第03讲 向量的数量积（七大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第03讲 向量的数量积 学习目标： 1.了解平面向量数量积的物理背景. 2.掌握平面向量数量积的定义、性质、运算律,理解其几何意义. 重点难点： 重点：平面向量的数量积的概念、性质、运算律，向量投影及其应用 难点：平面向量数量积的性质应用和向量数量积的几何意义 一、向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 二、向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 三、向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 四、向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 五、数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 考点01 向量数量积的简单计算 1．（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 【答案】CD 【详解】对于A，由向量的运算法则，得A正确； 对于B，向量数量积满足分配律，B正确； 对于C，由，得，当时，满足题设，C错误； 对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，而与无任何关系，D错误. 故选：CD 2．已知向量与的夹角为，，，则 ． 【答案】 【详解】. 故答案为： 3．已知单位向量满足，则 ． 【答案】/ 【详解】由题意可知， 且， 即. 故答案为： 4．已知向量和的夹角为，且，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 【答案】D 【详解】因为向量和的夹角为，且， 则. 故选：D. 5．已知向量和的夹角为，且，，则 . 【答案】 【详解】， 则. 故答案为：. 考点02 平面向量的模长 6．已知平面向量的夹角为，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】由， 所以，即， 即，整理得， 解得或（舍去）， 所以. 故选：B. 7．两个单位向量、满足，则 . 【答案】 【详解】因为两个单位向量、满足， 由两边平方可得， 即，解得， 故. 故答案为：. 8．已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 两边平方得， 所以，即. 故选：C 9．已知平面向量，，的夹角为，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 即，解得. 故选：A. 10．已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为， 所以. 所以的最小值为，且取到最小值时. 考点03 平面向量的夹角 11．已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以， 又，所以， 又， 所以向量与夹角的正弦值为. 故选：D. 12．已知为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为单位向量，由， 所以， 即， 设与夹角为， 则， 又，所以. 故选：C. 13．已知外接圆圆心为，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 如图所示，结合向量加法的平行四边形法则可得四边形为平行四边形， 又因为为外接圆圆心，所以， 所以平行四边形为菱形，和为等边三角形， 所以向量的夹角为． 故答案为：. 14．已知，均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】∵，则，∴，同向， 但当时不满足，因此充分性不成立. ∵，∴， 即，即， 从而，同向，，由此可知必要性成立. 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：C. 15．已知向量，满足，，，则向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 所以， 则      ， 所以． 故选：A. 考点04 向量垂直 16．若向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由及，得，解得， 又，则，， 所以与的夹角. 故选：C 17．设为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为为非零向量，若，则， 所以，，则， 反之若，所以， 所以，由于为非零向量，故， 所以，“”是“”的充要条件. 故选：C. 18．设，为非零向量，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，， 得，即，即， 即，即， 则. 故选：D. 19．已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 . 【答案】 【详解】由与的夹角为，可得：， 又因为，是互相垂直的单位向量，所以有， 则， 解得， 故答案为：. 20．已知单位向量，则“”是“任意都有”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由单位向量，且时，可得， 则， 所以，即充分性成立； 反正，对于单位向量，若成立， 可得，即， 解得，所以，即必要性成立， 所以是成立的充分必要条件. 故选：C. 考点05 投影向量 21．已知向量满足，且在上的投影为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，在上的投影为， 故，即，， 解得. 故选：A 22．已知两个非零向量，满足，则向量在向量方向上的投影向量为 . 【答案】 【详解】因为两个非零向量，满足， 所以，即， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 23．已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 24．已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以在方向上的投影向量为． 故选：C． 25．已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为在方向上的投影向量为，且， 可得，即， 又因为在方向上的投影向量为， 可得，即. 故选：D. 考点06 平面几何与数量积运算 26． 是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【详解】因为， 则，所以，， 同理可得，， 所以，是的垂心. 故选：D. 27．如图所示，在四边形中，，则 .    【答案】 【详解】因为在四边形中，， 所以 . 故答案为：. 28．若，为圆上两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取中点，连接， 则，故， 所以 因为，所以， 又方向相同， 所以. 故选：C. 29．已知为所在平面内一点，满足，且，，设为向量的夹角，则 ； ． 【答案】 / 【详解】，， ，即，解得， . 同理可得：，即，解得. . 故答案为：；. 30．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】中，，则O是BC的中点， 所以BC为圆O的直径， 则有，又，则为等边三角形， 有，，，向量在向量夹角为， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 考点07 最值范围问题 31．