第十一章 不等式与不等式组（单元复习 7个知识点+9类题型突破）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版2024）

第十一章 不等式与不等式组 01 思维导图 02 知识速记 知识点01 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 特别说明： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点02 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点03 不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 注意： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 知识点04 一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式 （1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 2.一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 知识点05 解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 知识点06 一元一次不等式（组）的整数解 1.解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 2.一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点07 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 03 题型归纳 题型一　不等式的定义 例题：（24-25七年级上·全国·假期作业）下列数学表达式中，不等式有（ ）． ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 巩固训练 1．（22-23八年级下·贵州六盘水·期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）在中，不等式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级上·安徽·假期作业）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（23-24八年级下·四川巴中·阶段练习）式子：①；②；③；④；⑤；其中是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二　不等式的基本性质 例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）已知，下列结论：；；若，则；若，则，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（23-24八年级下·广东河源·期中）下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型三　不等式的解与解集 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 巩固训练 1．（2023·吉林白城·模拟预测）下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有（　　） ①不是不等式的解； ②不等式的解集是； ③不等式的负数解有无限多个； ④不等式的负数解有无限多个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四　一元一次不等式（组）的识别 例题1：（22-23八年级下·山东菏泽·阶段练习）下列式子：①，②，③，④，⑤中是一元一次不等式的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例题2：（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级上·湖南娄底·阶段练习）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（22-23六年级下·上海宝山·期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；中是一元一次不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．0个 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型五　解一元一次不等式（组） 例题：（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式（组）： (1) (2) 巩固训练 1．（24-25八年级上·重庆·期末）解不等式（组）： (1)解不等式，并把解集表示在数轴上：； (2)解不等式组：． 2．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）解下列不等式（组），并在数轴上表示出来： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·浙江·期中）（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组： 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式（组），并将解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）（）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． （）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （）解不等式组，并求出它的所有整数解． 题型六　求一元一次不等式（组）的整数解 例题1：（24-25八年级上·浙江宁波·期中）不等式的正整数解为 ． 例题2：（2025九年级下·全国·专题练习）不等式组的整数解有 个． 巩固训练 1．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）不等式的最小整数解是 ． 2．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）不等式的正整数解的个数是 ． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）不等式组的整数解为 ． 4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组的非负整数解是 ． 5．（23-24七年级下·山东泰安·阶段练习）一元一次不等式组的最大整数解是 ． 6．（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）不等式组的所有整数解的和为 ． 7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）不等式组的所有整数解的和为 ． 题型七　一元一次不等式（组）求解中错解复原问题 例题1：（23-24七年级下·吉林松原·期末）以下是某同学解不等式的部分解答过程． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步… (1)以上解题过程中．第二步是依据________（运算律）进行变形的，第________步开始出现错误． (2)请你写出完整的解答过程．并在数轴上表示不等式的解集． 例题2：（2024九年级下·山西·专题练习）下面是小李解不等式组，的部分过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：令 解不等式①，得． 去分母，得． 第一步 移项、合并同类项，得． 第二步 系数化为1，得． 第三步 …… 任务一： 上述解不等式①的过程第______步出现了错误，其原因是______； 任务二：请你写出解此不等式组的正确过程． 巩固训练 1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期末）下面是小淇同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得    第一步 去括号，得．    第二步 移项，得．    第三步 合并同类项，得．    第四步 系数化为1，得    第五步 任务一：①以上解题过程中，第一步的依据是______． ②第______步开始出现错误，这一步正确的应是______． 任务二：请你直接写出正确的结果 2．（23-24七年级下·河南安阳·期末）圆圆解不等式的过程如下： 解：去分母得…第一步， 去括号得…第二步， 移项得…第三步， 合并同类项得…第四步， 系数化为1得…第五步， (1)以上运算步骤中，去分母的依据是__________； (2)以上解题过程中，第二步是依据__________（填写相关的运算律）进行变形的； (3)第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________； (4)写出正确的解题过程 3．