2.1.2 空间两点间的距离课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

2.1.2 空间两点间的距离 距离是几何空间基本的度量，给定了空间两点的坐标，就确定了它们的位置，也就确定了它们的距离．怎样根据它们的坐标求它们的距离? 1.数轴上两点间的距离是 ． 2.平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离为 . 两点的坐标之差的绝对值 问题1：如图，若已知一个长方体的长、宽、高分别为a，b，c．如何它的对角线的长度？ 我们先来看看如何求一个长方体的对角线的长度. 点C的坐标为(x1，y2，z1)， 点D的坐标为(x2，y2，z1)． 问题2：对于空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，我们以 AB为对角线在空间直角坐标系O-xyz中作长方体，且长方体的所有棱分别与坐标轴平行，如图．能否确定顶点C，D的坐标？ |AC|=|y2－y1|， |CD|=|x2－x1|， |DB|=|z2－z1|． 因此|，长方体的对角线，即A，B两点间的距离 问题3 在确定了顶点C，D的坐标后，那么长方体的长、宽、高分别为多少？长方体的对角线AB的长度为多少？ 空间两点的距离公式： 对于空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则A，B两点间的 距离为 特别地，原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为 要点归纳 解：|AB|==. 1.空间直角坐标系中，点A(-3，4，0)到点B(2，-1，6)的距离是 A.2 B.2 C.9 D. √ 解：由题意得A1(2，0，2)，C(0，2，0)，A(2，0，0)， B(2，2，0)，则A1C的中点E(1，1，1)，AB的中点F (2，1，0)，所以A1C的中点E到AB的中点F的距离|EF|==. 2.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为　　　　. 例1 已知P(1，0，1)与Q(4，3，－1)． （1）求原点O到点Q的距离|OQ|； （2）求点P，Q之间的距离； （3）在z轴上求一点M，使|MP|=|MQ|． 解：（1）由原点到空间任一点的距离公式得 例1 已知P(1，0，1)与Q(4，3，－1)． （2）求点P，Q之间的距离； （3）在z轴上求一点M，使|MP|=|MQ|． 解：（2）由空间两点间的距离公式得 例1 已知P(1，0，1)与Q(4，3，－1)． （3）在z轴上求一点M，使|MP|=|MQ|． 提示：解决此类问题，往往先设出待求点的坐标，根据题中条件和距离公式建立已知和未知之间的关系式，进而求解. 解：（3）设点M的坐标为( 0，0，z)，则 又 |MP|=|MQ|， 所以z2-2z+2=z2+2z+26，解得z=-6. 因此所求点M的坐标为(0，0，-6). 3.在空间直角坐标系O-xyz中，y轴上的点M到点A(1，0，2)与到点B(2，2，1) 的距离相等，则点M的坐标是 A.(0，-1，0) B.(0，1，0) C.(0，0，1) D.(2，0，0) 解：由题意设点M的坐标是(0，y，0)， ∵点M到点A(1，0，2)与到点B(2，2，1)的距离相等， ∴=， 解得y=1. ∴点M的坐标是(0，1，0). √ 4.已知A(x，2，1－x)，B(1，x，2)，求线段AB长度的最小值． 解：依题意，得 即线段AB长度的最小值为 例2 求证∶以M1(4，3，1)，M2(7，1，2)，M3(5，2，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形． 证明：因为 所以 |M1M3|=|M2M3| 因此∆M1M2M3是等腰三角形 5.已知点A(1，-2，11)，B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则△ABC的形状是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 √ 解：由距离公式得， |AB|==， |AC|==， |BC|==， ∴|AC|2+|BC|2=|AB|2，∴△ABC为直角三角形. 1.知识清单： (1)空间两点间的距离公式的推导. (2)求空间两点间的距离. (3)空间两点间的距离公式的应用. 2.方法归纳：公式法、数形结合. 3.常见误区：要合理建系，准确计算. 本节课你学到了哪些知识与方法？ 注意：在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))). $