19.2.1 y=ax²+c的图象 课件 2024--2025学年北京版九年级数学上册

课前热身 图象形状: 对称性 关于__________ 对称 关于 _________对称 顶点坐标 开口方向 开口向______ 草图 开口向_______ 草图 图象位置 图象经过_______象限 最值 增减性 函数y有最___值，y最__=____ x≤0时 , y随x的增大而____ x>0 时 ， y随x的增大而____ x≤0时 y随x的增大而____ x>0 时 y随x的增大而____ y x o y x o 函数y有最___值，y最__=____ 图象经过_______象限 二次函数y=ax2 (a≠0）的图象与性质 a>0 a<0 图象: 对称性 顶点坐标 开口方向 草图 草图 图象位置 最值 增减性 经过原点的抛物线 关于y轴（直线x=0)对称 （0,0） 开口向上 开口向下 过一、二象限 过三、四象限 函数y有最小值， y最小=0 函数y有最大值，y最大=0 x≤0时 , y随x的增大而减小 x>0 时 ， y随x的增大而增大 x≤0时 y随x的增大而增大 x>0 时 y随x的增大而减小 y x o y x o 补充性质： （1）|a|越大，抛物线的开口越小。 （2）y=ax2与y=-ax2的图象关于x轴对称。 利用几何画板连续改变函数y=ax2(a≠0)中的a值观察y=ax²与y=x²有怎样的联系？ （要求:设置的参数动画速度适中） 二次函数y=ax2 (a≠0）的图象与性质 数 形 当x=0,y=0 抛物线经过原点(顶点） 它与x轴和y轴都交于原点 当a>0且ax2 ≥0,y ≥0 抛物线关于y轴对称 当x的取值 互为相反数时 y的值相等 抛物线经过一、二象限 当a>0且ax2 ≥0,y ≥0 ∴当x=0时，y最小=0 抛物线的开口向上,抛物线有最低点。（顶点） 心中有数，脑中有图 当a<0且ax2≤0,y≤ 0 抛物线经过三、四象限 当a<0且ax2≤0,y≤ 0 ∴当x=0时，y最大=0 抛物线的开口向下,抛物线有最高点。（顶点） （图象位置） 19.2 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象（二） ---y=ax2+c(a≠0)的图象与性质 描点法画图象的步骤是什么？ 复习与回顾 想一想 分析函数y=x²+1 的表达式，回答下列问题： （1）它的图象还是抛物线吗？如果是，它的顶点坐标是什么。 （2）它图象是否经过原点？为什么？ （3）它的图象分布在哪几个象限，为什么？ （4）它的图象是轴对称图形吗？为什么？如果是，它的对称轴是什么？ （5）它的图象与x轴和y轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ （6）这个函数有最值吗？如果有，是最大值还是最小值？是多少？ 2.根据以上的分析，说一说函数 y=x²+1 的图象与性质。 想一想 分析函数y=x²-1 的表达式，回答下列问题： （1）它的图象还是抛物线吗？如果是，它的顶点坐标是什么。 （2）它图象是否经过原点？为什么？ （3）它的图象分布在哪几个象限，为什么？ （4）它的图象是轴对称图形吗？为什么？如果是，它的对称轴是什么？ （5）它的图象与x轴和y轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ （6）这个函数有最值吗？如果有，是最大值还是最小值？是多少？ 2.根据以上的分析，说一说函数 y=-x²+1 的图象与性质。 做一做 (1)y=x2 (2)y=x2+1 (3)y=x2-1 作图要求： 列表至少取7组x与y的对应值且尽量均匀、对称。 画在同一坐标系内，作出下列函数的图象 x ... ... y=x2 ... ... y=x2+1 ... ... y=x2-1 ... ... x y 0 1 2 3 4 5 1 3 5 -1 -3 -2 2 4 6 7 8 9 10 -1 -2 -4 -5 -3 -2 -1 0 1 2 3 10 5 2 1 9 10 5 2 4 1 0 1 4 9 8 3 0 0 3 8 -1 y=x2+1 y=x2-1 y=x2 x y 0 1 2 3 4 5 1 3 5 -1 -3 -2 2 4 6 7 8 9 10 -1 -2 -4 -5 y=x2+1 y=x2 y=x2-1 抛物线 顶点 坐标 对称轴 开口方向 y=x2 y=x2+1 y=x2-1 (０,０) (０,１) (０, -１) y轴 y轴 y轴 向上 向上 向上 直线X=0 x y 0 1 2 3 4 5 1 3 5 -1 -3 -2 2 4 6 7 8 9 10 -1 -2 -4 -5 y=x2+1 y=x2 y=x2-1 看一看　图中三个函数图象的开口大小。 改变了吗？ x y 0 1 2 3 4 5 1 3 5 -1 -3 -2 2 4 6 7 8 9 10 -1 -2 -4 -5 y=x2+1 y=x2 y=x2-1 不变的是 图象的形状 改变的是 图象的位置 x y 0 1 2 3 4 5 1 3 5 -1 -3 -2 2 4 6 7 8 9 10 -1 -2 -4 -5 y=x2+1 y=x2 y=x2-1 想一想：如何借助y=x2的图象得到y=x2+1和y=x2-１的图象呢? 