两次，记先后得到的点数分别为， 则该事件的样本空间共有36个样本点： ， ， . 满足事件的样本点有共13个， 故事件发生的概率为. 故答案为：. 14. 已知曲线与曲线交于点，直线与曲线切于点，与曲线切于点，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】联立方程可得，设切点，求导，可根据点斜式求解处的切线方程为，与二次函数联立，根据判别式为0可得，,以及切线方程，即可根据点点距离以及点到直线距离公式求解. 【详解】联立与可得，故，因此, 设，对求导可得， 故处的切线方程为，即， 联立与可得，由于相切，故，解得，且， 因此，,切线的方程为， 因此,点到直线的距离为， 故面积为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，即可根据余弦定理求解， （2）根据向量的模长公式，结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 由余弦定理得， 又所以. 【小问2详解】 为线段的中点，故， ， 因为，故， 整理可得， 在中，由余弦定理得， 所以， 两式联立可得，, 所以， 从而的周长为. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）当时，的单调增区间为和，单调减区间为；当时，的单调增区间为和，单调减区间为． 【解析】 【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，代入点斜式直线方程求解即可. （2）求出导函数，根据和分类讨论，结合二次不等式求解单调区间即可. 【小问1详解】 当时，函数， 得， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即切线方程为； 【小问2详解】 当时，，， 令，得，， 当时，， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为 当时，， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为； 综上所述，当时，的单调增区间为和，单调减区间为； 当时，的单调增区间为和，单调减区间为． 17. 已知在中，角的对边分别是，且． （1）求角C的大小； （2）若的面积，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由，化简得到，求得，即可求解； （2）由的面积，求得，再由余弦定理列出方程，求得或，进而求得的值. 【小问1详解】 解：由题意知 因为，可得，所以， 即， 可得， 又因为，可得，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 解：因为的面积，可得， 解得， 由余弦定理得，即，解得或， 当时，可得，所以； 当时，可得，所以． 18. 已知正项数列的前n项和为． （1）求数列的前n项和； （2）令，求数列的前9项之和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，两式相减，整理得到，得到数列是等差数列，结合等差数列的通项公式和求和公式，即可求解； （2）由（1）得到，结合裂项相消法，即可求解. 【小问1详解】 解：正项数列的前n项和为，满足， 可得， 两式相减可得， 所以， 因为，所以， 又因为，解得， 所以数列是以首项为1，公差为2的等差数列， 则数列的通项公式为，可得. 【小问2详解】 解：由（1）知， 可得， 所以 ． 19. 已知函数与的图象关于直线对称，若，构造函数． （1）当时，求函数在点处的切线与坐标轴围成三角形的面积； （2）若（其中为的导函数），当时，，证明：．（参考数据：） 【答案】（1） （2）当时，，由题意， 即 构造函数，则， ， 得在上单调递减，在上单调递增， 即，当且仅当时取等号. 则式 因，则，① 因，则，又结合（*）式， 可得，因 则，② 由①②知， 构造函数，则在单调递增， 注意到， 由零点存在性定理可知：． 【解析】 【分析】（1）由题可得表达式，后由导数知识可得函数在点处的切线方程，即可得相关三角形面积； （2）由（1），当，，由结合分析可得， 后由零点存在性定理可证明结论. 【小问1详解】 由题，，则， 当时，， 则， . 则切线方程为， 又切线与坐标轴的交点为， 则； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点睛：对于与同时出现的问题，我们常用指对互化的方法使相关式子产生相同结构，从而简化问题. 此外，诸如，等常见不等式的积累，也有助我们解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z的共轭复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，向量，则与的夹角大小为（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列的公差不为0，其前n项和为，若，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 5. 函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若将确定的两个变量y与x之间的关系看成，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：，铜的密度为8.96）（ ） A. 1kg B. 2kg C. 3kg D. 0.5kg 8. 若数列满足：当时，（），则数列的前28项和为（ ） A. 2048 B. 2046 C. 4608 D. 4606 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 的极小值点为 C. 若满足，则 D. 若满足，则 10. 已知A，B是随机事件，若且，则（ ） A. B. A，B相互独立 C. D. 11. 已知点，（）是函数（）图象上两点，则（ ） A. 对任意点A，存在无数个点B，使得曲线在点A，B处的切线倾斜角相等 B. 若存在点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直，则 C. 若对于任意点A，B，直线AB的斜率恒小于1，则a的取值范围是 D. 若且曲线在点A，B处的切线都过原点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知公比为的等比数列的前项和为，则__________. 13. 连续掷一枚质地均匀的骰子两次，先后得到的点数分别为，记“”为事件，则事件发生的概率为__________. 14. 已知曲线与曲线交于点，直线与曲线切于点，与曲线切于点，则的面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的周长. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间. 17. 已知在中，角的对边分别是，且． （1）求角C的大小； （2）若的面积，求的值． 18. 已知正项数列的前n项和为． （1）求数列的前n项和； （2）令，求数列的前9项之和． 19. 已知函数与的图象关于直线对称，若，构造函数． （1）当时，求函数在点处的切线与坐标轴围成三角形的面积； （2）若（其中为的导函数），当时，，证明：．（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $