第01讲 平面向量的概念（四大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第01讲 平面向量的概念 学习目标： 1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的相关概念,； 2.掌握向量的表示方法,理解向量的模的概念； 3.理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念. 重点难点： 重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量 难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系 一、向量的概念及表示 1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量. 2.表示: （1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. （2）向量的表示： ①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. ②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作. 3.两个特殊向量: （1）零向量与非零向量: 长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量. （2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. 二、向量间的关系 1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. 2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作. 考点01 向量与数量的辨析 1．下列各物理量表示向量的是（    ） A．质量 B．距离 C．力 D．体重 2．下列说法正确的个数是（   ） （1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量； （2）零向量没有方向； （3）向量的模一定是正数； （4）非零向量的单位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（多选）下列说法正确的是（    ） A． B．是单位向量，则 C．任一非零向量都可以平行移动 D．若，则 4．分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 5．如图，是某人行走的路线，那么的几何意义是某人从A点沿西偏南 方向行走了 km． 考点02 零向量与单位向量 6．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是（    ） A．单位圆 B．一段弧 C．线段 D．直线 7．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．零向量是没有方向的 C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的 8．下列说法正确的是 A．向量与是平行向量 B．若都是单位向量，则 C．若，则四点构成平行四边形 D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 9．下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 10．下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 考点03 向量的几何表示 11．按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量.（图中每个小正方形的边长均为1） (1)正北方向，且模为2的向量； (2)长度为，方向为北偏西45°的向量； (3)向量的负向量. 12．在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点，并求终点的坐标 （1），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为； （2），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为； （3），的方向与轴、轴正方向的夹角都是. 13．如图，设的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？ 14．如图，已知是单位向量，求出图中向量，，，的模. 15．如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是 . 考点04 相等向量与共线向量 16．下列说法正确的是 .（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则与共线； ④若，则一定不与共线. 17．下列命题错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 18．如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 19．（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； （2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 20．在图中的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个（除外）？    基础试炼 一、单选题 1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（   ） A． B． C． D．不存在这样的向量 3．下列命题正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．模为0的向量与任意非零向量共线 C．平行向量不一定是共线向量 D．任一向量与它的相反向量不相等 4．给出下列命题，正确的有（   ） A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B．已知为实数，若，则与共线 C．的充要条件是且 D．若是不共线的四点，且，则四边形为平行四边形 5．给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； ②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； ③若与同向，且，则>； ④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线． 其中假命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（    ） A．9 B．11 C．18 D．24 二、多选题 7．（多选）如下四个命题中，说法正确的是（    ） A．向量 B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 C．两个有公共终点的向量，一定是共线向量 D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 8．如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 三、填空题 9．①把所有表示单位向量的有向线段的起点移到同一点，则它们的终点构成的图形是 ； ②若表示单位向量的有向线段平行于某一直线，把它们的有向线段的起点移到同一点，则它们的终点构成的图形是 ； ③若表示向量的有向线段平行于某一直线，把它们的有向线段的起点移到同一点，则它们的终点构成的图形是 ； 10．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有 个. 11．下列五个命题： ①向量与共线，则必在同一条直线上； ②如果向量与平行，则与方向相同或相反； ③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是； ④若，则、的长度相等且方向相同或相反； ⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行. 其中正确的命题有 个. 四、解答题 12．在四边形中，已知，求证：四边形为平行四边形． 13．在矩形ABCD中，，点M，N分别为AB和CD的中点，在以点A，B，C，D，M，N为起点或终点的向量中，相等的非零向量共有多少对？ 14．在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图． (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：． 高阶突破 1．下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 2．（多选）下面的命题正确的有（    ） A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．单位向量都相等 C．若，满足且与同向，则 D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形” 3．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： （1）与相等的向量共有几个； （2）与方向相同且模为的向量共有几个； 4．如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，. （1）求证：； （2）求. 5．设点O是三角形ABC所在平面上一点，若，则点O是三角形ABC的 心． 6．如图所示，四边形ABCD中，=，N，M是AD，BC上的点，且=.求证：=. 7．给出下列命题： ①是向量的必要不充分条件； ②向量，相等的充要条件是； ③若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中正确的是 .（填序号） 8．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1． (1)试以为终点画一个有向线段，设该有向线段表示的向量为，使． (2)在图中画一个以为起点的有向线段，设该有向线段表示的向量为，且，并说出点的轨迹是什么？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第01讲 平面向量的概念 学习目标： 1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的相关概念,； 2.掌握向量的表示方法,理解向量的模的概念； 3.理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念. 重点难点： 重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量 难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系 一、向量的概念及表示 1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量. 2.表示: （1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. （2）向量的表示： ①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. ②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作. 3.两个特殊向量: （1）零向量与非零向量: 长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量. （2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. 二、向量间的关系 1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. 2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作. 考点01 向量与数量的辨析 1．下列各物理量表示向量的是（    ） A．质量 B．距离 C．力 D．体重 【答案】C 【详解】由向量的定义可知，力为向量，质量、距离、体重都为数量. 故选：C. 2．下列说法正确的个数是（   ） （1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量； （2）零向量没有方向； （3）向量的模一定是正数； （4）非零向量的单位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误； 对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误； 对于（3），零向量的模为0，不是正数，故（3）错误； 对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误； 故选：A． 3．（多选）下列说法正确的是（    ） A． B．是单位向量，则 C．任一非零向量都可以平行移动 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A，与互为相反向量，它们的模相等，A正确； 对于B，所有的单位向量的模相等，B正确； 对于C，任一非零向量都可以平行移动，C正确； 对于D，向量的模有大小，而向量无大小，D错误. 故选：ABC 4．分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【答案】C 【详解】如图，以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量为： ，共8个． 故选：C． 5．如图，是某人行走的路线，那么的几何意义是某人从A点沿西偏南 方向行走了 km． 【答案】 60° 2 【详解】解析：由已知图形可知，的几何意义是从A点沿西偏南60°方向，行走了2km． 故答案为：60°；2 考点02 零向量与单位向量 6．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是（    ） A．单位圆 B．一段弧 C．线段 D．直线 【答案】A 【详解】平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，所以将所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是单位圆． 故选：A. 7．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．零向量是没有方向的 C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的 【答案】B 【详解】A：由零向量的模为0，故正确；而由零向量的长度为0，方向是任意的，与任何向量都平行，故B错误，C、D正确； 故选：B 8．下列说法正确的是 A．向量与是平行向量 B．若都是单位向量，则 C．若，则四点构成平行四边形 D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 【答案】A 【详解】向量与是相反向量，更是平行向量，A正确.两个单位向量可能方向不同，故B不正确.若，则四点可能共线，故C不正确.两向量相等的充要条件是两向量的大小相等、方向相同，故D也不正确. 故选：A 【点睛】本题考查了平面向量的基本定义，意在考查学生对平面向量基本概念理解与掌握的情况，是基础题． 9．下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【详解】和长度相等，方向相反，故A正确； 单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误； 向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确； 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确． 故选：B 10．下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B 考点03 向量的几何表示 11．按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量.（图中每个小正方形的边长均为1） (1)正北方向，且模为2的向量； (2)长度为，方向为北偏西45°的向量； (3)向量的负向量. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）根据平面向量的方向和模长，画出，如下： （2）根据平面向量的方向和模长，画出，如下： （3）根据相反向量的定义，画出，如下： 12．在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点，并求终点的坐标 （1），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为； （2），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为； （3），的方向与轴、轴正方向的夹角都是. 【答案】见解析 【详解】如图所示. （1）终点坐标为 （2）终点坐标为 （3）终点坐标为 【点睛】本题考查向量的基本概念，向量的夹角，是基础题 13．如图，设的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？ 【答案】答案见解析 【详解】所有的边可以构成以下向量：、、、、、、、. 它们的模分别为： ， . 14．如图，已知是单位向量，求出图中向量，，，的模. 【答案】 【详解】因为是单位向量，所以图中小正方形的边长为； 所以， 由勾股定理可知，，. 15．如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是 . 【答案】5 【详解】由图知：与向量的模相等的向量有， ∴共有5个. 故答案为：5. 考点04 相等向量与共线向量 16．下列说法正确的是 .（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则与共线； ④若，则一定不与共线. 【答案】③ 【详解】对于①，若，则可知共线，不一定有，也可能，因此①错误； 对于②，若，但的方向不一定相同，因此②错误； 对于③，若，则与共线，显然③正确； 对于④，若，则可能，此时与共线，所以④错误. 故答案为：③ 17．下列命题错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 【答案】A 【详解】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同， 所以得不到，A错误； 对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”， 所以“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对C，因为与反向共线， 且，都为单位向量，则，C正确； 对D，若，则，D正确， 故选：A. 18．如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） 分别为的中点，，且，与向量共线的向量是. （2）因为是正三角形，所以， 因为E、F、G依次是正的边AB、BC、AC的中点， 所以， 所以在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中， 与向量模相等的向量为； （3）在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，与向量相等的向量为. 19．（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； （2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 【答案】 A、B、C三点共线 B是的中点 平行四边形 【详解】（1）且有一个公共点， A、B、C三点共线； ，方向相同， B是的中点， 故答案为：A、B、C三点共线；B是的中点； （2）在四边形中，若，则一组对边平行且相等，则四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形 20．在图中的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个（除外）？    【答案】7个，个. 【详解】当向量的起点C是图中所圈的格点时，可以作出与相等的向量， 这样的格点共有8个，除去点A外，还有7个，所以共有7个向量与相等； 与长度相等的共线向量（除外），有与相等的向量，还有与方向相反且长度相等的向量， 所以与长度相等的共线向量共有（个）.    基础试炼 一、单选题 1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度. 故选：C. 2．已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（   ） A． B． C． D．不存在这样的向量 【答案】A 【详解】因为向量与是两个不平行的向量，且且， 所以等于， 故选：A 3．下列命题正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．模为0的向量与任意非零向量共线 C．平行向量不一定是共线向量 D．任一向量与它的相反向量不相等 【答案】B 【详解】对A，单位向量模长相等方向不一定一致，故A错误； 对B，零向量与任意非零向量共线，故B正确； 对C，平行向量即共线向量，故C错误； 对D，零向量与它的相反向量相等，故D错误． 故选：B 4．给出下列命题，正确的有（   ） A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B．已知为实数，若，则与共线 C．的充要条件是且 D．若是不共线的四点，且，则四边形为平行四边形 【答案】D 【详解】对A，向量相等只需满足方向相同且模相等即可，故A错误； 对B，若时，此时与可以不共线，故B错误； 对C，、为相反向量时，也满足且，但此时，故C错误； 对D ，若是不共线的四点，且，则， 则四边形为平行四边形，故D正确. 故选：D. 5．给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； ②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； ③若与同向，且，则>； ④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线． 其中假命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线； ②正确．∵＝，∴||＝||且； 又∵是不共线的四点，∴四边形是平行四边形． 反之，若四边形是平行四边形， 则且与方向相同，因此＝； ③不正确．两向量不能比较大小． ④不正确．当时，与可以为任意向量， 满足λ＝μ，但与不一定共线． 故选：. 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（    ） A．9 B．11 C．18 D．24 【答案】D 【详解】如图， 由已知可得， ，，，， 有12对相等的向量， 改变其方向，又有12对相等的向量，共24对， 故选：D. 二、多选题 7．（多选）如下四个命题中，说法正确的是（    ） A．向量 B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 C．两个有公共终点的向量，一定是共线向量 D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 【答案】AB 【详解】向量与向量互为相反向量，方向相反，所以，故A正确； 两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故B正确； 两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故C错误； 若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D在同一条直线上或直线AB与直线CD平行；故D错误. 故选:AB． 8．如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【详解】对于选项A：向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以的模恰为模的倍，故B正确； 对于选项C：根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于选项D：与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 9．