由y=x2的图象沿y轴向上平移1个单位，得到y=x2+1的图象 由y=x2的图象沿y轴向下平移1个单位，得到y=x2- 1的图象 不变： 图象的位置 图象的形状 改变： 解析式分析 （变化过程）--沿y轴上下平移 y = x2 + 1 y = x2 – 1 y = x2 a的值不变 c的值改变 （图象的形状） （图象的位置） c=１>0，向上平移 c=-1<0，向下平移 y=ax2 y=ax2+c 不变： 图象的位置 图象的形状 改变： 解析式分析 （变化过程）--沿y轴上下平移 y = -x2 + 1 y = -x2 – 1 y = -x2 a的值不变 c的值改变 （图象的形状） （图象的位置） c=１>0，向上平移 c=-1<0，向下平移 y=ax2 y=ax2+c 谁能几何画板在同一坐标系内画出 y=-x2 y=-x2 +1 y=-x2 -1 的图象？ 并结合图象对大家说明 抛物线y=-x2 +1和 y=-x2 -1 是由抛物线 y=-x2 怎样平移得到的？ x y 0 抛物线 顶点 坐标 对称轴 开口方向 y=ax2+c (0,c) y轴 （直线x=0) a>0,开口向上 a<0,开口向下 的图象特征 二次函数 y=ax2+c的图象可以由y=ax2的图象沿y轴向上（或向下）平移|c|个单位得到。 c>0 利用几何画板连续改变函数y=ax2+c(a≠0)中的c值观察y=ax²与y=ax²+c有怎样的联系？ （要求:设置的参数c动画速度适中） 二次函数y=ax2 +c(a≠0）的图象与性质 a>0 a<0 图象: 对称性 顶点坐标 开口方向 草图 草图 最值 增减性 经过(0,c)的抛物线 关于y轴（直线x=0)对称 （0,c） 开口向上 开口向下 函数y有最小值， y最小=c 函数y有最大值，y最大=c x<0（轴左）时 , y随x的增大而减小 x>0（轴右）时 y随x的增大而增大 x<0时 （轴左） y随x的增大而增大 x>0（轴右）时 y随x的增大而减小 y=ax2+c的图象可以由y=ax2的图象沿y轴向上（或向下）平移|c|个单位得到。 a>0 a<0 图象 经过（ ， ）的__________ 对称性 关于_______（或直线_____）对称 顶点坐标 （ ， ） 开口方向 草图 草图 图象位置 c>0 经过______象限 c>0 经过______ 象限 c=0 经过______象限 c=0 经过______ 象限 c=0 经过______象限 c<0 经过______ 象限 最值 当x=____时，函数y取得最___值 ,ymin=—————— 当x=____时，函数y取得最___值 ,ymax=—————— 增减性 x≤0 y随x___________ x≤0 y随x___________ x>0 y随x___________ x>0 y随x___________ 与y轴的 交点位置 图象与y轴交于（ ，） 与y轴交于_____________ 与y轴交于_____________ 与y轴交于_____________ y=ax2+c(a≠0)的图象与性质 0 c 抛物线 y轴 x=0 0 c 一、二 一、二 一、二、 三、四 三、四 一、二、 三、四 三、四 0 小 c 0 大 c 的增大而减小 的增大而增大 的增大而增大 的增大而减小 正半轴 原点 负半轴 c>0 c=0 c<0 0，C y=ax2+c(a≠0)的图象与性质 补充性质： 草图 （1） 越大，开口_______. （2）y=ax2+c和y=-ax2+c的图象关于直线___________________ 越小 y=c对称 大家是否还有补充？ y=ax2+c(a≠0)的图象与x轴有交点吗？如果有交点坐标是什么？如果没有，为什么？ (1) 把抛物线 沿y轴向___平移__个单位，得到的抛物线解析式为 。 上 4 新抛物线的顶点坐标是______，对称轴是____，开口方向______。 （0,４） y轴 向下 巩固训练 (2) 把抛物线 的图象沿y轴向下平移7个单位，得到的抛物 线解析式是 。 巩固训练 新抛物线的顶点坐标是________，对称轴是____，开口方向______。 （0,- 7） y轴 向下 (3) 把二次函数 的图象 沿y轴向上平移 6 个单位，得到 二次函数____________________的图象。 (4)抛物线y=ax2+k(a ≠ 0)是由抛物线y=ax2 向上（下）移｜k｜个单位得到的， 当k > 0时，向　平移， k <0 , 向　平移， 其对称轴是 　 ，顶点坐标是 当a> 0 , 函数有最　　值为　　　　 当a< 0，函数有最　　值为　　　　 上 下 y轴 (0,k) 小 大 k k 练习A 1.抛物线 的开口向 , 对称轴是 ,顶点坐标是 . 上 y轴 (0,-2) 2.抛物线 与直线 大致是( ). 0 (A) 0 (B) 0 (C) 0 (D) D 练习B 谢谢观看 $$