精品解析：辽宁省辽阳市2024～2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年度上学期期末质量监测 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 每一条对角线都平分一组对角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A，菱形、正方形满足每一条对角线都平分一组对角，矩形不满足，不合题意； B，正方形、矩形满足对角线相等，菱形不满足，不合题意； C，菱形、正方形满足对角线互相垂直，矩形不满足，不合题意； D，矩形、菱形、正方形都满足对角线互相平分，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的性质． 2. 运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：由左视图的定义知该领奖台的左视图如下： 故选D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到的线用虚线表示． 3. 如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸，则的长应是（ ） A. 15 B. 30 C. 20 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，根据三角形高的比等于相似比，进而即可求解． 【详解】解：依题意， ∴ ∵ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 4. 若点，和都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. y 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分别位于第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， ∵，和都在反比例函数的图象上， ∴，在第二象限，在第四象限， ∵， ∴，， ∴， 故选：． 5. 如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等． 连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接，交于点， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即． 故选：A． 6. 如图，用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 把第二个转盘分为相同的三部分：一部分为红，另两部分为蓝，再利用树状图展示所有6种等可能的结果数，找出一个为红色，另一个转出蓝色的所占结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：重新划分如下： 画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中一个为红色，另一个转出蓝色的占3种， 所以可配成紫色的概率． 故选：C． 7. 如图，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点E的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形对诮点坐标，注意掌握关于原点成位似的两个图形，若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或． 以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是的坐标同时乘以或． 【详解】解：点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小， 点的对应点的坐标是：或，即或． 故选：D． 8. 如图，点E为外一点，与交于点F，点D在线段上，连接，，，若，则图中的相似三角形共有（ ） A. 5对 B. 4对 C. 3对 D. 2对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 先利用三边对应成比例得到，得到，，从而得到，又由，得到，则，又，得到，，，得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴图中的相似三角形共有4对， 故选：B． 9. 为了加快数字化城市建设，某地计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了432个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用该市第三个月新建智能充电桩个数=该市第一个月新建智能充电桩个数×（1+该市新建智能充电桩个数的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x， 根据题意得：． 故选：A． 10. 如图，已知，三条对应边，，在同一条直线上，连接，分别交，，于点P，Q，K，若，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是根据相似三角形的判定与性质找到线段间的关系．根据全等三角形对应角相等，可以证明，再根据全等三角形对应边相等，然后利用相似三角形的判定与性质求出，，所以，设的边为，边上的高为，表示出的面积，再根据边的关系和三角形的面积公式即可求出三部分阴影部分的面积． 【详解】解：， ，，， ， ∴，， ，， ，， 又，，， ， 设的边为，边上的高为， 则，整理得， ， ， ， 三个阴影部分面积的和为：． 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，则∠AED的度数为_________． 【答案】150 【解析】 【分析】根据题意先得出AB=BC=BE,EC=BC=DC,并以此求出∠AEB 和∠DEC，进而利用∠AED=360°-∠AEB -∠DEC -∠BEC即可求出∠AED度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形， ∴AB=BC=BE,EC=BC=DC, ∠ABE=∠DCE=90°-60°=30°， ∴∠AEB=∠EAB=（180°-30°）÷2=75°， ∴∠DEC=∠EDC=（180°-30°）÷2=75°， ∴∠AED=360°-∠AEB -∠DEC -∠BEC =360°-75°-75°-60°=150°． 故答案为：150°． 