（23-24七年级下·山西长治·期末）下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得． 第一步 解得． 第二步 由不等式②，得． 第三步 移项，得． 第四步 合并同类项，得    第五步 解得 第六步 所以，原不等式组的解集是． 第七步 任务一： （1）小明的解答过程中，第三步的依据是_______________________； （2）第______步开始出现错误，错误的原因是_______________________； 任务二： （3）直接写出这个不等式组正确的解集是____________． 4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）以下为小颖在解不等式组时草稿纸上演草的过程： 解不等式②，…………………………第一步 …………………………第二步 …………………………第三步 ………………………第四步 (1)小颖发现不等式②解的不对，请指出是第　　　步开始出现错误； (2)请你完成本题的解答： 解：解不等式①，得　　　， 解不等式②，得　　　， 在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示： 所以原不等式组的解集为　　　． 5．（2024·宁夏银川·二模）在解不等式组时，小颖同学求解不等式①的解答过程如下，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得……第1步 去括号，得……第2步 移项，得……第3步 合并同类项，得……第4步 两边都除以3，得……第5步 任务一：填空： （1）以上运算步骤中，第2步去括号依据的运算律是________； （2）第3步移项的依据是________； （3）第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二：请写出正确的解答过程，并求出不等式组的解集． 题型八　列一元一次不等式（组） 例题1：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）小明准备用零花钱购买一个学生眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱个月，不等式可列为 ． 例题2：（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本，笔的单价为2元，笔记本单价为8元，若购买的总金额少于30元，依题意可列不等式： ． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 题型九　用一元一次不等式的解决实际问题 例题1：（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）2024年诸暨美人城盛大开业，小聪与几个好朋友一起去街区消费购买同山烧饼和西施桂花糕．已知他们总共带有100元现金，已经买了5个同山烧饼和8个西施桂花糕，每个同山烧饼8元，每个西施桂花糕4元． (1)问他们最多还能再购买几个同山烧饼? (2)若再购买x个同山烧饼和y个西施桂花糕，恰好把现金用完，且，则同山烧饼和西施桂花糕总共最多能再购买多少个? 例题2：（23-24七年级下·四川内江·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 巩固训练 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）爱布服装厂给行知中学用同样的布料生产，两种不同款式的服装，每套获服装所用的布料米数相同，每套款服装所用的布料米数相同．若5套款服装和6套款服装需用布料19米，若7套款服装和4套款服装需用布料20米． (1)求每套款服装和每套款服装需要布料各多少米？ (2)行知中学需要，两款服装共400套，所用布料不超过740米，那么爱布服装厂最少需要生产多少套款服装？ 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）某中学因运动会开幕式演出需要，向佳衣服装厂购买A，B两种不同款式的服装，已知该厂用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米． (1)求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂这100套服装能否实现盈利不低于2185元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）为了增强中学生体质，某学校倡导学生在大课间开展打羽毛球活动，需购买甲、乙两种品牌羽毛球．已知购买甲种品牌羽毛球12个和乙种品牌羽毛球6个共需240元；购买甲种品牌羽毛球15个和乙种品牌羽毛10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌羽毛球和一个乙种品牌羽毛球各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌羽毛球共花费1800元，甲种品牌羽毛球数量不低于乙种品牌羽毛球数量的5倍且不超过乙种品牌羽毛球数量的16倍，则共有几种购买方案？ 4．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）在党的二十大报告中，强调了教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校为提升教学质量，计划购买、两种型号的教学设备．已知购买台型设备和台型设备共需万元；购买台型设备和台型设备共需万元． (1)求型、型设备每台各是多少万元； (2)根据该校的实际情况，需购买、两种型号的教学设备共台，要求购买的总费用不超过万元，并且型设备的数量不少于型设备数量的，那么该校共有几种购买方案？ 5．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元． (1)该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件个共需要元，求m、n的值． (2)该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共个，且投入资金不少于元又不多于元，设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，问：有哪几种购买方案？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 不等式与不等式组 01 思维导图 02 知识速记 知识点01 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 特别说明： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点02 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点03 不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 注意： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 知识点04 一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式 （1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 2.一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 知识点05 解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 知识点06 一元一次不等式（组）的整数解 1.解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 2.一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点07 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 03 题型归纳 题型一　不等式的定义 例题：（24-25七年级上·全国·假期作业）下列数学表达式中，不等式有（ ）． ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：不等式有，共4个， 故选：C． 巩固训练 1．（22-23八年级下·贵州六盘水·期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了不等式的定义，有理数的大小比较，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．根据不等式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有：①②③⑥，共有4个， 故选：B． 2．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）在中，不等式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了不等式的定义．熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，是不等式，故符合要求； 是等式，是整式，故不符合要求； 故选：C． 