第11章 一元一次不等式（单元复习 7个知识点+9类题型突破）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（苏科版2024）

第11章 一元一次不等式 01 思维导图 02 知识速记 知识点01 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 特别说明： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点02 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点03 不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 注意： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 知识点04 一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式 （1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 2.一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 知识点05 解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 知识点06 一元一次不等式（组）的整数解 1.解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 2.一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点07 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 03 题型归纳 题型一　不等式的定义 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·期中）在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）式子：①；②；③ ；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（　　）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二　不等式的基本性质 例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）已知，下列结论：；；若，则；若，则，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（23-24八年级下·广东河源·期中）下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型三　不等式的解与解集 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 巩固训练 1．（2023·吉林白城·模拟预测）下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有（　　） ①不是不等式的解； ②不等式的解集是； ③不等式的负数解有无限多个； ④不等式的负数解有无限多个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四　一元一次不等式（组）的识别 例题1：（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 例题2：（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·四川内江·期中）下列各式是一元一次不等式的有（    ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级下·山西晋城·期中）下列不等式中，一元一次不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型五　解一元一次不等式（组） 例题：（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式（组）： (1) (2) 巩固训练 1．（24-25八年级上·重庆·期末）解不等式（组）： (1)解不等式，并把解集表示在数轴上：； (2)解不等式组：． 2．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）解下列不等式（组），并在数轴上表示出来： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·浙江·期中）（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组： 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式（组），并将解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）（）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． （）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （）解不等式组，并求出它的所有整数解． 题型六　求一元一次不等式（组）的整数解 例题1：（24-25八年级上·浙江宁波·期中）不等式的正整数解为 ． 例题2：（2025九年级下·全国·专题练习）不等式组的整数解有 个． 巩固训练 1．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）不等式的最小整数解是 ． 2．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）不等式的正整数解的个数是 ． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）不等式组的整数解为 ． 4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组的非负整数解是 ． 5．（23-24七年级下·山东泰安·阶段练习）一元一次不等式组的最大整数解是 ． 6．（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）不等式组的所有整数解的和为 ． 7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）不等式组的所有整数解的和为 ． 题型七　一元一次不等式（组）求解中错解复原问题 例题1：（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）下面是航航解不等式的过程： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题 (1)航航的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来． 例题2：（2024九年级下·山西·专题练习）下面是小李解不等式组，的部分过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：令 解不等式①，得． 去分母，得． 第一步 移项、合并同类项，得． 第二步 系数化为1，得． 第三步 …… 任务一： 上述解不等式①的过程第______步出现了错误，其原因是______； 任务二：请你写出解此不等式组的正确过程． 巩固训练 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下面是小明解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以5，得……第五步 (1)小明的解答过程是从第 步开始出错的，这一步正确的结果为 ，此步骤的依据是 ． (2)请你写出此题正确的解答过程，并将解表示在数轴上． 2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：第一步 第二步 ．第三步 ．第四步 第五步 任务一：填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据 （填运算律）进行变形的；②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； 任务二：请直接写出该不等式的解集，并把它的解集在数轴上表示出来． 3．（2024·宁夏银川·二模）下面是小林同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得．………………第一步 去括号，得．…………………………第二步 移项，得．………………………… 第三步 合并同类项，得．…………………………………第四步 系数化为1，得．…………………………………第五步 任务一： （1）以上解题过程中，第一步的依据是_____________________________； （2）第_______________步开始出现错误，错误的原因是_______________________； 任务二： （1）解不等式②得___________________； （2）把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，并写出该不等式组的正确解集_____________． 4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下面是小明作业本上解不等式组 的部分过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：由不等式①得， 第1步 ∴第2步 ∴第3步 ∴第4步 ∴第5步 任务一：小明的解答过程中，第______步是依据乘法分配律进行变形的；第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 任务二：不等式②的解集是 ；直接写出这个不等式组的整数解是 ． 任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式组需要注意的事项给其他同学分享一下．（至少说两条） 题型八　列一元一次不等式（组） 例题1：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）小明准备用零花钱购买一个学生眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱个月，不等式可列为 ． 例题2：（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本，笔的单价为2元，笔记本单价为8元，若购买的总金额少于30元，依题意可列不等式： ． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 题型九　用一元一次不等式的解决实际问题 例题1：（23-24八年级上·湖南娄底·期末）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，竞赛共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣1分，不答得0分． (1)若小明只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则小明答对了多少道题？ (2)若规定参赛者每道题都必须作答，且总得分大于或等于95分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？ 例题2：（23-24七年级下·四川内江·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 巩固训练 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）学校决定购买A，B两种型号电脑，若购买A型电脑3台，B型电脑8台共需40000元；若购买A型电脑14台，B型电脑4台共需80000元． (1)求A，B两种型号电脑每台多少元？ (2)若用不超过160000元去购买A，B两种型号电脑共45台，则最多可购买A型电脑多少台？ 2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京某厂可支援外地12台，上海某厂可支援外地6台，现在决定支援汉口10台，重庆8台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4万元/台、8万元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3万元/台、5万元/台． (1)若总运费恰好为90万元，则如何调运？ (2)若总运费不超过91万元，问共有几种调运方法？ (3)在（2）中，求总运费最低的调运方法，最低费用是多少？ 3．（24-25八年级上·广东江门·开学考试）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售，两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 种头盔 种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 (1)该商店第一次批发，两种头盔共120个，用去5600元钱，求，两种头盔各批发了多少个； (2)该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 一元一次不等式 01 思维导图 02 知识速记 知识点01 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 特别说明： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点02 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点03 不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 注意： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 知识点04 一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式 （1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 2.一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 知识点05 解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 知识点06 一元一次不等式（组）的整数解 1.解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 2.一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点07 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 03 题型归纳 题型一　不等式的定义 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据不等式的定义进行判断即可，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键． 【详解】解：是不等式； 是不等式； 是整式； 是等式； 是不等式； 综上：是不等式，共个， 故选：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·期中）在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】由不等号，，，，连接的式子叫不等式．本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：不等式有：①；②；④；⑤； ∴共有4个． 故选：C． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）式子：①；②；③ ；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（　　）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫作不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：． 【详解】解：①；②；⑤；⑥是不等式， ∴共个不等式． 故选：． 题型二　不等式的基本性质 例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴，故不正确； B．∵，∴，故不正确； C．∵，∴，∴，故不正确； D．∵，∴ ，正确； 故选D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据图形及不等式的性质求解即可． 【详解】解：用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是若，则， 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）已知，下列结论：；；若，则；若，则，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，，故结论错误； ∵， ∴当时，；当时，，故结论错误； ∵， ∴，故结论错误； ∵，， ∴， ∴，故结论正确； ∴正确的个数是个， 故选：． 3．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查的是不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐一判断即可解答． 【详解】解：A、在不等式的两边同时加，不等式仍成立，即，不符合题意； B、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，不符合题意； C、在不等式的两边同时除以2，不等式仍成立，即，正确，符合题意； D．当时，，原判断错误，故本选项不符合题意 故选：C． 4．（23-24八年级下·广东河源·期中）下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．利用不等式的基本性质逐项分析得出答案即可． 【详解】解：A．当时，，即a与b不一定相等，故本选项不符合题意； B．若，则，故本选项不符合题意； C．若，当时，，故本选项不符合题意； D．若，则，说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 题型三　不等式的解与解集 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【知识点】不等式的定义、不等式的解集 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 巩固训练 1．（2023·吉林白城·模拟预测）下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 【答案】D 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查不等式的解和解集的定义．根据不等式的解集的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是不等式的解，故本选项不符合题意； B、不等式的解是所有小于0的数，故本选项不符合题意； C、不满足，故本选项不符合题意； D、是不等式的一个解，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有（　　） ①不是不等式的解； ②不等式的解集是； ③不等式的负数解有无限多个； ④不等式的负数解有无限多个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】此题主要考查了不等式的解的定义，以及不等式的解集的定义，关键是熟练掌握两个定义．根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集的定义：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析即可得到答案． 【详解】①不等式的解集为：， ∴不是不等式的解，正确； ②不等式的解集是，正确； ③不等式的负数解有无限多个，正确； ④不等式的负数解有无限多个，正确． 综上分析可知，此题正确的说法有4个． 故选：D． 题型四　一元一次不等式（组）的识别 例题1：（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】D 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键．根据一元一次不等式的概念逐项判断即可． 【详解】解：①，是一元一次不等式；②，有2未知数，不是一元一次不等式；③，是代数式，不是一元一次不等式；④，未知数的次数是2，不是一元一次不等式． 综上可知只有①是一元一次不等式． 故选D． 例题2：（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·四川内江·期中）下列各式是一元一次不等式的有（    ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】此题考查一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，用不等号连接，且不等号两边都是整式的式子是一元一次不等式，根据定义依次判断． 【详解】解：（1），（2），符合定义， （3）不等号左边不是整式，不符合定义， （4）去括号后是，最高次数是2，不符合定义， 故选：B． 2．（23-24七年级下·山西晋城·期中）下列不等式中，一元一次不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要依据的知识是一元一次不等式的定义．熟记不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可． 【详解】①不是一元一次不等式，因为最高次数是2； ②不是一元一次不等式，因为是分式； ③不是一元一次不等式，因为有两个未知数； ④是一元一次不等式； ⑤是一元一次不等式． 综上，只有2个是一元一次不等式． 故选B． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 题型五　解一元一次不等式（组） 例题：（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）． （1）根据解一元一次不等式的步骤，求解即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解得，， 解得，， 不等式组的解集为:． 巩固训练 1．（24-25八年级上·重庆·期末）解不等式（组）： (1)解不等式，并把解集表示在数轴上：； (2)解不等式组：． 【答案】(1)，数轴见解析 (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）求出一元一次不等式的解集，表示在数轴上即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 数轴表示为， （2）， 由①得， 解①得， 由②得， 即， 解②得， ∴不等式组的解集为． 2．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）解下列不等式（组），并在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)无解，数轴表示见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．要注意x是否取得到，若取得到则x在该点是实心的．反之x在该点是空心的． （1）将不等式移项，未知数系数化为1，得到不等式的解集，再在数轴上表示出来即可； （2）先求出每一个不等式的解集，然后利用数轴找出两个解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， 合并，得：， 系数化为1，得：， 将不等式的解集在数轴上表示为： （2）解： 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 将①②的解集在数轴上表示为： 所以，不等式组无解． 3．（24-25八年级上·浙江·期中）（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组： 【答案】（1），数轴表示见解析；（2） 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组， （1）不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解，然后在数轴表示即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1） 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，， 数轴表示如下： （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：； ∴不等式组的解解集为． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式（组），并将解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 (3)1，数轴见解析 (4)，数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式（组）、不等式的解集在数轴上表示， （1）不等式去括号、移项合并同类项进行求解，并在数轴上表示即可； （2）不等式去分母、去括号、移项合并同类项进行求解，并在数轴上表示即可； （3）分别求出每个不等式的解集，再找出公共部分，并在数轴上表示即可； （4）分别求出每个不等式的解集，再找出公共部分，并在数轴上表示即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴ 解得：， 把解集在数轴上表示如图， （2）解： 去分母， 去括号， 移项得， 合并同类项得， 解得： 把解集在数轴上表示如图， （3）解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：1 把解集在数轴上表示如图， （4）解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 把解集在数轴上表示如图， 5．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）（）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． （）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （）解不等式组，并求出它的所有整数解． 【答案】（），数轴表示见解析；（），数轴表示见解析；（），数轴表示见解析；（），所有整数解为，， 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】（）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，进而得到它的所有整数解； 本题考查了解一元一次不等式和不等式组，在数轴上表示不等式（组）的解集，求不等式组的整数解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： （）去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： （）由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： （）， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为，，． 题型六　求一元一次不等式（组）的整数解 例题1：（24-25八年级上·浙江宁波·期中）不等式的正整数解为 ． 【答案】1，2 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，解不等式求出x的范围，再取符合条件的正整数即可． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得：， 系数化为1，得：， 所以，不等式的正整数解为1，2． 例题2：（2025九年级下·全国·专题练习）不等式组的整数解有 个． 【答案】4 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握求一元一次不等式组的整数解的一般步骤是解题的关键：先求出不等式组的解集，再从解集中找出所有整数解． 按照求一元一次不等式组的整数解的一般步骤进行计算即可，即：先求出不等式组的解集，再从解集中找出所有整数解． 【详解】解：， 由解得：， 由解得：， 不等式组的解集为：， 它的整数解有：，，，，共个， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）不等式的最小整数解是 ． 【答案】1 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，先解出一元一次不等式的解，然后根据整数的定义即可得出答案． 【详解】解： ， ∴不等式的最小整数解是1， 故答案为：1． 2．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）不等式的正整数解的个数是 ． 【答案】5 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查的是求解一元一次不等式的正整数解，先解不等式得到不等式的解集，再确定正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 则不等式的正整数解有1、2、3、4、5共5个， 故答案为：5． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）不等式组的整数解为 ． 【答案】0 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查求不等式组的整数解，先求出每一个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，即可得出整数解． 【详解】解：解不等式组，得：， ∴， ∴不等式组的整数解为0； 故答案为：0． 4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组的非负整数解是 ． 【答案】3，2，1，0 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查求不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，进而求出非负整数解即可． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：， ∴不等式组的解集为：； ∴不等式组的非负整数解为：3，2，1，0； 故答案为：3，2，1，0． 5．（23-24七年级下·山东泰安·阶段练习）一元一次不等式组的最大整数解是 ． 【答案】2 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法． 求出不等式组的解集为，即可求出最大整数解． 【详解】解：解不等式，得 解不等式，得， 不等式组的解集为 不等式组的整数解有， 不等式组的最大整数解为2． 故答案为：2． 6．（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）不等式组的所有整数解的和为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查求一元一次不等式组的整数解，准确计算是关键． 分别算出两个不等式的解，即可得出不等式组的解集，然后找到解集中的所有整数解，最后相加即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的整数解为，，…， ∴所有整数解的和为， 故答案为：． 7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）不等式组的所有整数解的和为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解求和即可．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】∵ ∴解不等式①，得， 解不等式,②，得， ∴不等式组的解集为， 故其整数解有，且， 故答案为：． 题型七　一元一次不等式（组）求解中错解复原问题 例题1：（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）下面是航航解不等式的过程： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题 (1)航航的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)一 (2)，数轴表示见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）第一步去分母时等式右边的数字3没有乘以6，据此可得答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，航航的解题过程从第一步开始出现错误的，原因是去分母时不等式左边的数字3没有乘以6， 故答案为：一； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 数轴表示如下所示： 例题2：（2024九年级下·山西·专题练习）下面是小李解不等式组，的部分过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：令 解不等式①，得． 去分母，得． 第一步 移项、合并同类项，得． 第二步 系数化为1，得． 