第1章 导数及其应用 章末复习课 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

章末复习课 第1章　导数及其应用 知识网络 一、导数的几何意义与运算 二、用导数研究函数的单调性、极值、最值 三、与导数有关的综合性问题 内容索引 一 导数的几何意义与运算 1.此部分内容涉及导数的几何意义，基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导，作为数形结合的桥梁，导数的几何意义成为最近几年高考的高频考点，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值，难度中低档. 2.通过求切线方程的有关问题，培养数学运算、数学抽象等核心素养. √ 6 (2)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为 A.y＝－2x－1 B.y＝－2x＋1 C.y＝2x－3 D.y＝2x＋1 √ ∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2， ∴f(1)＝－1，f′(1)＝－2， ∴所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)， 即y＝－2x＋1. 7 (1)熟练掌握基本初等函数的求导法则，掌握函数的和、差、积、商的求导法则，复合函数求导的关键是分清层次，逐层求导，求导时不要忘了对内层函数求导即可. (2)求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异. 反思感悟 8 跟踪训练1　(1)已知曲线f(x)＝aln x＋x2在点(1,1)处的切线与直线x＋y＝0平行，则实数a的值为 A.－3 B.1 C.2 D.3 √ 则曲线在点(1,1)处的切线斜率k＝a＋2， 由切线与直线x＋y＝0平行，可得k＝－1， 即a＋2＝－1，解得a＝－3. 9 (2)设f′(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)＝xln(2x－1)，则f′(1)＝____. 2 因为f(x)＝xln(2x－1)， 10 二 用导数研究函数的单调性、极值、最值 1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题，是最近几年高考的重点内容，难度中高档. 2.通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养. 例2　已知函数f(x)＝ex＋ax2－x. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； 当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x， 则f′(x)＝ex＋2x－1，令φ(x)＝ex＋2x－1， 由于φ′(x)＝ex＋2>0， 故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0， 故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增. 13 14 ①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意； 15 令t(x)＝h′(x)，x>0，则t′(x)＝ex－1>0， 故h′(x)单调递增，h′(x)>h′(0)＝0， 故函数h(x)单调递增，h(x)>h(0)＝0， 故当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 16 (1)利用导数判断函数的单调性是解决应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的. (2)特别注意：①极值点是f′(x)的变号零点，除了找f′(x)＝0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性；②求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较端点值大小才能下结论. 反思感悟 17 (1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程； 当a＝0时，f(x)＝ln x＋x， 则f(1)＝1，所以切点为(1,1). 故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 18 (2)令g(x)＝f(x)－ax＋1，求函数g(x)的极值. 19 因为g(x)＝f(x)－ax＋1＝ln x－ax2＋(1－a)x＋1(x>0)， 当a≤0时，因为x>0，所以g′(x)>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值. 20 综上，当a≤0时，函数g(x)无极值； 21 三 与导数有关的综合性问题 1.以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间.导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具，多以选择题和填空题的形式出现，难度中低档.从近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一般出现在解答题中.其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.一般出现在高考题解答题中，难度中高档. 2.通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，解决函数方程问题，提升逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养. 例3　设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R. (1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间； 24 由f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，得f′(x)＝ln x－2ax＋2a， 当a≤0时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增； 所以当a≤0时，函数g(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间； 25 (2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围. 26 由题意得f′(1)＝0，由(1)知， ①当a≤0时，f′(x)单调递增. 所以当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意. 所以当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 所以f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意. 27 所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，无极值，不符合题意. 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 所以f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意. 28 综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数学中的思想方法，关键是分类讨论时，是否做到了不重不漏；数形结合时是否掌握了函数图象的变化趋势；构造函数时是否合理等问题. 反思感悟 29 跟踪训练3　已知函数f(x)＝asin x－x＋b(a，b均为正实数). (1)证明：函数f(x)在(0，a＋b]内至少有一个零点； ∵f(0)＝b>0，f(a＋b)＝asin(a＋b)－(a＋b)＋b＝a[sin(a＋b)－1]≤0， ∴f(0)·f(a＋b)≤0， ∴函数f(x)在(0，a＋b]内至少有一个零点. 30 31 ∵f(x)＝asin x－x＋b， ∴f′(x)＝acos x－1. 32 ∴g(x)max＝g(0)＝1，∴b>1. 故实数b的取值范围是(1，＋∞). 33 例1　(1)已知函数f(x)＝，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)等于 A. B. C. D. 根据题意，知函数f(x)＝， 则f′(x)＝＝＝. 由f(x)＝aln x＋x2，得f′(x)＝＋2x， 所以f′(x)＝ln(2x－1)＋·(2x－1)′ ＝ln(2x－1)＋，则f′(1)＝2. (2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围. 由f(x)≥x3＋1得，ex＋ax2－x≥x3＋1，其中x≥0， ②当x>0时，分离参数a得，a≥－， 令g(x)＝－，x>0， 则g′(x)＝－， 令h(x)＝ex－x2－x－1，x>0，则h′(x)＝ex－x－1， 由h(x)>0可得ex－x2－x－1>0恒成立， 因此，g(x)max＝g(2)＝， 综上可得，a的取值范围是. 跟踪训练2　已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x，a∈R. 又f′(x)＝＋1，所以切线斜率k＝f′(1)＝2， 所以g′(x)＝－ax＋(1－a)＝. 当a>0时，g′(x)＝， 令g′(x)＝0，得x＝或x＝－1(舍去)， 所以当x∈时，g′(x)>0；当x∈时，g′(x)<0， 因此，函数g(x)的单调递增区间是，单调递减区间是， 所以当x＝时，g(x)取得极大值，极大值为g＝－ln a，无极小值. 当a>0时，函数g(x)有极大值－ln a，无极小值.  g(x)＝f′(x)＝ln x－2ax＋2a，x>0，则g′(x)＝－2a＝. 当a>0，x∈时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增， 当x∈时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减. 当a>0时，函数g(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. ②当0<a<，即>1时，f′(x)在上单调递增， 当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增， ③当a＝，即＝1时，f′(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ④当a>，即0<<1时，f′(x)在上单调递减， 当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 综上所述，实数a的取值范围是. (2)设函数f(x)在x＝处有极值，对于一切x∈，不等式f(x)>sin x＋cos x恒成立，求实数b的取值范围. ∵0≤x≤，∴≤x＋≤， 由题意得f′＝0，即acos －1＝0，得a＝2， 则问题等价于b>x＋cos x－sin x对于一切x∈恒成立. 记g(x)＝x＋cos x－sin x，x∈， 则g′(x)＝1－sin x－cos x＝1－sin. ∴≤sin≤1，即1≤sin≤， ∴g′(x)≤0，即g(x)在上单调递减， $$