二次函数的角度存在性问题 2025年中考数学复习浙教版知识点训练

二次函数的角度存在性问题—2025中考数学复习浙教版知识点训练 一、二次函数的角度存在性问题 1．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且B（4，0），BC＝4． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求S1﹣S2的最大值； （3）如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使∠QFE＝2∠OCA？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标； （3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线的顶点，连接，将抛物线绕点旋转得到抛物线． （1）求抛物线的解析式． （2）连接，，求的值． （3）连接，是抛物线上的点，若满足，求点的坐标． 4．在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，交轴于两点（点在点的左侧） （图1） （图2） （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点为线段下方抛物线上一动点，过点作交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，问在平移后的拋物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点且交轴于点，点，交轴于点，顶点为，连接，． 备用图 （1）求抛物线的表达式． （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作交轴于点，轴交于点，求的最大值，以及此时点的坐标． （3）连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度后交轴于，两点在右侧），在新抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 6．如图1，已知抛物线（a，b为常数，）经过点，，与y轴交于 点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图2，若点P为第二象限内抛物线上一点，连接、、、，当与的面积和最大时，求点P的坐标及此时与的面积和； （3）如图3，点Q是抛物线上一点，连接，当时，求点Q的坐标． 7．如图，抛物线与x轴交于点与点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）在点P的运动过程中，是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）当点P在第一象限时，连接，设的面积为，的面积为，求的取值范围． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，交轴于点A，交轴于点，，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，是轴上一点，连接，使，求的最大值及此时点的坐标； （3）将原抛物线沿方向平移个单位长度，在新抛物线上有一点，使得，请写出所有符合条件的横坐标，并写出其中一种情况的过程． 9．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，C，D两点的坐标分别为(-4，5)，(0，5). （1）求A，B两点的坐标； （2）若二次函数.的图象经过点C，且与平行于x轴的直线l始终有两个交点M，N(点M在点N的左侧)，P为该抛物线上异于M，N的一点，点N，P的横坐标分别为n，n+2.当n的值发生变化时，的度数是否也发生变化?若变化，请求出∠PMN度数的范围；若不变，请说明理由； （3）若二次函数.的图象与线段CD只有一个交点，求a的取值范围. 10． 在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：（k、m为常数且），当直线l与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线t与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”． （1）求直线与双曲线的切点坐标； （2）已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线与都相切于同一点？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，抛物线的顶点坐标为B，点P为y轴上一点．在平面内存在点M，使，且这样的点P有且只有一个，则点P的坐标为　 　． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：∵B（4，0）， ∴OB＝4， 把，代入函数解析式得： 解得：， （2）解：∵B（4，0），C（0，4）， ∴设直线BC的解析式为：y＝kx+4（k≠0），把B（4，0）代入，得：k＝﹣1， ∴y＝﹣x+4， 设，则， ，，， ， 当时，的最大值为； （3）解：令，解得：x1＝﹣2，x2＝4， ∴A（﹣2，0）， ∵C（0，4），点E为AC的中点， ∴E（﹣1，2）， 连接CF，如图： ∵FE⊥AC， ∴AF＝CF， ∴∠AFE＝∠CFE， 设OF＝a，则CF＝AF＝a+2， 在Rt△COF中，由勾股定理，得：a2+42＝（a+2）2， ∴a＝3， ∴F（3，0），CF＝5， ∵FE⊥AC，∠AOC＝90°， ∴∠AFE＝∠OCA＝90°﹣∠CAF， ∴∠AFE＝∠OCA＝∠CFE. ①取点E关于x轴的对称点E1，连接FE1交抛物线于点Q1，则：∠Q1FE＝2∠EFA＝2∠OCA，E1（﹣1，﹣2）， 设FE1的解析式为：y＝k1x+b， 则：，解得：， 联立， 解得：(舍去)或， ②取E关于CF的对称点E2，连接EE2交CF于点G，连接FE2交抛物线于点Q2，则：∠Q2FE＝2∠CFE＝2∠OCA，EG⊥CF， 过点作轴，则：， ， 设直线的解析式为：， 则：， 解得： 联立 解得：(舍去)或 综上所述，或. 2．