第三步 …… 任务一： 上述解不等式①的过程第______步出现了错误，其原因是______； 任务二：请你写出解此不等式组的正确过程． 【答案】任务一：三；不等式的两边同时除以时不等号的方向未改变；任务二：． 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤成为解题的关键． 任务一：根据解一元一次不等式的步骤以及等式的基本性质即可解答； 任务二：先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可 【详解】任务一： 解：第三步出现了错误，不等式的两边同时除以时不等号的方向未改变； 故答案为：三；不等式的两边同时除以时不等号的方向未改变 任务二： 解：由①得，， ， ， ； 由②得：即； 所以原不等式组的解集为． 巩固训练 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下面是小明解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以5，得……第五步 (1)小明的解答过程是从第 步开始出错的，这一步正确的结果为 ，此步骤的依据是 ． (2)请你写出此题正确的解答过程，并将解表示在数轴上． 【答案】(1)一；；不等式的性质2 (2)过程见解析，数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）根据解一元一次不等式的基本步骤解答即可； （2）求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：去分母时，常数项漏乘最小公倍数，故小明的解答过程是从第一步开始出错的，这一步正确的结果为，此步骤的依据是不等式的性质2， 故答案为：一；；不等式的性质2； （2） ， ， ， ， ， 在数轴上表示为： ． 2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：第一步 第二步 ．第三步 ．第四步 第五步 任务一：填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据 （填运算律）进行变形的；②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； 任务二：请直接写出该不等式的解集，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】任务一：乘法分配律；五，不等式两边都除以，不等号的方向没有改变；任务二：，数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，按照含有分母的一元一次不等式解法步骤进行，求出不等式的解集，即可完成任务一与任务二． 【详解】解：任务一：①小明解不等式过程中，第二步是依据乘法分配律进行变形的； ②第五步开始出错，这一步错误的原因是：不等式两边都除以，不等号的方向没有改变； 任务二：该不等式的解集为：，用数轴表示如下： 3．（2024·宁夏银川·二模）下面是小林同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得．………………第一步 去括号，得．…………………………第二步 移项，得．………………………… 第三步 合并同类项，得．…………………………………第四步 系数化为1，得．…………………………………第五步 任务一： （1）以上解题过程中，第一步的依据是_____________________________； （2）第_______________步开始出现错误，错误的原因是_______________________； 任务二： （1）解不等式②得___________________； （2）把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，并写出该不等式组的正确解集_____________． 【答案】任务一：（1）不等式的性质；（2）三，移项没变号； 任务二：（1）；（2），在数轴上表示见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 任务一：（1）根据不等式的性质作答即可； （2）根据移项可判断第三步错误； 任务二：（1）根据解一元一次不等式的步骤求解即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤求解①，从而得解． 【详解】解：任务一：（1）以上解题过程中，第一步的依据是不等式的性质， 故答案为：不等式的性质； （2）第三步开始出现错误，错误的原因是移项没变号， 故答案为：三，移项没变号； 任务二：解不等式②：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 故答案为：； （2）由①去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，如图： 故不等式组的解集为：， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下面是小明作业本上解不等式组 的部分过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：由不等式①得， 第1步 ∴第2步 ∴第3步 ∴第4步 ∴第5步 任务一：小明的解答过程中，第______步是依据乘法分配律进行变形的；第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 任务二：不等式②的解集是 ；直接写出这个不等式组的整数解是 ． 任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式组需要注意的事项给其他同学分享一下．（至少说两条） 【答案】任务一：2，5，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变；任务二：，1；任务三：不唯一，如不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变；去分母时不要漏乘；移项要变号 【知识点】不等式的性质、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式组，求一元一次不等式组的整数解．熟练掌握不等式的性质，解一元一次不等式组是解题的关键． 根据不等式的性质以及解一元一次不等式（组）的步骤，判断、求解、作答即可． 【详解】任务一：解：小明的解答过程中，第2步是依据乘法分配律进行变形的；第5步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变； 故答案为：2，5，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变； 任务二：解：， ， ， 解得， 解不等式①得，， ∴不等式组的解集为， ∴这个不等式组的整数解是1， 故答案为：，1； 任务三：解：由题意知，①不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变；②去分母时不要漏乘；移项要变号． 题型八　列一元一次不等式（组） 例题1：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）小明准备用零花钱购买一个学生眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱个月，不等式可列为 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查列不等式，每月存25元，则x个月存元，与已存的60元之和大于等于480元即可． 【详解】解：由题意知，已存的60元与x个月存的钱之和大于等于480元， 因此， 故答案为：． 例题2：（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，理解不超过为小于等于，不少于为大于等于是解题关键．设购买篮球个，则购买排球个，再结合题意列出不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买排球个， 由购买资金不超过3600元，可列， 由购买篮球的数量不少于排球数量的一半，可列， 即可列不等式组为． 故选C． 巩固训练 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为千米，则付费，根据不足1千米按1千米计算，可得答案． 【详解】解：设他行驶的路程为千米， ∴， 故选A 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本，笔的单价为2元，笔记本单价为8元，若购买的总金额少于30元，依题意可列不等式： ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题主要考查不等式的应用，理解题意是解题关键．