2.1.2 空间两点间的距离 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

2.1.2　空间两点间的 距离 第2章　§2.1　空间直角坐标系 1.掌握空间两点间的距离公式的推导过程. 2.能够运用空间两点间的距离公式解决有关问题. 学习目标 “距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距离是多少，汽车的刹车距离是多少，等等.数学中的“距离”概念是从生活中的具体问题中抽象出来的. 导语 一、求空间两点间的距离 二、由空间两点间的距离求空间点的坐标 课时对点练 三、空间两点间的距离公式的应用 随堂演练 内容索引 求空间两点间的距离 一 问题1　如图，已知长方体的长、宽、高分别为a，b，c，怎样求其对角线的长度？ 问题2　类比长方体对角线的求解过程，探求空间两点间的距离.如图，设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)为空间两点，求|M1M2|. 提示　在Rt△M1NM2及Rt△M1PN中， 由勾股定理知|M1M2|2＝|M1P|2＋|PN|2＋|NM2|2. ∵|M1P|＝|x2－x1|，|PN|＝|y2－y1|，|NM2|＝|z2－z1|， 空间两点间的距离公式 (1)空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离 |AB|＝ . (2)原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为|OP|＝ . 注意点： 为方便公式记忆，熟记公式特征：同名坐标差的平方和的算术平方根. 知识梳理 例1　已知△ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2，3,4)，C(3,1,5). (1)求△ABC中最短边的边长； 由空间两点间的距离公式得 9 (2)求AC边上中线的长度. 10 (1)求空间两点间的距离首先明确两点的坐标，然后代入距离公式进行准确地计算. (2)若所给题目未建立坐标系，需结合题中图形的特征，建立适当的坐标系，再利用距离公式进行计算. 反思感悟 11 跟踪训练1　(多选)如果点M在x轴上，且满足|MO|＝2(O是坐标原点)，则点M到点A(1,1,1)的距离是 由题意得M(2,0,0)或M(－2,0,0)， √ √ 12 二 由空间两点间的距离求空间点的坐标 例2　在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)，B(1,0，－3)，在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 14 假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使△MAB为等边三角形. 由题意可知y轴上的所有点都能使|MA|＝|MB|成立， 所以只要再满足|MA|＝|AB|，就可以使△MAB为等边三角形. 15 解决此类问题，往往先设出待求点的坐标，根据题中条件和距离公式建立已知和未知之间的关系式，进而求解. 反思感悟 16 跟踪训练2　已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求|AB|取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的|AB|. 17 由空间两点间的距离公式得 18 三 空间两点间的距离公式的应用 例3　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝2，|AA1|＝3，M，N分别是AB，B1C1的中点，点P是DM上的点，|DP|＝a，当a为何值时，NP的长最小？ 20 以点D为原点，分别以有向直线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)，A(2,0,0)，B(2,2,0)， 由M，N分别是AB，B1C1的中点可得M(2,1,0)，N(1,2,3). 设点P的坐标为(x，y,0)， 则x＝2y(0≤y≤1). 21 22 (1)建立空间直角坐标系之后，常常需要设出点的坐标，应结合点所在的坐标轴或坐标平面使点的坐标更简化，求解更方便. (2)涉及几何体求解最值问题时，要注意坐标变量的范围. 反思感悟 23 跟踪训练3　在xOy平面内的直线2x－y＝0上确定一点M，使它到点P(－3, 4,5)的距离最小，并求出距离的最小值. ∵点M在xOy平面内的直线2x－y＝0上， ∴点M的坐标可设为(a,2a,0)， 24 1.知识清单： (1)空间两点间的距离公式的推导. (2)求空间两点间的距离. (3)空间两点间的距离公式的应用. 2.方法归纳：公式法、数形结合. 3.常见误区：要合理建系，准确计算. 课堂小结 随堂演练 四 1.空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)到点B(2，－1,6)的距离是 1 2 3 4 √ 27 2.已知三角形的三个顶点A(2，－1,4)，B(3,2，－6)，C(5,0,2)，则过点A的中线长为 1 2 3 4 √ ∵BC的中点坐标为(4,1，－2)， 3.已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 √ 由距离公式得， ∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， ∴△ABC为直角三角形. 