【答案】（1）解：∵函数的图象与x轴相交于原点O， ∴0＝k+1，即k＝﹣1， ∴y＝x2﹣3x， （2）解：假设存在点B，过点B作BD⊥x轴于点D， ∵△AOB的面积等于6， ∴AO•BD＝6， 当0＝x2﹣3x，即x（x﹣3）＝0， 解得：x＝0或3， ∴AO＝3，BD＝4 即4＝x2﹣3x， 解得：x＝4或x＝﹣1（舍去）． y＝x2﹣3x＝（x﹣）2﹣， ∴顶点坐标为：（1.5，﹣2.25）． ∵2.25＜4， ∴x轴下方不存在B点， ∴点B的坐标为：（4，4）； （3）解：存在 ∵点B的坐标为：（4，4）， ∴∠BOA＝45°， BO＝， 当∠POB＝90°， ∴∠POD＝45°， 设P点横坐标为：x，则纵坐标为：x2﹣3x， 即﹣x＝x2﹣3x，解得x＝2 或x＝0（舍去）， ∴点P的坐标为：（2，﹣2） ∴在抛物线上仅存在一点P（2，﹣2）． 3．【答案】（1）解：对于，当时，；当时，， 解得，， ∴， 又， ∴抛物线的顶点P的坐标为， 设点A关于原点对称的点的坐标为， 由旋转知，的顶点坐标为，且过点， ∴设的解析式为， 把代入得， 解得，， ∴的解析式为； （2）解：∵， ∴ ∴， 过点B作于点E，如图， ， 则， ∴， ∴ （3）解：∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴； 分两种情况： （i）当点Q在y轴左侧时，如图，过点Q作轴于点F， ∵， ∴， 设点的坐标为，则：，， ∴， 解得，， 经检验，是原方程的根， 又， ∴， 此时，点的坐标为； （ii）当点在轴右侧时，如图， ∵点A关于原点对称的点的坐标为， ∴， 连接，则有：， ∴ ∴点与点重合， ∴， 综上，点Q的坐标为或 4．【答案】（1）过 （2）作轴交于点 设 ， 开口向下 对称轴为直线 当时， 的最大值为16 （3）右2下2 5．【答案】（1）过点且交轴于 抛物线的表达式为： （2）点是抛物线与轴的左交点，是抛物线与轴的交点 ， 直线解析式为： 过点作轴交于点，交轴于点 ，轴， 设则， ， ，开口向下，而对称轴为直线在的范围内 当时，有最大值，即． 此时 （3）解：过点D作轴于点P，如图所示： ∵抛物线， ∴顶点， ， ， ， ∴原抛物线沿射线方向平移个单位长度时，相当于向上平移个单位，向右平移个单位， ∴新的抛物线的表达式为： ， 令， 解得：，， ∴，， 当点在轴上方时，如图所示： ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：，（舍去）， 把代入得， ∴此时G点坐标为； 当点在轴下方时，如图所示： ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：，（舍去）， 把代入得， ∴此时G点坐标为； 综上分析可知，点G的坐标为：或． 6．【答案】（1）∵抛物线点，， ∴， 解方程组得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图2，连接，， 由， ∴，而，， ∴，， 设， ∴，， ， ∴与的面积和 ， 当时，面积和最大， 最大面积为：； ∴； （3）如图3，连接，记，的交点为K，过K作于T， ∵，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， 解得：或， ∴， ∵K关于x轴对称的点， 此时与抛物线的交点Q也符合题意； 同理可得：直线的解析式为：， ∴， 解得：或， ∴， 综上：或． 7．【答案】（1）解：将，，代入得，，解得，， 所以抛物线的解析式为； （2）解：如图①，连接，过作直线，使，过作于，过作轴于，作于， 所以， 所以， 因为， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 设，则，，，， 所以，， 解得，， 所以， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， 所以直线的解析式为， 联立， 解得，或， 所以， 所以存在点P，使，； （3）解：如图②，过作轴于， 设，则， 所以，， 所以， 由题意知，， 所以，， 所以， 所以的取值范围为． 8．【答案】（1）解： 将点，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ， ， ， ∵，， ∴当时，的最大值为，此时； （3）解：， 抛物线沿轴正半轴平移3个单位长度，沿轴负半轴平移1个单位长度，又， 平移后的抛物线解析式为， 如图，作点关于轴的对称点，则， 直线的解析式为， ， ， ， ①当，且Q在A的左边时， 过点与平移的直线解析式为， 当时，解得（舍去）或， 点横坐标为； 设直线上一点， 当时，，此时点Q在的延长线上， ， 解得， ， 直线的解析式为， 当时，（舍去）或； 点横坐标为； 综上所述：点横坐标为或． 9．【答案】（1）解：在中，令得，解得或， （2）解：当的值发生变化时，的度数不发生变化；理由如下： 过作，交直线MN于，如图： 把代入得： ，解得， ， 点N，P的横坐标分别为， ， 轴，抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 当的值发生变化时，的度数不发生变化； （3）解：， 拋物线的对称轴为直线， 顶点坐标为，拋物线与轴交点为， ①当时，， 抛物线与轴交点在下方，顶点在直线下方，如图： 在中，令得， ， ，即时抛物线过点， 由图可知，当时，二次函数的图象与线段CD只有一个交点； ②当时，若顶点在线段CD时，如图： 此时，解得； 若顶点在直线上方，即时，如图： 二次函数的图象与线段CD只有一个交点，， 解得此时满足， 综上所述，二次函数的图象与线段CD只有一个交点，的取值范围是或或． 10．【答案】（1）解：联立，得：， 整理得：， 解得：， 当时，， 则切点坐标为：． （2）解：存在，理由： ∵与相切， 联立，得， 整理得： 解得：， 当时，， 则切点为：； ∵直线与，都相切于同一点， 即与的切点在图象上， 将、代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， ∵与相切， 联立，得， 整理得：， 则该一元二次方程有唯一解，即， 整理得： 解得：， 故抛物线的表达式为：． （3） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$