第十一章 不等式与不等式组（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版2024）

第十一章 不等式与不等式组（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 2．下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个 3．若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集表示在数轴上正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．已知关于的不等式有5个自然数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．小丽同学准备用自己的零花钱购买一台学生平板电脑，她原有750元，计划从本月起每月存入30元，直到她至少存有1080元，设x个月后小丽至少有1080元，则可列计算月数的不等式为（   ） A． B． C． D． 8．若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．运行程序如图所示，从“输入实数x“到“结果是否 “为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A．x B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．不等式的正整数解有 个． 12．根据“的一半和的两倍的差是非正数”所列的不等式为 ． 13．若是关于x的一元一次不等式，则 ． 14．当方程组的解中x为正数、y为负数时，m的取值范围是 ． 15．已知关于的不等式组的解集为，则的值为 ． 16．已知有理数m、n，定义一种新运算“*”，规定：（a、b均不为零）．等式右边的运算是通常的四则运算，例如．已知，则关于x的不等式的最小整数解为 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．（1）解不等式：，并写出该不等式的最大整数解． （2）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 18．小华想利用暑假去太原植物园，了解热带雨林、沙生植物、四季花卉等植物特性．小华在网上了解到该植物园的票价是每人50元，15人及以上按团体票，可享五折优惠．小华现有500元的活动经费，且每人往返车费共3元，则至多可以去多少人？ 19．已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 20．下面是小马虎解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 去分母，得． 第一步 去括号，得． 第二步 移项，得． 第三步 合并同类项，得． 第四步 系数化为1，得． 第五步 任务一：以上求解过程中，去分母的依据是________________________；第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________________； 任务二：该不等式的解集为________； 任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．（1）已知关于x的不等式的正整数解恰好是1，2，3，求a的取值范围． （2）已知不等式组只有一个整数解，试确定a的取值范围． 22．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 23．【探究归纳】 解不等式：（1）；（2）．总结发现不等式（1）的解都是不等式（2）的解，我们称不等式（1）的解集是不等式（2）的解集的“子集”． 【问题解决】 (1)的解集 的解集的“子集”（填是或不是）； (2)若关于的不等式的解集是的解集的“子集”，且是正整数，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 25．阅读下列材料：定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程． (1)方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 不等式与不等式组（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 【答案】B 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查不等式的判断，根据不等式的定义，用不等号连接的式子叫做不等式，进行判断即可． 【详解】解：在①；②；③；④；⑤；⑥中，①②⑤⑥四个式子含有不等号，是不等式，共4个； 故选B 2．下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个 【答案】C 【知识点】不等式的解集 【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况． 【详解】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意； B、∵，故错误，不符合题意； C、正确，符合题意； D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况． 3．若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．直接利用不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：， A、，即，故原式不一定成立，该选项不合题意； B、，故原式不一定成立，该选项不合题意； C、，即，故原式不一定成立，该选项不合题意； D、，即，则一定成立，该选项符合题意． 故选：D． 4．不等式的解集表示在数轴上正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】此题考示不等式的解集在数轴上的表示，注意数轴上空心和实心表示． 求出不等式的解集进行表示即可． 【详解】解：不等式的解集为． 解集在数轴上表示如图所示， 故选：A． 5．若不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先求出，，，再代入关于的不等式，解不等式即可得． 【详解】解：由得：， 关于的不等式的解集为， ，且， ，， 由不等式得：， 即 解得：， 故选：D． 6．已知关于的不等式有5个自然数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，先由得，再结合“有5个自然数解”，则，即，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的不等式有5个自然数解， ∴， 即， 则， 故选：C． 7．小丽同学准备用自己的零花钱购买一台学生平板电脑，她原有750元，计划从本月起每月存入30元，直到她至少存有1080元，设x个月后小丽至少有1080元，则可列计算月数的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，弄清不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 根据已存的钱与每月节省的钱数之和至少为1080元列不等式即可． 