【点睛】本题考查正方形的性质以及等腰、等边三角形的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 12. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______________． 【答案】 【解析】 【分析】设袋子中红球有个，根据摸到黑球的频率稳定在左右，可列出关于的方程，求出的值，从而得出结果． 【详解】解：设袋子中红球有个， 根据题意，得, 经检验是方程的解，且符合题意， ∴盒子中红球的个数约为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握求概率公式是解此题的关键． 13. 若关于的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式，再根据一元二次方程的定义，可得，即可解答． 【详解】解：由题意得， 即， 解得， 根据一元二次方程的定义，可得， 解得， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次根的判别式，熟知根的判别式的符号对应的根的情况是解题的关键． 14. 如图，的顶点A，C在反比例函数的图象上，点B和点D在y轴上，垂直于y轴，若的面积为12，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，运用割补法，得出平行四边形的面积，明确，是解题关键．根据，得出结论． 【详解】解：由图形可知，， 解得， 解得， 反比例函数的图象在第二、四象限， ， ． 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，，的直角顶点P在的延长线上且，E在边上，，EF与边交于点M，若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识．作交的延长线于点，交的延长线于点，由，，，得，可证明，则，求得，由，得，求得，再证明四边形是矩形，则，，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点，交的延长线于点， 四边形是矩形，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能熟练运用公式法和因式分解法解答方程是解此题的关键． （1）先将方程化成一般式，再用公式法求解即可； （2）先将方程化成一般式，再用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： 或， ∴，． 17. 学校在九年级学生中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”知识竞赛，然后把甲、乙两组的竞赛成绩进行了整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识比较强，为网络安全意识一般），并把收集整理的数据制成了如下统计图表： 平均数 中位数 众数 甲组 a 80 80 乙组 83 b 70 根据以上信息回答下列问题： （1）填空：_________，_________； （2）若该校九年级学生有500人，估计九年级学生中“网络安全意识非常强”的有多少人？ （3）现在准备从甲、乙两组得满分的学生中抽取两名学生参加全市比赛，利用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 【答案】（1）83；85 （2）200 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义可求出；根据中位数的定义可求出；根据众数的定义可求出． （2）根据用样本估计总体，用500乘以甲乙两组满分的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果数，再利用概率公式可得出答案． 小问1详解】 解： ． 将乙组学生竞赛成绩按从小到大的顺序排列，排在第5和第6位的成绩分别为80分和90分， ． 故答案为：83；85． 【小问2详解】 解：（人． 估计九年级网络安全意识非常强的人数一共约为200人． 【小问3详解】 解：由图1和图2可知，甲组满分人数为1人，记为，乙组满分人数为2人，分别记为，， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有：，，，，共4种， 抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法概率，用样本估计总体，平均数，中位数，众数，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 18. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点C作的平行线，过点D作的平行线，两线交于点P． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形性质，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定方法，由矩形的性质得出是解决问题的关键． （1）根据，，即可证出四边形是平行四边形，由矩形的性质得出，即可得出结论； （2）根据勾股定理可求，由，可求四边形的面积． 【小问1详解】 证明：∵，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ∴四边形的面积为． 19. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而发生变化．学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中线段轴，为双曲线的一部分）． （1）分别求出线段和双曲线所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围 （2）如果一道数学题需要讲20分钟，为了学生听课效果更好，要求学生的注意力指数不低于40，那么通过怎样的时间安排，教师能在学生听课效果更好的状态下讲完这道题？请通过计算说明． 【答案】（1）， （2）教师应该安排在上课5分钟到25分钟时间内，就能在学生注意力指数不低于40的状态下讲完这道题 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与反比例函数的应用．解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． （1）用待定系数法分别求出线段和双曲线的函数解析式即可； （2）把分别代入（1）中解析式即可求值． 