2.2.2 空间向量的数量积 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

第2课时 空间向量的数量积 第2章　§2.2　空间向量及其运算 1.了解空间向量的夹角. 2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 4.能够运用数量积解决空间中的夹角、距离及垂直问题. 学习目标 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝F·s＝|F||s|cos α，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念. 导语 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 一、空间向量的数量积 二、投影向量与投影 课时对点练 三、空间向量数量积的性质及应用 随堂演练 内容索引 空间向量的数量积 一 问题1　类比平面向量的夹角的概念，空间向量的夹角是怎样定义的？ 提示　由于空间任意两个向量a，b都可以平移到同一个平面内，类比平面向量夹角的定义，我们把平移后两向量的夹角称为空间向量a，b的夹角. 问题2　类比平面向量数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？ 提示　a·b＝|a||b|cos〈a，b〉为a与b的数量积. 1.空间向量的夹角 (1)定义： 如图，由于空间任意两个向量a，b都可以平移到同一个平面OAB内，借助平面向量夹角的定义，我们任选一点O，作 则∠AOB称为向量a，b的夹角，记作 . (2)取值范围： . ①当〈a，b〉＝ 时，向量a与b垂直，记作a⊥b. ②当〈a，b〉＝0或π时，向量a与b平行，记作a∥b. 〈a，b〉 [0，π] 知识梳理 2.空间向量的数量积 (1)定义a·b＝ 为a与b的数量积. 特别地，a·a＝|a|2，|a|＝ ，a·b＝0⇔a⊥b. |a||b|cos〈a，b〉 知识梳理 (3)空间向量的数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝ ，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝_________ λ(a·b) a·b＋a·c 注意点： (1)两个向量的数量积是数量，而不是向量. (2)零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. 知识梳理 例1　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： 10 11 12 13 14 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判断夹角的大小，才能使a·b计算准确. 反思感悟 15 √ 16 －1 17 二 投影向量与投影 1.投影向量与投影 知识梳理 19 2.数量积的几何意义：a与b的数量积等于a的模|a|与b在a方向上的投影 的乘积，也等于b的模|b|与a在b方向上的投影 的乘积. 注意点： (1)投影可正、可负、也可为零，这是由两非零向量的夹角决定的. (2)投影不一定是投影向量的模.当两向量的夹角小于或等于90°时，投影才是投影向量的模. |b|cos α |a|cos α 知识梳理 20 －2e 21 ∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，BC⊂平面PBC，BC⊥PB， ∴BC⊥平面PAB， 又AB⊂平面PAB，∴CB⊥AB， 又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB， 22 (2)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影为____. 1 ∵a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6， 23 (1)求投影向量时首先确定向量a的模与b同向的单位向量e及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式|a|cos θ·e计算. 反思感悟 24 跟踪训练2　(1)已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12且e是与b方向相同的单位 向量，则a在b方向上的投影向量为________. 25 26 三 空间向量数量积的性质及应用 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝ . (2)a⊥b⇔ . (3)当a，b同向时，a·b＝ ； 当a，b反向时，a·b＝ . (4)a·a＝ 或|a|＝ . (5)|a·b|≤ . a·b＝0 |a|2 |a||b| 以上性质说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题. 知识梳理 28 例3　(1)如图，已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，侧棱AA1的长为2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求： ①AC1的长； 29 30 ②直线BD1与AC所成角的余弦值. 31 32 33 (2)已知在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. 34 如图所示，连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ， 35 36 (1)用数量积求两点间距离的步骤 ①将两点间的连线用向量表示. ②用其他向量表示此向量. ③用公式a·a＝|a|2，求|a|. (2)用向量法求夹角、证明垂直关系的步骤 利用数量积的定义可得cos〈a，b〉＝ ，求出〈a，b〉的大小，进 而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况. 反思感悟 37 跟踪训练3　如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长. 38 ∵CA⊥AB，BD⊥AB， 39 1.知识清单： (1)空间向量的夹角、投影向量、投影. (2)空间向量的数量积、性质及运算律. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区： (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定. (2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 √ 42 2.已知空间向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(a－2b)·a等于 A.12 B.8 C.4 D.14 1 2 3 4 √ (a－2b)·a＝a2－2b·a＝|a|2－2|a|·|b|cos 120° 又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉， 1 2 3 4 1 2 3 4 60° 1 1 2 3 4 方法一　连接A1D(图略)， 即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°， 1 2 3 4 方法二　根据向量的线性运算可得 课时对点练 五 1.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ＝2×2×cos 60°＋2×1×cos 120°＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ A正确，a2＝|a|2cos 0°＝|a|2； B错误，向量不能做比值； C错误，(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝|a|2·|b|2·cos2θ≤a2·b2； D正确，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由a与2b－a互相垂直，得a·(2b－a)＝0，即2a·b＝|a|2＝4，解得a·b＝2， 又0°≤〈a，b〉≤180°， ∴〈a，b〉＝45°. 7.已知向量a，b，|a|＝6，|b|＝8，〈a，b〉＝120°，则a在b方向上的投 影向量为________，b在a方向上的投影向量为________. 根据投影向量的定义，得a在b方向上的投影向量为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝_____. 60° 由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0， (a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0， 代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点.求下列向量的数量积： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图所示，在空间四面体OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ (a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c ＝1＋1＋4－2cos 60°＝5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，AB＝1，PD＝2，则异面直线PA与BD所成角的余弦值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵OA，OB，OC两两垂直， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [0,1] 15.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点， 则 (i＝1,2，…，8)的不同值的个数为 A.8 B.4 C.2 D.1 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AC＝ ，∠ACD＝90°，沿对角线AC将△ACD折起，使AB与CD的夹角为60°，求此时B，D之间的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵AB与CD的夹角为60°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝a，＝b， (2)对于两个非零向量a，b，由a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉得cos〈a，b〉＝. ＝||·||·cos〈，〉 ＝×1×1×cos 60°＝， 所以·＝. (1)·；  ·＝· ＝×1×1×cos 0°＝， 所以·＝. (2)·；  ·＝·＝||·||·cos〈，〉 ＝×1×1×cos 120°＝－， 所以·＝－. (3)·；  ·＝·＝||·||·cos〈，〉 (4)·. ＝[－·－·＋(－)·＋·] ＝×＝－. 所以·＝－.  ·＝(＋)·(＋) ＝[·(－)＋·(－)＋·＋·] 跟踪训练1　(1)如图，空间四面体ABCD的每条棱都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则·等于 A. B. C. D. ∵＝，∴·＝·＝×1×1×cos 60°＝. ＝2×＝－1. (2)若a，b，c为空间中两两夹角为的单位向量，＝2a－2b，＝b－c，则·＝______. 由题意得，a·b＝b·c＝c·a＝12×cos ＝， 则·＝2(a－b)·(b－c)＝2(a·b－a·c－b2＋b·c) |||cos α| 如图，将空间任意两个向量a，b平移到同一个平面内，可得＝a，＝b，〈a，b〉＝α.过点B作BB1⊥OA，垂足为点B1，则为在方向上的投影向量，投影向量的模||＝ 称为投影长. 取方向上的单位向量e来度量投影向量，类比平面向量，可得＝(||cos α)e，我们称||cos α为在方向上的投影. 例2　(1)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，BC⊥PB，PA＝2，PB＝2.若方向上的单位向量为e，则在向量方向上的投影向量为______. 故在方向上的投影向量为＝－2e. ∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b＝2×22－2×6×＝2， ∴2a－b在a方向上的投影为＝＝1. (2)a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝. －e 由于cos〈a，b〉＝＝－＝－， 所以a在b方向上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·e＝3×·e＝－e. ∴|a|cos〈a，b〉＝， ∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×＝. (2)已知|b|＝3，a在b方向上的投影为，则a·b＝_____. ∵a在b方向上的投影为， (6)cos θ＝. cos θ － ∴·＝2×1×cos 120°＝－1， 同理·＝－1，·＝0， ∴||2＝2，∴AC1的长为. ||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·， 由已知得||2＝4，||2＝||2＝1，〈，〉＝〈，〉＝120°，〈，〉＝90°， ||2＝||2＋2·＋||2＝2， ∴||＝，||＝. ∵·＝(＋－)·(＋)＝·＋·＋·＋  2－2－·＝－1－1＋0＋1－1－0＝－2， ∵＝＋－，＝＋， ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·－2·－2·＝1＋4＋1＋2×(－1)－0－2×(－1)＝6， ∴cos〈·〉＝＝＝－. ∴直线BD1与AC所成角的余弦值为. ＝(a＋b＋c)，＝－＝c－b. ∴·＝(a＋b＋c)·(c－b) ＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c) 又设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|. 