【详解】解：根据题意得． 故选B． 8．若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，由方程组可得，进而得到，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， ①＋②，得， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 9．若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”即可确定的范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵解集是， ∴， 解得， 故选D． 10．运行程序如图所示，从“输入实数x“到“结果是否 “为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A．x B． C． D． 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元二次不等式组，根据运行程序，第一次运算结果小于等于18，第二次运算结果大于18列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得： 解不等式①得， 解不等式②得，， 则x的取值范围是． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．不等式的正整数解有 个． 【答案】4 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的整数解；先求出不等式的解集，再求出不等式的正整数解即可． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 则不等式的正整数解为、、、，共个， 故答案为：． 12．根据“的一半和的两倍的差是非正数”所列的不等式为 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了列不等式，根据题意列出不等式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：“的一半和的两倍的差是非正数”所列的不等式为， 故答案为：． 13．若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义可知，，从而可求得m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴． 解得：． 故答案为：． 14．当方程组的解中x为正数、y为负数时，m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，先解关于x、y的二元一次方程组得到x、y的表达式，再由题意列出关于m的不等式组，解不等式组即可求得m的取值范围. 【详解】解：由关于x、y的二元一次方程组得： ， ∵原方程组的解中x为正数，y为负数， ∴ ， 解得：． 故答案为：． 15．已知关于的不等式组的解集为，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】代入消元法、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】考查一元一次不等式组和二元一次方程组的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．分别求出每个不等式的解集，根据该不等式组的解集为可得关于m、n的方程，解得m、n的值，代入即可． 【详解】解：不等式组整理得， 即． 不等式组的解集为， 解得 故答案为∶ 16．已知有理数m、n，定义一种新运算“*”，规定：（a、b均不为零）．等式右边的运算是通常的四则运算，例如．已知，则关于x的不等式的最小整数解为 ． 【答案】3 【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的整数解 【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解，解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键． 已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出与的值，即可由，得出关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：，， ∴得到：， 解得：． ， ， 解得， 关于的不等式的最小整数解为3． 故答案为：3． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．（1）解不等式：，并写出该不等式的最大整数解． （2）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 【答案】（1），最大整数解为7；（2），图见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的解法求解即可． （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：（1）去分母得，， 即， ∴ ∴ ∴最大整数解为7 （2）解：解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为，在数轴上表示为： 18．小华想利用暑假去太原植物园，了解热带雨林、沙生植物、四季花卉等植物特性．小华在网上了解到该植物园的票价是每人50元，15人及以上按团体票，可享五折优惠．小华现有500元的活动经费，且每人往返车费共3元，则至多可以去多少人？ 【答案】至多可以去17人 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设可以去人，根据计费规则以及总费用不高于500元列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【详解】解：设可以去人， 根据题意，得， 解得． 为正整数， 的最大值为17． 答：至多可以去17人． 19．已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 【答案】(1) (2)时，原不等式的解集是；时，原不等式的解集是 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查求不等式的解集，掌握求不等式的解集的步骤和方法，是解题的关键． （1）将代入不等式，进行求解即可； （2）根据未知数的系数不为0时，不等式有解集，再分系数大于0和小于0，2种情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入原不等式，得． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：∵， ∴， ∴． 当，即时，原不等式有解； 当，即时，原不等式的解集是； 当，即时，原不等式的解集是． 20．下面是小马虎解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 去分母，得． 第一步 去括号，得． 第二步 移项，得． 第三步 合并同类项，得． 