第1章 培优课 与ex，ln x有关的常用不等式 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

第1章S13导数在研究函数中的应用 培优课 与ex,ln.x有关的 常用不等式 内容索引 一、经典不等式er≥x+1 二、经典不等式lnx≤x-1 三、与e和n有关的不等式 课时对点练 经典不等式e≥x+1 例1证明不等式e≥x+1. 证明 设x)=er-x-l, 则f(x)=e-1,由f(x)=0,得x=0, 所以当x<0时，(x)<0;当x>0时，f(x)>0, 所以x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 所以x)≥0)=0，即e-x-1≥0，所以e≥x+1. 反思感悟 与e有关的常用不等式 (I)e≥1+x(x∈R). (2)er≥ex(x∈R). 跟踪训川练1求证：e-1≥x 证明 方法一令H(x)=e-1-x, 则H′(x)=e-1一1. 若x<1,则H′(x)<0,H(x)在(-∞，1)上单调递减； 若x>1,则′(x)>0,Hx)在(I,+∞)上单调递增. ∴.Hx)min=H1)=0,∴.Hx)≥0， .e-1≥x. 方法二令t=x一1，则x=t十1.由e≥t+1,得er-1≥x. 返回 二 经典不等式lnx≤x-1 例2证明不等式lnx≤x-1. 证明 由题意知x>0,令x)=x一1-lnx, 所以f)=1-1=x-] xx 所以当f(x)>0时，x>1; 当f(x)<0时，0<x<1, 故x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以x)有最小值1)=0， 故有x)=x一1-lnx≥1)=0，即lnx≤x-1成立. 延伸探究 L.证明不等式ln(x+1)≤x. 证阴 +11x 由题意知心-1，合f)=1n十1)一x,所以f)=士 x+1 所以当(x)>0时，一1<x<0; 当f(x)<0时，x>0, 故x)在(-1,0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减， 所以x)有最大值0)=0， 故有x)=ln(x+1)-x≤f0)=0,即ln(x+1)≤x成立. 2已知x0,求证：十(1+