又＝(＋)＝ ＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0. ∴⊥，即OG⊥BC. ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2· ＝||2＋||2＋||2＋2||||·cos〈，〉 ＝62＋42＋82＋2×6×8×＝68， ∴||＝2，故CD的长为2. ∴〈，〉＝120°. ∵＝＋＋，且·＝0，·＝0， 由题意，可得＝， 所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°. 1.在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° ＝4－2×2×5×＝14. 因为|a－b|＝，所以(a－b)2＝7，所以a·b＝， 所以cos〈a，b〉＝. 3.已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝_____. 4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与的夹角为______，·＝____. 在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝， 即与的夹角为60°， 因此·＝××cos 60°＝1. 则∠PA1D就是与的夹角，连接PD(图略)， 由题意可得PA1＝B1C＝， 则××cos〈，〉＝1， 从而〈，〉＝60°.  ·＝(＋)·＝2＝1. A.与 B.与 C.与 D.与 2.已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E是AD的中点，则·等于 A.1 B.－1 C. D.－ 由题意可知，＝＋， ∴·＝·(＋)＝·＋· 3.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° 设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，所以θ＝120°， 4.(多选)设a，b为空间中的任意两个非零向量，则下列各式中正确的是 A.a2＝|a|2 B.＝ C.(a·b)2＝a2·b2 D.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 5.在底面是正方形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，∠A1AD ＝∠A1AB＝，则||等于 A.2 B.2 C.3 D. 由题意知||2＝2 ＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2· ＝1＋1＋4＋2×1×1×cos ＋2×2×1×cos ＋2×2×1×cos ＝10， 则||＝. 6.已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则〈a，b〉等于 A.30° B.45° C.60° D.90° ∴cos〈a，b〉＝＝＝， |a|cos〈a，b〉＝＝－b，  b在a方向上的投影向量为|b|cos〈a，b〉·＝＝－a. －b －a 与向量a，b同方向的单位向量分别为，. 两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝|b|2， 所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝60°. (1)·； 在空间四边形ABCD中，＝＝a，且〈，〉＝60°， ∴·＝a2cos 60°＝a2. (2)·； ＝a，＝a，〈，〉＝60°， ∴·＝a2cos 60°＝a2. (3)·； ＝a，||＝a， 又∥，〈，〉＝π， ∴·＝a2cos π＝－a2. (4)·. ∵＝a，＝a，∥， ∴〈，〉＝〈，〉＝60°. ∴·＝a2cos 60°＝a2. 由题意得2＝2＝2＝4， ·＝||||cos〈，〉＝2×2×cos 60°＝2， 同理可得·＝·＝2， 因为＝＋＝＋(＋) ＝＋[(－)＋(－)]＝－＋＋， 所以2＝2＋2＋2＋2××·＋2××·＋2××·＝2. 所以||＝，即E，F间的距离为. 11.已知向量a，b，c两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|等于 A. B.5 C.6 D. ∴|a－b＋2c|＝. A.－ B. C.－ D. 由题意知，DA⊥DC，＝－，＝＋， 故·＝(－)·(＋) ＝2＋·－·－·＝1， ＝＝，＝＝， cos〈，〉＝＝＝， 所以异面直线PA与BD所成角的余弦值为. 13.在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝_______. ∴·＝·＝·＝0，且＝， 故·(＋＋) ＝(＋＋)2＝(||2＋||2＋||2)＝×(1＋4＋9)＝. 14.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是________. 依题意，设＝λ，λ∈[0,1]，  ·＝·(＋)＝·(＋λ)＝2＋λ· ＝1＋λ×1××＝1－λ， 又λ∈[0,1]，因此·的取值范围是[0,1].  ·  ·＝·(＋)＝2＋·， ∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥， ∴·＝0，∴·＝||2＝1， 则·(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为1. ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2· ∵∠ACD＝90°，∴·＝0，·＝0. ∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°. ∵＝＋＋， ＝22＋()2＋22＋0＋2×2×2×cos〈，〉＋0 ＝10＋8cos〈，〉. 当〈，〉＝60°时，||2＝10＋8cos〈，〉＝10＋8×cos 60°＝14，即||＝； 当〈，〉＝120°时，||2＝10＋8cos〈，〉＝10＋8× cos 120°＝6，即||＝. 综上，B，D之间的距离为或. $$