第四步 系数化为1，得． 第五步 任务一：以上求解过程中，去分母的依据是________________________；第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________________； 任务二：该不等式的解集为________； 任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】解：任务一：不等式的性质2［或不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变］；二；去括号时，不等式右侧括号里的常数项漏乘系数；任务二：；任务三：不等式两边乘（或除以）同一个负数时，记得改变不等号的方向． 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法； 任务一：根据不等式的性质可得答案； 任务二：先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； 任务三：结合解不等式时，经常犯错的地方提建议即可． 【详解】解：任务一：求解过程中，去分母的依据是不等式的性质2［或不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变］；第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时，不等式右侧括号里的常数项漏乘系数 任务二：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． 任务三：不等式两边乘（或除以）同一个负数时，记得改变不等号的方向． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．（1）已知关于x的不等式的正整数解恰好是1，2，3，求a的取值范围． （2）已知不等式组只有一个整数解，试确定a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题属于含有字母的不等式问题，主要考查了一元一次不等式（组）的整数解，首先用含字母的代数式表示不等式（组）的解集，再根据列出关于此字母的不等式组，解之即得． （1）首先求得不等式的解，再根据不等式的正整数解即可得到一个关于a的不等式组，即可求得a的范围； （2）首先求出两个不等式的解集，确定出不等式组的解集，再根据不等式整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：（1）原不等式的解集为． 关于x的不等式的正整数解恰好是1，2，3， 所以， 所以a的取值范围是． （2）解不等式， 得， 所以． 解不等式， 得， 所以． 所以只有当时，原不等式组才有解，且解集为． 因为原不等式组只有一个整数解， 所以由条件，得， 所以a的取值范围是． 22．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 【答案】(1)无缘组合 (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查一元一次不等式组和新定义，关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的理解． （1）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，然后根据“有缘组合”和“无缘组合”的定义判断即可． （2）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，再根据“有缘组合”的定义一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解进而求出a的取值范围． 【详解】（1）解：， 解得： ， 解得：， ∵一元一次方程的解不是一元一次不等式的解， ∴组合是“无缘组合”； （2）解： 解得：， 解不等式， 解得：， ∵关于x的组合是“有缘组合”， ∴在范围内， ∴ 23．【探究归纳】 解不等式：（1）；（2）．总结发现不等式（1）的解都是不等式（2）的解，我们称不等式（1）的解集是不等式（2）的解集的“子集”． 【问题解决】 (1)的解集 的解集的“子集”（填是或不是）； (2)若关于的不等式的解集是的解集的“子集”，且是正整数，求的值． 【答案】(1)是 (2)1或2或3 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，理解题中新定义是解答的关键． （1）先求得两个不等式的解集，再根据题中定义判断即可； （2）先求得两个不等式的解集，再根据题中定义得到关于a的不等式，然后解不等式得到a的取值范围，进而可求解． 【详解】（1）解：解不等式得， 解不等式得， ∴的解集是解集的“子集”， 故答案为：是； （2）解：解不等式，得， 解不等式，得． 关于的不等式的解集是的解集的“子集”， ，解得． 是正整数， 的值为1或2或3． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【答案】(1)型机器人的进价为4500元；型机器人的进价为3000元； (2)商场应购买型机器人3台，型机器人2台，总费用为19500元． 【知识点】不等式组的分配问题、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键． （1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程即可． （2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式即可． 【详解】（1）解：设B型机器人进价为元，购进B型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台， 根据题意，可列方程， 解得， 即B型机器人进价为3000元，型机器人进价为元． （2）解：设再次购买型机器人a台，则购买型机器人台， 根据题意，得， 解得， 由于为整数，所以， 总费用为元， 故商场应购买型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元． 25．阅读下列材料：定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程． (1)方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了新定义“相伴方程”，正确理解新定义“相伴方程”，熟练掌握解一元一次方程和一元一次不等式组的方法是解题关键． （1）分别求解方程和不等式组，然后根据“相伴方程”的定义，即可获得答案； （2）分别求解不等式组和方程，结合“相伴方程”的定义可得关于的不等式组，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：方程是不等式组的相伴方程，理由如下： 解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵， ∴方程是不等式组的相伴方程； （2）解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵关于的方程是不等式组的相伴方程， ∴，解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$