1 2 3 4 4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为________. 1 2 3 4 由题意得A1(2,0,2)，C(0,2,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)， 则A1C的中点E(1,1,1)，AB的中点F(2,1,0)， 所以A1C的中点E到AB的中点F的距离 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.已知点A(1，－1,2)关于z轴的对称点为B，则|AB|等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 点A(1，－1,2)关于z轴的对称点为B(－1,1,2)， 化简得(x－2)2＝16，解得x＝6或x＝－2， ∴实数x的值是6或－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.在空间直角坐标系O－xyz中，y轴上的点M到点A(1,0,2)与到点B(2,2,1) 的距离相等，则点M的坐标是 A.(0，－1,0) B.(0,1,0) C.(0,0,1) D.(2,0,0) 由题意设点M的坐标是(0，y,0)， ∵点M到点A(1,0,2)与到点B(2,2,1)的距离相等， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∴点M的坐标是(0,1,0). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵点P在x轴上，∴设点P的坐标为(x,0,0)， 由题意知|PP1|＝2|PP2|， 解得x＝±1， ∴所求点P的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0). 6.已知正方体不在同一表面上的两个顶点A(－1，2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积为 A.32 B.64 C.48 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 又因为A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)两点不在同一表面上， 所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长. 所以正方体的体积为64. 由|PA|＝|PB|， 7.若点P(x，y，z)到点A(－1,2,3)，B(0,0,5)两点的距离相等，则x，y，z满足___________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2x－4y＋4z－11＝0 整理得2x－4y＋4z－11＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A(2,1,1)，B(1，1,2)，C(x，0,1)，则x＝_____. 2 ∵∠BAC＝90°， ∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2， ∴(1－x)2＋2＝2＋(2－x)2＋1，解得x＝2. 9.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝2，|DC|＝4，|DD1|＝3，利用空间两点间的距离公式，求AD1，AB1和AC1的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以D为坐标原点，分别以有向直线DA，DC和DD1为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系. 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,3)，B1(2,4,3)，C1(0,4,3)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知在正三棱锥A－BCD中，高为1，底面正三角形的边长为 ，建立适当的空间直角坐标系写出A，B，C，D四点的坐标，并求侧棱AB的长度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设O为A在底面BCD上的射影，则O为正三角形BCD的中心.过点O作与CD平行的直线，交BC于点F，分别以有向直线OB，OF，OA为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系. 延长BO交CD于点E，则点E为CD的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又∵A在z轴上，且|AO|＝1，∴A(0,0,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.在空间直角坐标系中，与点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点有 A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由空间两点间的距离公式可得， 易知A，B，C三点不共线，故可确定一个平面， 在△ABC所在平面内可找到一点到A，B，C三点的距离相等， 而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A，B，C的距离均相等， 故在空间直角坐标系中有无数个点到A，B，C三点的距离相等. 12.点P(x，y，z)的坐标满足x2＋y2＋z2＝1，点A(－2，3， )，则|PA|的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ x2＋y2＋z2＝1在空间中表示以坐标原点O为球心，1为半径的球面， 所以当O，P，A三点共线时，|PA|最小， 13.点P在xOy平面内的直线3x－y＋6＝0上，点P到点M(2a,2a＋5，a＋2)的距离最小，则点P的坐标为 A.(1,3,0) B.(－1,4,1) C.(－1,3,0) D.(2,0，－1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知可设点P(a,3a＋6,0)， 所以当a＝－1时，|PM|取最小值， 所以在xOy平面内的直线3x－y＋6＝0上， 取点P(－1,3,0)时，点P到点M的距离最小. 结合空间直角坐标系中任意两点间的距离公式， 显然，当O，M，A三点共线且M在线段OA上时，|OM|＋|MA|最小， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.在空间直角坐标系中，已知点A(3,1,2)，B(－1，－2,1)及动点M(x，y，－1)，则|AM|＋|BM|的最小值为 拓广探究 √ 设点A(3,1,2)关于平面z＝－1对称的点为A1(3,1，－4)， 则|AM|＋|BM|的最小值为线段A1B的长度， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O－xyz. (1)若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出点P关于y轴的对称点P′的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在线段C1D上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设线段C1D上一点M的坐标为(0，m，m)，0≤m≤1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 提示　在Rt△ABC中，由勾股定理可知，|AC|＝， 在Rt△ACC′中，|AC′|＝＝， 于是长方体的对角线长为d＝. ∴|M1M2|＝ ＝.     ∴△ABC中最短边是BC，其长度为. |AB|＝＝3， |BC|＝＝， |AC|＝＝， 由中点坐标公式得，AC的中点坐标为， ∴AC边上中线的长度为＝. A. B. C.3 D.4 所以|MA|＝＝， 或|MA|＝＝. 因为|MA|＝＝，|AB|＝2， 于是＝2，解得y＝±. 故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0). 此时|AB|＝，且A，B. |AB|＝ ＝＝， 当x＝时，|AB|有最小值， |NP|＝ ＝ 所以当y＝时，|NP|取最小值， 此时a＝＝＝， 所以当a＝时，NP的长最小. ＝ ＝， 则|MP|＝＝＝， ∴当a＝1时，|MP|取最小值3，此时M(1，2,0)， 即当点M坐标为(1,2,0)时，|MP|最小，最小值为3. |AB|＝＝. A.2 B.2 C.9 D. A. B.2 C.11 D.3 ∴过点A的中线长为＝2. |AB|＝＝， |AC|＝＝， |BC|＝＝， |EF|＝＝. 1.在空间直角坐标系O－xyz中，点P(－1，，1)到原点的距离为 A.2 B.3 C. D.2 点P(－1，，1)到原点的距离为＝2. A.2 B.2 C.2 D.3 则|AB|＝＝2. 3.已知空间中两点A(x,1,2)，B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是 A.－6 B.－2或6 C.－4 D.－3或2 由题意知，|AB|＝＝2， ∴＝，解得y＝1. 5.设点P在x轴上，它到P1(0，，3)的距离为到点P2(0,1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为 A.(1,0,0) B.(－1,0,0) C.(1,0,0)或(0，－1,0) D.(1,0,0)或(－1,0,0) ∴ ＝2， 16 |AB|＝＝4. 设正方体的边长为a，则a＝4，即a＝4， 可得＝， 由距离公式得|AB|＝＝， |AC|＝＝， |BC|＝＝. ∴|AD1|＝＝， |AB1|＝＝5， |AC1|＝＝. 由|BC|＝，O为△BCD的中心可知， |OB|＝|BE|＝×|BC|＝1， |OE|＝|OB|＝， 由两点间的距离公式得|AB|＝＝. 综上，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C，D，侧棱AB的长为. ∴B(1,0,0)，E. 又|CE|＝|ED|＝， ∴C，D. |AB|＝，|BC|＝，|AC|＝. 此时|PA|＝|OA|－|OP|＝|OA|－1＝－1＝4－1＝3. 则|PM|＝ ＝＝， 可得＋表示的几何意义是空间内任意一点M(x，y，z)与原点O(0,0,0)及定点A(－3，－2,1)的距离之和， 最小值为|OA|＝＝. 14.对于任意实数x，y，z，＋的最小值为______. A. B. C.5 D. 而|A1B|＝＝5， 所以|AM|＋|BM|的最小值为5. 由题意知点P的坐标为， 点P关于y轴的对称点P′的坐标为. 则有|MP|＝ ＝＝， 当m＝时，|MP|最小， 所以点M的坐标为. $$