在中，为线段上一点.，则 ；若在线段上运动，则的取值范围是 . 【答案】 / 【详解】依题意，， 所以， 由于三点共线，所以. 因为，且，所以. 设. 由向量减法的三角形法则可得. 那么. . 已知，，，根据向量数量积公式（为与的夹角）， 可得. 展开得： ， 把，，代入上式： ， 展开并整理： ， 合并同类项得. 令，，这是一个二次函数，二次项系数， 图象开口向上，对称轴为. 当时，取得最小值，. 当或时，，. 所以的取值范围是. 故答案为：； 32．已知为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则的取值范围是 . 【答案】[-8，24] 【详解】 由题意可得的模为4， 根据正六边形的特征及投影的定义可以得到在方向上的投影长度的取值范围是， 由数量积定义可知等于的模与在方向上的投影长度的乘积， 所以的取值范围是， 故答案为：. 33．已知平面向量满足，与的夹角为且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，， 由，得， 即，当且仅当同向共线时取等号， 于是，解得， 所以的最大值为. 故选：B 34．已知，，且，则的最大值为（    ） A．5.5 B．5 C．6.5 D．6 【答案】A 【详解】， 又，当且仅当与同向时取得等号； 故. 故选：A. 35．已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为向量与共线，所以可设(t∈R)， 所以，所以， 因为向量，为单位向量，且， 所以， 所以，所以的最小值为. 故选：A 基础试炼 1． 中，“”是“是钝角”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，可得， 又因为在中，，所以，所以为钝角， 若是钝角，则，则，即， 所以在中，“”是“是钝角”的充要条件， 故选：C. 2．对于任意向量，下列命题中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，当且仅当共线时取等号，A错误； 由向量加法的三角形法则知，，当且仅当同向或至少一个为零向量时取等号，B错误； 是与共线的向量，是与共线的向量，因此与不一定相等，C错误； ，因此，D正确. 故选：D 3．已知非零向量满足，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得，即， 又因为，所以， 所以夹角为. 故选：C 4．已知向量，是非零向量，设甲：向量，共线；乙：关于x的方程有实数根；则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】关于x的方程有实数根，则， 故，即， 又，所以，即向量，共线，反之也成立， 因此两者应为充要条件． 故选：C． 5．（多选）下列说法不正确的有（    ） A．或 B． C．已知，为非零向量，且，则与方向相同 D．若，则与的夹角是钝角 【答案】ABD 【详解】对A：由可得，故A错误； 对B：向量为矢量，故向量的数量积不满足结合律，故B错误； 对C：由，为非零向量，且，则与方向相同，故C正确； 对D：当、反向时，有，此时与的夹角不是钝角，故D错误. 故选：ABD. 6．（多选）如图，在方格中，向量的始点和终点均为小正方形的顶点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】如图所示，向量与向量方向不同，所以，故A错误， 将向量平移至向量的起点，可得，且，以向量为邻边的平行四边形为正方形，对角线垂直且相等，所以，故B与C正确， 由以上可知，，且向量与向量的夹角相等，所以，故D错误.    故选：BC 7．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 ． 【答案】/ 【详解】设与的夹角为，则有 ， 解得，故与的夹角为. 故答案为：. 8．若非零向量与单位向量共线，且，则 . 【答案】 【详解】因为非零向量与单位向量共线，则，且， 因为，则，即， 整理得，解得（舍）或， 所以. 故答案为：. 9．已知向量的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为 ． 【答案】 【详解】因为与的夹角为，所以， 故在方向上的投影向量为. 故答案为： 10．已知向量，满足． (1)求向量与夹角的余弦值； (2)求的值． 【答案】(1). (2)． 【详解】（1）设与的夹角为，因为， 所以， 又，所以，所以 所以向量与夹角的余弦值为. （2）由， 所以． 11．已知向量与的夹角为，且，． (1)求和； (2)求向量与向量的夹角． 【答案】(1)2； (2) 【详解】（1）因为向量与的夹角为，且，， 则． 所以． （2）设向量与向量的夹角， 可得， 且，则，所以向量与向量的夹角为． 12．如图，在菱形中，. (1)若，求的值； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为在菱形中，. 故， 故，所以. （2）显然， 所以 ……① 因为菱形，且，故. 所以. 故①式. 故. 高阶突破 1．如图，一滑轮组中有两个定滑轮，在从连接点O出发的三根绳的端点处，挂着三个重物1，2，3，它们所受的重力分别为4N，4N，N，以分别表示重物1，2对点O的拉力，则（    ） A．16 B．8 C． D．4 【答案】B 【详解】由题意：，. 所以. 故选：B 2．已知非零向量满足，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，因为， 所以，所以， 则， 当时取等号，所以的最小值为． 故选：B． 3．如图，在平行四边形中，分别为的中点，为上一点，且，，则 ． 【答案】1 【详解】 如图，连接，在平行四边形中，分别为的中点， 则三点共线，且为的中点，所以． 过点作于点，设， 由，， 得，则． 由分别为的中点， 则，，所以， 所以 ． 故答案为：1. 4．设圆的半径为3，其一条弦为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【详解】，如图所示， 又， 设夹角为，则， 因为为圆上任意一点，所以时，取得最大值12， 此时. 故选：D. 5．向量满足，且，则 ． 【答案】3 【详解】由，得， ， 则， 即，整理得， 即，所以. 故答案为：3 【点睛】思路点睛：利用数量积的定义及运算律，将给定恒成立的不等式化为一元二次不等式恒成立求解. 6．设为单位向量，非零向量，x，y为实数，若的夹角为，则的最大值是 . 【答案】2 【详解】因为，的夹角为， 所以，则， 当时，， 当时，， 当时，取最大值，， 综上：的最大值是2. 故答案为：2 7．在三角形中，，，向量在向量上的投影向量为，为上一点，且，则（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【详解】由题得向量在向量上的投影向量为， 所以，又，故， 因为，所以， 所以， 所以 ， 所以. 故选：B. 8．已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．则 ．若为线段上的一点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为平行四边形的面积为， 所以，得， 所以， 如图，连接，则，，    所以 因为、、三点共线，所以，得， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：；. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第03讲 向量的数量积 学习目标： 1.