根据费用少于30元钱即可列出不等式即可． 【详解】解：小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本， 根据题意得：， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 题型九　用一元一次不等式的解决实际问题 例题1：（23-24八年级上·湖南娄底·期末）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，竞赛共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣1分，不答得0分． (1)若小明只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则小明答对了多少道题？ (2)若规定参赛者每道题都必须作答，且总得分大于或等于95分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？ 【答案】(1)22道 (2)24道 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和不等式． （1）设小明一共答对了x道题，则答错了道题，根据总得分答对题目数答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设参赛者需答对a道题才能被评为“学党史小达人”，根据题意列出不等式，并求解即可． 【详解】（1）解：设小明一共答对了x道题，则答错了道题， 由题意可得：， 解得， 答：小明一共答对了22道题； （2）解：设参赛者需答对a道题才能被评为“学党史小达人”， 由题意可得：， 解得， 答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“学党史小达人”． 例题2：（23-24七年级下·四川内江·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 【答案】(1)甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元 (2)三种，方案1：A产品12个，B产品48个，方案2：A产品11个，B产品49个，方案3：A产品10个，B产品50个． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，依题意，列式，再解出，即可作答． （2）设生产B产品a件，生产A产品件，依题意，列式，然后解出，再结合a的值为非负整数，即可作答． 【详解】（1）解：设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元， 依题意得：， 解得． 答：甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元． （2）解：设生产B产品a件，生产A产品件． 根据题意，得． 解得：． ∵a的值为非负整数， ∴， 则分别等于12、11、10． ∴共有三种符合生产条件的方案：方案1：A产品12个，B产品48个；方案2：A产品11个，B产品49个；方案3：A产品10个，B产品50个． 巩固训练 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）学校决定购买A，B两种型号电脑，若购买A型电脑3台，B型电脑8台共需40000元；若购买A型电脑14台，B型电脑4台共需80000元． (1)求A，B两种型号电脑每台多少元？ (2)若用不超过160000元去购买A，B两种型号电脑共45台，则最多可购买A型电脑多少台？ 【答案】(1)4800元，3200元 (2)10台 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题关键． （1）设A，B两种型号电脑每台分别为x元，y元，根据题目意思列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设购买A型电脑m台，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：（1）设A，B两种型号电脑每台分别为x元，y元， 由题意可列： 解得： 答：A，B两种型号电脑每台分别为4800元，3200元． （2）（2）设购买A型电脑m台，由题意可列： 解得： 答：最多可购买A型电脑10台． 2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京某厂可支援外地12台，上海某厂可支援外地6台，现在决定支援汉口10台，重庆8台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4万元/台、8万元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3万元/台、5万元/台． (1)若总运费恰好为90万元，则如何调运？ (2)若总运费不超过91万元，问共有几种调运方法？ (3)在（2）中，求总运费最低的调运方法，最低费用是多少？ 【答案】(1)北京运往汉口8台，重庆4台；上海运往汉口2台，重庆4台 (2)3种 (3)总运费最低的调运方法是北京运往汉口10台，重庆2台；上海运往汉口0台，重庆6台，最低运费为86元 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设出未知数，分别表示出北京、上海运往汉口、重庆的计算机台数，列出方程即可解决问题； （2）设出未知数，分别表示出北京、上海运往汉口、重庆的计算机台数，列出不等式即可解决问题； （3）算出（2）中每一种调运方法的费用，然后比较即可求解． 【详解】（1）解：设上海运往汉口x台，则：上海运往重庆台，北京运往汉口台，北京运往重庆台， 由题意得：， 解得：， ∴，，， 答：北京运往汉口8台，重庆4台；上海运往汉口2台，重庆4台； （2）解：设上海运往汉口x台，则：上海运往重庆台，北京运往汉口台，北京运往重庆台， 由题意得：， 解得：， 又x为非负整数， ∴非负整数x的值为0，1，2， ∴共有3种调运方法； （3）解：由（2）知：一共有三种调运方法，分别为： ①北京运往汉口8台，重庆4台；上海运往汉口2台，重庆4台，运费为万元； ②北京运往汉口9台，重庆3台；上海运往汉口1台，重庆5台，运费为万元； ③北京运往汉口10台，重庆2台；上海运往汉口0台，重庆6台，运费为万元； ∵， ∴总运费最低的调运方法是北京运往汉口10台，重庆2台；上海运往汉口0台，重庆6台，最低运费为86元． 3．（24-25八年级上·广东江门·开学考试）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售，两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 种头盔 种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 (1)该商店第一次批发，两种头盔共120个，用去5600元钱，求，两种头盔各批发了多少个； (2)该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案． 【答案】(1)A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个 (2)该商店第二次有3种批发方案 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，根据“该商店第一次批发A,B两种头盔共120个，用去5600元钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据“批发A种头盔不高于76个，第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，求出m的值再判断即可． 【详解】（1）解：设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，依意得： ， 解得：， 答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个； （2）解：设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据题意得， ， 解得：， 又∵m，均为正整数， ∴m可以为72，74，76， ∴该商店第二次有3种批发方案． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$