【小问1详解】 解：设线段的解析式为：， 把和代入得，， 解得， 直线的解析式为：； 设双曲线的函数关系式为：， 把代入得，， ， 双曲线的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：当时，则， 解得； 当时，则， 解得， ． 教师应该安排在上课5分钟到25分钟时间内，就能在学生注意力指数不低于40的状态下讲完这道题． 20. 如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐地排列在马路一侧的一条直线上，AB，CD，EF是三个标杆，相邻两个标杆之间的距离都是2 m，已知AB，CD在灯光下的影长分别为BM＝1.6 m，DN＝0.6 m. (1)请画出路灯O的位置和标杆EF在路灯灯光下的影子； (2)求标杆EF的影长． 【答案】（1）见解析；（2）EF的影长为0.4 m 【解析】 【分析】先找出路灯O的位置，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可得出结论． 【详解】（1）如图； （2）过O作OH⊥MG于点H，设DH＝xm． ∵AB∥CD∥OH，∴△ABM∽△OHM，△CDN∽△OHN，∴，． ∵AB=CD，∴，即，解得：x＝1.2． 设FG＝ym，同理得：，即，解得：y＝0.4． 答：EF的影长为0.4m． 【点睛】本题考查了中心投影以及相似三角形的判定与性质．解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了方程的思想． 21. 水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售． 销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 【答案】要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低1元； 【解析】 【分析】本题为一元二次方程典型应用，设每斤水果降价x元，则每天多售出200x斤，根据每日利润=每斤利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据每天至少售出260斤，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可确定x的值，此题得解． 【详解】设这种水果每斤的售价降价x元， 则(4－2－x)(100＋200x)＝300. 解得x1＝1，x2＝. 当x＝1时，每天的销量为300斤； 当x＝时，每天的销量为200斤． 因为为保证每天至少售出260斤，所以x2＝不合题意，应舍去． 此时每斤的售价为4－1＝3(元)． 答：销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低1元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据每日利润=每斤利润×销售数量，列出关于x的一元二次方程是解题的关键，特别关注销售量与降价幅度有关系. 22. 在矩形中，，，当时，我们把这个矩形叫做“等和积矩形”．根据此定义，解答下列问题： （1）如图1，若矩形是“等和积矩形”，且，请直接写出a的值； （2）分别以矩形的边，所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，点D在第一象限，点B与点O重合，若“等和积矩形”的面积为8，求点D的坐标； （3）从函数的角度研究“等和积矩形”，已知一个“等和积矩形”的邻边长分别为x，y（）． ①请直接写出y与x之间的函数关系式： ②研究①中的函数关系式，就会发现该函数的图象可以通过反比例函数的图象经过平移得到，请直接在图2中画出1中函数的图象，观察图象，写出该函数的两条性质； ③如果将“等和积矩形”的邻边长分别增加1，那么这个新矩形还是不是“等和积矩形”？请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）①；②图见解析，性质∶ 当时，y随x的最大而减小(答案不唯一)；③将“等和积矩形”的邻边长分别增加1，那么这个新矩形不一定是“等和积矩形”，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据，，即可求解； （2）根据，，求a、b值，即可求解； （3）①根据得；②由平移的性质画出函数图象即可，观察函数图象得到函数性质；③由，，则当时， ，当时， ，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ 解得：，(舍去)， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，得，， 则， ∴ 解得：，， ∴或， ∴或， ∵点D在第一象限， ∴点D的坐标或． 【小问3详解】 解：①∵ ∴； ②通过反比例函数图象向右平移1个单位向上平移1个单位平移得到的图象，如图所示， 从函数图象看， 当时，y随x的增大而减小． ③将“等和积矩形”的邻边长分别增加1，那么这个新矩形不一定是“等和积矩形” 理由：∵ ∴， 当时， ， 当时， ， ∴将“等和积矩形”的邻边长分别增加1，那么这个新矩形不一定是“等和积矩形”． 【点睛】本题考查新定义，图象的平移，矩形的性质，点的坐标，反比例函数的性质，作函数图象等，有一定的综合性，难度适中． 23. 【问题提出】： 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，（），交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数 （2）再探究一般情形，如图1，求的度数：（用含的代数式表示） 【问题拓展】： （3）如图3，当，时，若点G为边的三等分点，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作的延长于H，，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．由（2）知，，通过证明，求出或，由（2）知：，，利用等腰三角形与赼有三角形的性质，以及勾股定理即可求解. 【详解】解：（1）过点作延长于H， ∵， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵菱形， ∴， ， ， ． （2）在上截取，使，连接． ，， ． ∵菱形， ∴， ， ． ． ， ， ． ． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．如图， ，点G为边的三等分点， ∴或， ，或，． ∵菱形， ∴ ∴ ，， 由（2）知， ， ． 或 ∴或． 由（2）知：，， ∴或， ∵，， ∴或， ∵，， ∴ ∴ 由勾股定理，得，即， ∴或． 