了解平面向量数量积的物理背景. 2.掌握平面向量数量积的定义、性质、运算律,理解其几何意义. 重点难点： 重点：平面向量的数量积的概念、性质、运算律，向量投影及其应用 难点：平面向量数量积的性质应用和向量数量积的几何意义 一、向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 二、向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 三、向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 四、向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 五、数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 考点01 向量数量积的简单计算 1．（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 2．已知向量与的夹角为，，，则 ． 3．已知单位向量满足，则 ． 4．已知向量和的夹角为，且，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 5．已知向量和的夹角为，且，，则 . 考点02 平面向量的模长 6．已知平面向量的夹角为，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 7．两个单位向量、满足，则 . 8．已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 9．已知平面向量，，的夹角为，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 10．已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 考点03 平面向量的夹角 11．已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 12．已知为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 13．已知外接圆圆心为，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 14．已知，均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知向量，满足，，，则向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 考点04 向量垂直 16．若向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 17．设为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 18．设，为非零向量，若，，则（   ） A． B． C． D． 19．已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 . 20．已知单位向量，则“”是“任意都有”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点05 投影向量 21．已知向量满足，且在上的投影为，则（    ） A． B． C． D． 22．已知两个非零向量，满足，则向量在向量方向上的投影向量为 . 23．已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 24．已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 25．已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点06 平面几何与数量积运算 26． 是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 27．如图所示，在四边形中，，则 .    28．若，为圆上两点，且，则（    ） A． B． C． D． 29．已知为所在平面内一点，满足，且，，设为向量的夹角，则 ； ． 30．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 考点07 最值范围问题 31．在中，为线段上一点.，则 ；若在线段上运动，则的取值范围是 . 32．已知为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则的取值范围是 . 33．已知平面向量满足，与的夹角为且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 34．已知，，且，则的最大值为（    ） A．5.5 B．5 C．6.5 D．6 35．已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 基础试炼 1． 中，“”是“是钝角”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．对于任意向量，下列命题中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．已知非零向量满足，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，是非零向量，设甲：向量，共线；乙：关于x的方程有实数根；则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 5．（多选）下列说法不正确的有（    ） A．或 B． C．已知，为非零向量，且，则与方向相同 D．若，则与的夹角是钝角 6．（多选）如图，在方格中，向量的始点和终点均为小正方形的顶点，则（    ）    A． B． C． D． 7．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 ． 8．若非零向量与单位向量共线，且，则 . 9．已知向量的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为 ． 10．已知向量，满足． (1)求向量与夹角的余弦值； (2)求的值． 11．已知向量与的夹角为，且，． (1)求和； (2)求向量与向量的夹角． 12．如图，在菱形中，. (1)若，求的值； (2)若，求. 高阶突破 1．如图，一滑轮组中有两个定滑轮，在从连接点O出发的三根绳的端点处，挂着三个重物1，2，3，它们所受的重力分别为4N，4N，N，以分别表示重物1，2对点O的拉力，则（    ） A．16 B．8 C． D．4 2．已知非零向量满足，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，分别为的中点，为上一点，且，，则 ． 4．设圆的半径为3，其一条弦为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 5．向量满足，且，则 ． 6．设为单位向量，非零向量，x，y为实数，若的夹角为，则的最大值是 . 7．在三角形中，，，向量在向量上的投影向量为，为上一点，且，则（    ） A．4 B． C． D．5 8．已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．则 ．若为线段上的一点，且，则的最小值为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$