①把所有表示单位向量的有向线段的起点移到同一点，则它们的终点构成的图形是 ； ②若表示单位向量的有向线段平行于某一直线，把它们的有向线段的起点移到同一点，则它们的终点构成的图形是 ； ③若表示向量的有向线段平行于某一直线，把它们的有向线段的起点移到同一点，则它们的终点构成的图形是 ； 【答案】 单位圆 两个点 直线 【详解】把所有表示单位向量的有向线段的起点移到同一点，则它们的终点构成的图形是单位圆；    若表示单位向量的有向线段平行于某一直线，把它们的有向线段的起点移到同一点，则它们的终点构成的图形是两个点；    若表示向量的有向线段平行于某一直线，把它们的有向线段的起点移到同一点， 则它们的终点构成的图形是直线，其中的起点与终点均为点.    故答案为：单位圆；两个点；直线 10．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有 个. 【答案】9 【详解】由正六边形的性质可知，与向量共线的向量有，共9个. 故答案为：9. 11．下列五个命题： ①向量与共线，则必在同一条直线上； ②如果向量与平行，则与方向相同或相反； ③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是； ④若，则、的长度相等且方向相同或相反； ⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行. 其中正确的命题有 个. 【答案】0 【详解】对于①，向量与共线，则直线与直线可能平行，故①错； 对于②，若为零向量，零向量与任意向量平行，故②错； 对于③，，则四点可能共线，故③错； 对于④，，只能说明、的长度相等但确定不了方向，故④错； 对于⑤，零向量与任何向量平行，故⑤错. 所以正确的命题有0个， 故答案为：0 四、解答题 12．在四边形中，已知，求证：四边形为平行四边形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：在四边形ABCD中， ， 所以，且 所以四边形为平行四边形． 13．在矩形ABCD中，，点M，N分别为AB和CD的中点，在以点A，B，C，D，M，N为起点或终点的向量中，相等的非零向量共有多少对？ 【答案】24 【详解】在矩形ABCD中，，点M，N分别为AB和CD的中点， 所以AMND和MNCB为边长相等的正方形，如图所示：    由题意得：，则，有3对；， 则，有6对； ，有1对；，有1对；，有1对； 共有：对，又上述成对向量的方向相反的向量也有12对， 综上，相等的非零向量共有24对. 14．在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图． (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：． 【答案】(1), (2)证明见解析 【详解】（1）据题意，与向量共线的向量为：, ； （2）证明：是平行四边形，且，分别为边，的中点， ，且， 四边形是平行四边形， ，且， ． 高阶突破 1．下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 【答案】D 【详解】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误； 选项B：，不一定有，故B错误； 选项C：直线与可能共线，故C错误； 选项D：若向量，共线，则与可能平行， 此时A，B，C，D四点不共线，故D正确． 故选：D. 2．（多选）下面的命题正确的有（    ） A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．单位向量都相等 C．若，满足且与同向，则 D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形” 【答案】AD 【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确； 对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误； 对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误； 对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且， 可得，且，故四边形ABCD是平行四边形； 若四边形ABCD是平行四边形，可知，且， 此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确. 故选：AD. 3．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： （1）与相等的向量共有几个； （2）与方向相同且模为的向量共有几个； 【答案】（1）5；（2）2. 【详解】解：由题可知，每个小方格都是单位正方形， 每个小正方形的对角线的长度为且都与平行， 则， （1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量， 则与相等的向量共有5个，如图1； （2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2. 【点睛】本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查理解能力和数形结合思想. 4．如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，. （1）求证：； （2）求. 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】(1)由题意知，在中，，，， 所以，是直角三角形， 因为点为半圆上一点，所以 所以，故 (2)因为，所以，， 即，解得，即。 【点睛】本题考查向量平行的证明以及向量的模的计算，若两向量所在直线平行或重合，则说明这两个向量平行，向量所在线段的长即向量的模，考查计算能力，是中档题。 5．设点O是三角形ABC所在平面上一点，若，则点O是三角形ABC的 心． 【答案】外心 【详解】由可得点到三角形各顶点的距离相等，所以点是三角形的外心 故答案为外心. 6．如图所示，四边形ABCD中，=，N，M是AD，BC上的点，且=.求证：=. 【答案】见解析 【详解】试题分析：因为，所以||=||且，所以四边形是平行四边形.所以||||且，同理可证，四边形是平行四边形，所以||||，所以||||，，即与的模相等且方向相同，所以. 试题解析：因为=，所以||=||且AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形.所以||=||且DA∥CB.同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以||=||，所以||=||，DN∥MB，即与的模相等且方向相同，所以=. 【方法点睛】本题主要考查向量的对于，以及相等向量的证明方法，属于简单题.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量；两个向量只有当他们的模相等且方向相同时，才能称它们相等，本题中，根据相等向量的两个基本性质，利用平面几何知识进行解答. 7．给出下列命题： ①是向量的必要不充分条件； ②向量，相等的充要条件是； ③若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中正确的是 .（填序号） 【答案】①③ 【详解】对于①，由，而显然. 从而是向量的必要不充分条件，故①正确. 对于②，向量，不相等，但满足且，故②错误. 对于③，因为，则且， 又不共线，所以四边形是平行四边形. 反之，在平行四边形中，由于平行四边形对边平行且长度相等，故有. 所以是四边形为平行四边形的充要条件，故③正确. 故答案为：①③. 8．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1． (1)试以为终点画一个有向线段，设该有向线段表示的向量为，使． (2)在图中画一个以为起点的有向线段，设该有向线段表示的向量为，且，并说出点的轨迹是什么？ 【答案】(1)图见解析 (2)点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆 【详解】（1）如图，感觉向量相等的定义，与的方向相同，长度相等，即，即可得到向量；    （2）如图，画出一个满足条件的向量，点的轨迹是以点为圆心，半径的圆.    2 学科网（北京）股份有限公司 $$