【点睛】此题考查菱形性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟悉菱形性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期期末质量监测 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 每一条对角线都平分一组对角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 2. 运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（　　） A. B. C D. 3. 如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸，则的长应是（ ） A. 15 B. 30 C. 20 D. 10 4. 若点，和都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. y 5. 如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点E的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，点E为外一点，与交于点F，点D在线段上，连接，，，若，则图中的相似三角形共有（ ） A 5对 B. 4对 C. 3对 D. 2对 9. 为了加快数字化城市建设，某地计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了432个充电桩，设该市新建智能充电桩个数月平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，三条对应边，，在同一条直线上，连接，分别交，，于点P，Q，K，若，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 13 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，则∠AED的度数为_________． 12. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______________． 13. 若关于的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 14. 如图，的顶点A，C在反比例函数的图象上，点B和点D在y轴上，垂直于y轴，若的面积为12，则k的值为_____． 15. 如图，矩形中，，，的直角顶点P在的延长线上且，E在边上，，EF与边交于点M，若，则线段的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1） （2） 17. 学校在九年级学生中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”知识竞赛，然后把甲、乙两组的竞赛成绩进行了整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识比较强，为网络安全意识一般），并把收集整理的数据制成了如下统计图表： 平均数 中位数 众数 甲组 a 80 80 乙组 83 b 70 根据以上信息回答下列问题： （1）填空：_________，_________； （2）若该校九年级学生有500人，估计九年级学生中“网络安全意识非常强”的有多少人？ （3）现在准备从甲、乙两组得满分的学生中抽取两名学生参加全市比赛，利用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 18. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点C作的平行线，过点D作的平行线，两线交于点P． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形面积． 19. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而发生变化．学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中线段轴，为双曲线的一部分）． （1）分别求出线段和双曲线所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围 （2）如果一道数学题需要讲20分钟，为了学生听课效果更好，要求学生注意力指数不低于40，那么通过怎样的时间安排，教师能在学生听课效果更好的状态下讲完这道题？请通过计算说明． 20. 如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐地排列在马路一侧的一条直线上，AB，CD，EF是三个标杆，相邻两个标杆之间的距离都是2 m，已知AB，CD在灯光下的影长分别为BM＝1.6 m，DN＝0.6 m. (1)请画出路灯O的位置和标杆EF在路灯灯光下的影子； (2)求标杆EF的影长． 21. 水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售． 销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 22. 在矩形中，，，当时，我们把这个矩形叫做“等和积矩形”．根据此定义，解答下列问题： （1）如图1，若矩形是“等和积矩形”，且，请直接写出a的值； （2）分别以矩形的边，所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，点D在第一象限，点B与点O重合，若“等和积矩形”的面积为8，求点D的坐标； （3）从函数的角度研究“等和积矩形”，已知一个“等和积矩形”的邻边长分别为x，y（）． ①请直接写出y与x之间的函数关系式： ②研究①中的函数关系式，就会发现该函数的图象可以通过反比例函数的图象经过平移得到，请直接在图2中画出1中函数的图象，观察图象，写出该函数的两条性质； ③如果将“等和积矩形”的邻边长分别增加1，那么这个新矩形还是不是“等和积矩形”？请说明理由． 23. 【问题提出】： 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，（），交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数 （2）再探究一般情形，如图1，求的度数：（用含的代数式表示） 【问题拓展】： （3）如图3，当，时，若点G为边的三等分点，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $