1.2.3 简单复合函数的求导 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

1.2.3　简单复合函数 的求导 第1章　 §1.2　导数的运算 学习目标 1.进一步运用导数公式和函数的求导法则求函数的导数. 2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则. 前面我们学习了基本初等函数的导数以及函数的和差积商求导法则，但对于形如y＝ln(2x－1)的函数，我们无法用这些知识进行求导，那么这个函数的结构有怎样的特点呢？如何对此类函数求导呢？本节课我们就来学习一下. 导语 内容索引 一、复合函数的概念 二、复合函数的导数 课时对点练 三、复合函数的导数的应用 随堂演练 复合函数的概念 一 问题1　函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？ 提示　y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数函数复合而成，是复合函数. 复合函数的概念 一般地，设y＝f(u)是关于u的函数，u＝g(x)是关于x的函数，则y＝______ 是关于x的函数，称为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数. 注意点： 内、外层函数通常为基本初等函数. f(g(x)) 知识梳理 7 √ √ √ 8 若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数. 反思感悟 9 √ √ √ 10 二 复合函数的导数 问题2　如何求函数y＝sin 2x的导数？ 提示　y＝sin 2x＝2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知y′x＝2cos2x－2sin2x＝2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y′u＝cos u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u′x＝2，发现y′x＝y′u·u′x. 12 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 注意点： (1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构； (2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则； (3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导. y′u·u′x 知识梳理 13 例2　求下列函数的导数： 所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3. 14 (2)y＝cos x2； 令u＝x2，则y＝cos u， 所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin x2. 设y＝log2u，u＝2x＋1， (3)y＝log2(2x＋1)； 15 (4)y＝e3x＋2. 设y＝eu，u＝3x＋2， 则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2. 16 (1)求复合函数的导数的步骤 反思感悟 17 (2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数； ②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁. 反思感悟 18 跟踪训练2　求下列函数的导数： 设y＝ 则y′x＝ 19 (2)y＝5log2(1－x)； 函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数， 所以y′x＝y′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′ 20 21 三 复合函数的导数的应用 23 将t＝18代入s′(t)， 24 将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况. 反思感悟 25 跟踪训练3　我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算.设f(x)＝ ln(2 023x＋1)，则f′(x)＝__________，其在点(0,0)处的切线方程为____________. y＝2 023x 26 ∵f(x)＝ln(2 023x＋1)， 则f′(0)＝2 023.故曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝2 023x. 27 1.知识清单： (1)复合函数的概念. (2)复合函数的求导法则. (3)复合函数的导数的应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化. 课堂小结 随堂演练 四 1.(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是 A.y＝un，u＝x2－1 B.y＝(u－1)n，u＝x2 C.y＝tn，t＝(x2－1)n D. t＝x2－1，y＝tn 1 2 3 4 √ √ 30 2.设f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)等于 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 4.设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝______. 1 2 3 4 易知y′＝aeax，y′|x＝0＝ae0＝a， 2 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A不是复合函数，B，C，D均是复合函数， C由y＝ln u，u＝3x＋4复合而成； D由y＝u4，u＝2x＋3复合而成. 2.已知函数f(x)＝(2x－1)3，则f′(1)等于 A.8 B.6 C.3 D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ f′(x)＝3(2x－1)2·2＝6(2x－1)2，所以f′(1)＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵y＝xln(2x＋5)， 4.函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则a等于 A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则y′|x＝2＝12a2－8a＋1＝5(a>0)， 解得a＝1(舍负). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.曲线y＝2xex－2在点(2,4)处切线的斜率等于 A.2e B.e C.6 D.2 √ ∵y＝2xex－2， ∴y′＝2ex－2＋2xex－2， ∴k＝y′|x＝2＝2e0＋4e0＝6，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ B项，y＝(2x－1)3，y′＝3(2x－1)2×2＝6(2x－1)2，B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.质点M按规律s(t)＝(2t＋1)2 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2 s时的瞬时速度为_____m/s. 20 ∵s(t)＝(2t＋1)2， ∴s′(t)＝2(2t＋1)×2＝8t＋4， 则质点在t＝2 s时的瞬时速度为s′(2)＝8×2＋4＝20(m/s). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切于点(x0，y0)， 则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)， 又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0， ∴x0＝－1，∴a＝2. 9.求下列函数的导数： (1)y＝ln(ex＋x2)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令u＝ex＋x2，则y＝ln u. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)y＝102x＋3； 令u＝2x＋3，则y＝10u， ∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln 10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)y＝sin4x＋cos4x； ∵y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x ∴y′＝－sin 4x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令u＝1－x2，则y＝ 则y′x＝y′u·u′x＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (5)y＝sin 2xcos 3x； (6)y＝x3ecos x. ∵y＝sin 2xcos 3x， ∴y′＝(sin 2x)′cos 3x＋sin 2x(cos 3x)′ ＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x. y′＝(x3)′ecos x＋x3(ecos x)′＝3x2ecos x＋x3ecos x·(cos x)′ ＝3x2ecos x－x3ecosxsin x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵y＝esin x，∴y′＝esin xcos x， ∴y′|x＝0＝1. ∴曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0. 又直线l与x－y＋1＝0平行， 故直线l可设为x－y＋m＝0(m≠1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0. 11.若直线y＝x＋m与曲线y＝ex－2n相切，则 综合运用 √ 设直线y＝x＋m与曲线y＝ex－2n相切于点(x0， )， 因为y′＝ex－2n，所以 ＝1，x0＝2n，所以切点为(2n,1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 依题意得 y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2. 所以曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x， 即y＝－2x＋2.在平面直角坐标系中作出直线y＝－2x＋2， y＝0与y＝x的图象，如图所示. 直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在某放射性同位素的衰变过 程中，其含量P(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系P(t)＝ ，其中P0 为初始时该放射性同位素的含量.已知当t＝15 时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为－ ，则当该放射性同位素含量为4.5贝克时， 所需的衰变时间为 A.20天 B.30天 C.45天 D.60天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 则P(t)＝18· ，当该放射性同位素含量为4.5贝克，即P(t)＝4.5 时，18· ＝4.5，解得t＝60. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以y′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0). 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)＝eπxsin πx， ∴f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcos πx ＝πeπx(sin πx＋cos πx). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设切点坐标为P(x0，y0)， 由题意可知 解得x0＝0，此时y0＝1. 即切点坐标为P(0,1)，切线方程为y－1＝0. 例1　(多选)下列函数是复合函数的是 A.y＝xln x B.y＝(3x＋6)2 C.y＝e2x＋1 D.y＝sin 跟踪训练1　(多选)下列函数是复合函数的是 A.y＝log2(2x＋1) B.y＝2x2－ C.y＝2ln x D.y＝cos 令u＝1－3x，则y＝＝u－4， (1)y＝； 所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝. 则y′x＝y′u·u′x＝＝. (1)y＝； ＝＝. 则y′x＝(sin u)′′ ＝cos u·2＝2cos. (3)y＝sin. 设y＝sin u，u＝2x＋， 例3　某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18 h时的导数，并解释它的实际意义. s′(18)表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h. 设f(x)＝3sin x，x＝φ(t)＝t＋， 所以s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cos x·＝cos， 得s′(18)＝cos ＝(m/h). 故f′(x)＝＝， A.ln 3 B.－ln 3 C. D.－  f′(x)＝，故f′(2)＝. 3.设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)等于 A.1 B. C.－1 D.－2  f′(x)＝－6x，故f′(0)＝－0＝. 故a×＝－1，则a＝2. 1.(多选)下列函数是复合函数的是 A.y＝－x3－＋1 B.y＝cos C.y＝ D.y＝(2x＋3)4 其中B由y＝cos u，u＝x＋复合而成； 3.函数y＝xln(2x＋5)的导数为 A.2xln(2x＋5) B.ln(2x＋5)＋ C.ln(2x＋5)－ D. ∴y′＝ln(2x＋5)＋. 6.(多选)以下求导运算正确的有 A.若y＝，则y′＝ B.若y＝(2x－1)3，则y′＝3(2x－1)2 C.若y＝x2(ln x＋sin x)，则y′＝x＋2xln x＋2xsin x＋x2cos x D.若y＝，则y′＝－ A项，y＝，则y′＝××3＝，A正确； C项，y＝x2(ln x＋sin x)，y′＝2x(ln x＋sin x)＋x2＝x＋2xln x＋2xsin x＋x2cos x，C正确； D项，y＝，y′＝＝－， D正确. 又曲线的导数为y′＝， ∴ ＝＝1，即x0＋a＝1. ∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′ ＝·(ex＋2x)＝. ＝1－sin22x＝1－(1－cos 4x)＝＋cos 4x. (4)y＝； 10.曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程. 由＝得m＝－1或3. A.m＋n为定值 B.m＋n为定值 C.m＋n为定值 D.m＋n为定值 代入直线方程得1＝2n＋m，即m＋n＝，为定值. 12.曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为 A. B. C. D.1 因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是， 所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为×1×＝.  P′(t)＝－·P0· ·ln 2，P′(15)＝－P0＝－，解得P0＝18， 14.(多选)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是 A. B. C. D. 又因为α∈[0，π)，所以α∈. 因为y＝， 所以y′＝＝＝. 因为ex>0，所以ex＋≥2(当且仅当x＝0时取等号)， ∴f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)， 令g(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)， 则g(x)为奇函数，∴g(0)＝0，即cos φ－sin φ＝0， 15.设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝____. ∴tan φ＝，又0<φ<π，∴φ＝. ∵f′(x)＝－sin(x＋φ)， 16.(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′； ∴f′＝ ＝ 又y′＝，∴ ＝＝0. (2)在曲线y＝上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程. $$