1.1.1 函数的平均变化率 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

1.1.1　函数的平均变化率 第1章　§1.1　导数概念及其意义 学习目标 1.理解平均变化率的含义. 2.会求函数在给定区间上的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题. 你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈.当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢.从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？ 导语 内容索引 一、平均速度 二、函数的平均变化率 课时对点练 三、实际问题中的平均变化率 随堂演练 平均速度 一 8 9 (2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义. 10 求物体运动的平均速度的主要步骤 (1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1). (2)再计算时间的改变量t2－t1. 反思感悟 11 √ 12 二 函数的平均变化率 问题2　如图，从数学的角度刻画气温“陡升”，用怎样的数学模型刻画变量变化的快慢程度？ 14 15 1.平均变化率的概念 一般地，函数y＝f(x)的自变量有可能不是时刻，因变量有可能不表示位 置，因而  就不一定是平均速度，但仍然反映了因变量y随自变 量x变化的快慢和变化方向(增减)，因此我们把 称为函数f(x)在区间[a，b]内的平均变化率. 知识梳理 16 2.平均变化率的几何意义 平均变化率的几何意义是经过曲线y＝f(x)上两点A(a，f(a))，B(b，f(b))的直线AB的 .因此平均变化率是曲线陡峭程度的数量化，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的视觉化. 注意点： 平均变化率的绝对值大小，表示函数值变化的快慢，平均变化率的正负只表示变化的方向. 斜率 知识梳理 17 例2　已知函数y＝f(x)＝2x2＋1. (1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率； ∵f(x0＋Δx)－f(x0) 18 (2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率. 由(1)可知f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为4x0＋2Δx， 当x0＝2，Δx＝0.01时， 4x0＋2Δx＝4×2＋2×0.01＝8.02， 即函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率为8.02. 19 求函数平均变化率的步骤 (1)先计算函数值的改变量y2－y1. (2)再计算自变量的改变量x2－x1. 反思感悟 20 21 三 实际问题中的平均变化率 例3　2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面1 500 m处开始实施动力下降，7 500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约1 500 m/s降为零.14分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为v，相对月球纵向速度的平均变化率为a，则 √ 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等，分清自变量和因变量是解决此类问题的关键. 反思感悟 25 －1.6 ∴从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率为－1.6 ℃/min. 26 1.知识清单： (1)平均速度. (2)函数的平均变化率. (3)平均变化率在实际问题中的应用. 2.方法归纳：公式法、转化法. 3.常见误区：对平均变化率的理解不透彻导致错误. 课堂小结 随堂演练 四 1.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于 A.1 B.－1 C.2 D.－2 1 2 3 4 √ 29 2.函数f(x)＝x2在区间[－1,2]上的平均变化率为 A.－1 B.1 C.2 D.3 1 2 3 4 √ 3.一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是 A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2 1 2 3 4 √ 4.如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间[0,2]上 的平均变化率为______. 1 2 3 4 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.已知函数f(x)＝x2＋2，则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为 A.4 B.3 C.2 D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵f(3)＝11，f(1)＝3， 3.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是 A.甲厂 B.乙厂 C.两厂一样 D.不确定 在t0处，虽然有W甲(t0)＝W乙(t0)， 但W甲(t0－Δt)<W乙(t0－Δt)， 所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小，所以乙厂治污效果较好. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t秒后的距离为s(t)＝ t4－4t3＋16t2(单位：米)，则列车运行10秒的平均速度为 A.10米/秒 B.8米/秒 C.4米/秒 D.0米/秒 列车从开始运行到10秒时，列车距离的增加量为s(10)－s(0)＝100－0＝100(米)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设直线O′A，AB，BC的斜率分别为kO′A，kAB，kBC， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)如图表示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是 A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率为2，则t＝____. 整理得t2－3t－10＝0， 解得t＝5或t＝－2(舍). 5 k1>k2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知函数f(x)＝x2＋3x在[0，m]上的平均变化率是函数g(x)＝2x＋1在[1,4]上的平均变化率的3倍，求实数m的值. 由题意知m＋3＝2×3，解得m＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s到0 m/s花了5 s，乙车从18 m/s到0 m/s花了4 s，试比较两辆车的刹车性能. 平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)甲工厂八年来某种产品产量y与时间x(单位：年)的函数关系如图所示.现有下列四种说法，正确的是 A.前四年该产品产量增长速度越来越快 B.前四年该产品产量增长速度越来越慢 C.第四年后该产品停止生产 D.第四年后该产品产量保持不变 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ 设产量与时间的关系为y＝f(x)，由图象可知 前四年该产品产量增长速度越来越慢，故A 错误，B正确； 由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且f(4)≠0，故C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.函数y＝f(x)的图象如图，则函数f(x)在下列区间上平均变化率最大的是 A.[1，2] B.[2，3] C.[3，4] D.[4，7] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即函数f(x)在区间[4,7]上的平均变化率小于0； 由图象可知函数在区间[3,4]上的平均变化率最大. 13.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 加油时间 加油量(升) 加油时累计里程(千米) 10月1日 12 35 000 10月15日 60 35 600 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 A.6升 B.8升 C.10升 D.12升 √ 由题意知第二次加油量即为这段时间的耗油量V＝60(升)， 这段时间行驶的里程数S＝35 600－35 000＝600(千米)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值： 服药后30～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为_______mg/(mL·min). －0.002 t/min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c(t)/(mg/mL) 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 2 所以m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3(舍去). 16.圆柱形容器，其底面直径为2 m，深度为1 m，盛满液体后以0.01 m3/s的速率放出，求液面高度的平均变化率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设液体放出t s后液面高度为y m， 则π·12·y＝π·12×1－0.01t， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 液面高度在t到t＋d之间的平均变化率为 问题1　在一次跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，根据上述探究， 你能求该运动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2,0≤t≤内的平均速度吗？有什么 发现？ 虽然运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度是0 m/s，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能准确描述运动员的运动状态. 提示　当0≤t≤0.5时，＝＝4.05(m/s)； 当1≤t≤2时，＝＝－8.2(m/s)； 当0≤t≤时，＝＝0(m/s). 例1　某物体运动的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈. (1)分别求该物体在t∈和t∈上的平均速度；  2＝＝＝(m/s). 物体在区间上的平均速度为  1＝＝＝＝(m/s). 物体在区间上的平均速度为 由(1)可知1－2＝>0，所以2<1. 作出函数s(t)＝sin t在上的图象，如图所示， 可以发现，s(t)＝sin t在上随着t的增大，函数值s(t)变化得越来越慢. (3)得平均速度＝. 跟踪训练1　一质点按运动方程s(t)＝作直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为  A.－1 B.－ C.－2 D.2  ＝＝－1＝－. 提示　陡峭程度反应了气温变化的快与慢；AB两点相差31天，气温增加了15.1 ℃，则有≈0.5； 而BC两点相差2天，气温增加了14.8 ℃，则有＝7.4，我们用此值刻画了变量变化的快慢程度.     ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝4x0＋2Δx. (3)最后求平均变化率 . ∴该函数在区间[1,1.5]上的平均变化率为 ＝＝4， 在区间[1,1.1]上的平均变化率为＝＝. 跟踪训练2　已知函数f(x)＝－，则函数f(x)在区间[1,1.5]，[1,1.1]上的平均变化率各是多少？ ∵f(x)＝－， ∴f(1)＝－6，f(1.5)＝－4，f(1.1)＝－，  A.v＝ m/s，a＝ m/s2 B.v＝－ m/s，a＝ m/s2 C.v＝ m/s，a＝－ m/s2 D.v＝－ m/s，a＝－ m/s2 探测器与月球表面的距离逐渐减小，所以v＝＝－(m/s)； 探测器的速度逐渐减小，所以a＝＝－(m/s2). 跟踪训练3　蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T＝＋15，其中 T为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，则从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率为________℃/min.  ＝＝－1.6(℃/min)， 平均变化率为＝－1. 因为f(x)＝x2，所以f(x)在区间[－1,2]上的平均变化率为 ＝＝1.  ＝＝＝2. 由折线图知，f(x)＝ 所以该变量在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝. 1.已知函数y＝2＋，当x由1变到2时，函数值的改变量等于 A. B.－ C.1 D.－1 函数值的改变量为－(2＋1)＝－. ∴该函数在区间[1,3]上的平均变化率为＝＝4. 则列车运行10秒的平均速度为＝10(米/秒). 则1＝＝kO′A，2＝＝kAB，3＝＝kBC， 由题中图象知kBC>kAB>kO′A，即3>2>1. 5.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为 A.1>2>3 B.3>2>1 C.2>1>3 D.2>3>1 在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故A错误，B正确； 在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速 度为，因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故C正确，D错误. 由题意知＝2， 8.已知函数y＝sin x在区间，上的平均变化率分别为k1，k2，那么  k1，k2的大小关系为________. 当x∈时，平均变化率k1＝＝， 当x∈时，平均变化率k2＝＝，故k1>k2. 函数g(x)在[1,4]上的平均变化率为＝＝2. 函数f(x)在[0，m]上的平均变化率为 ＝＝m＋3. 甲车速度的平均变化率为＝－5(m/s2). 乙车速度的平均变化率为＝－4.5(m/s2)， 由题意得函数f(x)在区间[x，x＋d]上的平均变化率为 ， 由图象可得，在区间[4,7]上，<0， 在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]上，>0且d相同， 故这段时间，该车每100千米平均耗油量为×100＝10(升). ＝＝－0.002 mg/(mL·min). 15.将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为_____. 体积的增加量为m3－＝(m3－1)， 所以＝， ∴y＝1－t， ＝－(m/s)， 故液面高度的平均变化率为－ m/s. $$