3．（24-25八年级上·安徽·假期作业）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】不等式的定义 【分析】根据不等式的定义进行判断即可．本题考查不等式的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：①③⑤是不等式，②④不是不等式， 则不等式有3个， 故选：B． 4．（23-24八年级下·四川巴中·阶段练习）式子：①；②；③；④；⑤；其中是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查不等式的识别，根据不等式的定义，进行判断即可． 【详解】解：①；②；③；④；⑤中，是不等式的有①，②，④，⑤；共4个； 故选C． 题型二　不等式的基本性质 例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴，故不正确； B．∵，∴，故不正确； C．∵，∴，∴，故不正确； D．∵，∴ ，正确； 故选D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据图形及不等式的性质求解即可． 【详解】解：用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是若，则， 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）已知，下列结论：；；若，则；若，则，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，，故结论错误； ∵， ∴当时，；当时，，故结论错误； ∵， ∴，故结论错误； ∵，， ∴， ∴，故结论正确； ∴正确的个数是个， 故选：． 3．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查的是不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐一判断即可解答． 【详解】解：A、在不等式的两边同时加，不等式仍成立，即，不符合题意； B、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，不符合题意； C、在不等式的两边同时除以2，不等式仍成立，即，正确，符合题意； D．当时，，原判断错误，故本选项不符合题意 故选：C． 4．（23-24八年级下·广东河源·期中）下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．利用不等式的基本性质逐项分析得出答案即可． 【详解】解：A．当时，，即a与b不一定相等，故本选项不符合题意； B．若，则，故本选项不符合题意； C．若，当时，，故本选项不符合题意； D．若，则，说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 题型三　不等式的解与解集 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【知识点】不等式的定义、不等式的解集 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 巩固训练 1．（2023·吉林白城·模拟预测）下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 【答案】D 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查不等式的解和解集的定义．根据不等式的解集的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是不等式的解，故本选项不符合题意； B、不等式的解是所有小于0的数，故本选项不符合题意； C、不满足，故本选项不符合题意； D、是不等式的一个解，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有（　　） ①不是不等式的解； ②不等式的解集是； ③不等式的负数解有无限多个； ④不等式的负数解有无限多个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】此题主要考查了不等式的解的定义，以及不等式的解集的定义，关键是熟练掌握两个定义．根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集的定义：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析即可得到答案． 【详解】①不等式的解集为：， ∴不是不等式的解，正确； ②不等式的解集是，正确； ③不等式的负数解有无限多个，正确； ④不等式的负数解有无限多个，正确． 综上分析可知，此题正确的说法有4个． 故选：D． 题型四　一元一次不等式（组）的识别 例题1：（22-23八年级下·山东菏泽·阶段练习）下列式子：①，②，③，④，⑤中是一元一次不等式的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可． 【详解】解：①，是方程； ②，不含未知数，不是一元一次不等式； ③，是代数式，不是不等式； ④，是一元一次不等式； ⑤，是一元一次不等式． 故选：A． 例题2：（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 巩固训练 1．（23-24八年级上·湖南娄底·阶段练习）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，其中只含有一个未知数，且未知数的最高次为1的不等式叫做一元一次不等式．解答此类题关键是会识别常见的不等号：． 【详解】解：①未知数的次数不是1，不是一元一次不等式，不符合题意； ②含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； ③是一元一次不等式，符合题意； ④不是不等式，不符合题意； ⑤是一元一次不等式，符合题意； ∴一元一次不等式一共有2个， 故选：A． 2．（22-23六年级下·上海宝山·期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；中是一元一次不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．0个 【答案】A 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：（1），是一元一次不等式； （2），含有两个未知数，不是一元一次不等式； （3），是一元一次不等式； （4），未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式； 一元一次不等式共2个， 故选：A． 【点睛】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 题型五　解一元一次不等式（组） 例题：（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）． （1）根据解一元一次不等式的步骤，求解即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解得，， 解得，， 不等式组的解集为:． 巩固训练 1．（24-25八年级上·重庆·期末）解不等式（组）： (1)解不等式，并把解集表示在数轴上：； (2)解不等式组：． 【答案】(1)，数轴见解析 (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）求出一元一次不等式的解集，表示在数轴上即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 数轴表示为， （2）， 由①得， 解①得， 由②得， 即， 解②得， ∴不等式组的解集为． 2．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）解下列不等式（组），并在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)无解，数轴表示见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．要注意x是否取得到，若取得到则x在该点是实心的．反之x在该点是空心的． （1）将不等式移项，未知数系数化为1，得到不等式的解集，再在数轴上表示出来即可； （2）先求出每一个不等式的解集，然后利用数轴找出两个解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， 合并，得：， 系数化为1，得：， 将不等式的解集在数轴上表示为： （2）解： 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 将①②的解集在数轴上表示为： 所以，不等式组无解． 3．（24-25八年级上·浙江·期中）（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组： 【答案】（1），数轴表示见解析；（2） 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组， （1）不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解，然后在数轴表示即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1） 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，， 数轴表示如下： （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：； ∴不等式组的解解集为． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式（组），并将解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 (3)1，数轴见解析 (4)，数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式（组）、不等式的解集在数轴上表示， （1）不等式去括号、移项合并同类项进行求解，并在数轴上表示即可； （2）不等式去分母、去括号、移项合并同类项进行求解，并在数轴上表示即可； （3）分别求出每个不等式的解集，再找出公共部分，并在数轴上表示即可； （4）分别求出每个不等式的解集，再找出公共部分，并在数轴上表示即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴ 解得：， 把解集在数轴上表示如图， （2）解： 去分母， 去括号， 移项得， 合并同类项得， 解得： 把解集在数轴上表示如图， （3）解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：1 把解集在数轴上表示如图， （4）解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 把解集在数轴上表示如图， 5．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）（）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． （）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （）解不等式组，并求出它的所有整数解． 【答案】（），数轴表示见解析；（），数轴表示见解析；（），数轴表示见解析；（），所有整数解为，， 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】（）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，进而得到它的所有整数解； 本题考查了解一元一次不等式和不等式组，在数轴上表示不等式（组）的解集，求不等式组的整数解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： （）去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： （）由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： （）， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为，，． 题型六　求一元一次不等式（组）的整数解 例题1：（24-25八年级上·浙江宁波·期中）不等式的正整数解为 ． 【答案】1，2 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，解不等式求出x的范围，再取符合条件的正整数即可． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得：， 系数化为1，得：， 所以，不等式的正整数解为1，2． 例题2：（2025九年级下·全国·专题练习）不等式组的整数解有 个． 【答案】4 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握求一元一次不等式组的整数解的一般步骤是解题的关键：先求出不等式组的解集，再从解集中找出所有整数解． 按照求一元一次不等式组的整数解的一般步骤进行计算即可，即：先求出不等式组的解集，再从解集中找出所有整数解． 【详解】解：， 由解得：， 由解得：， 不等式组的解集为：， 它的整数解有：，，，，共个， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）不等式的最小整数解是 ． 【答案】1 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，先解出一元一次不等式的解，然后根据整数的定义即可得出答案． 【详解】解： ， ∴不等式的最小整数解是1， 故答案为：1． 2．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）不等式的正整数解的个数是 ． 【答案】5 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查的是求解一元一次不等式的正整数解，先解不等式得到不等式的解集，再确定正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 则不等式的正整数解有1、2、3、4、5共5个， 故答案为：5． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）不等式组的整数解为 ． 【答案】0 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查求不等式组的整数解，先求出每一个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，即可得出整数解． 【详解】解：解不等式组，得：， ∴， ∴不等式组的整数解为0； 故答案为：0． 4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组的非负整数解是 ． 【答案】3，2，1，0 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查求不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，进而求出非负整数解即可． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：， ∴不等式组的解集为：； ∴不等式组的非负整数解为：3，2，1，0； 故答案为：3，2，1，0． 5．（23-24七年级下·山东泰安·阶段练习）一元一次不等式组的最大整数解是 ． 【答案】2 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法． 求出不等式组的解集为，即可求出最大整数解． 【详解】解：解不等式，得 解不等式，得， 不等式组的解集为 不等式组的整数解有， 不等式组的最大整数解为2． 故答案为：2． 6．（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）不等式组的所有整数解的和为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查求一元一次不等式组的整数解，准确计算是关键． 分别算出两个不等式的解，即可得出不等式组的解集，然后找到解集中的所有整数解，最后相加即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的整数解为，，…， ∴所有整数解的和为， 故答案为：． 7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）不等式组的所有整数解的和为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解求和即可．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】∵ ∴解不等式①，得， 解不等式,②，得， ∴不等式组的解集为， 故其整数解有，且， 故答案为：． 题型七　一元一次不等式（组）求解中错解复原问题 例题1：（23-24七年级下·吉林松原·期末）以下是某同学解不等式的部分解答过程． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步… (1)以上解题过程中．第二步是依据________（运算律）进行变形的，第________步开始出现错误． (2)请你写出完整的解答过程．并在数轴上表示不等式的解集． 【答案】(1)乘法分配律；三 (2)见解析；数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式： （1）根据解一元一次不等式的基本步骤进行判断即可； （2）先去分母、再去括号，然后移项合并同类，最后未知数系数化为1． 【详解】（1）解：以上解题过程中．第二步是依据乘法分配律进行变形的，第三步开始出现错误． 故答案为：乘法分配律；三 （2）解：解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得：， 解得：， 在数轴上表示不等式的解集，如下： 例题2：（2024九年级下·山西·专题练习）下面是小李解不等式组，的部分过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：令 解不等式①，得． 去分母，得． 第一步 移项、合并同类项，得． 第二步 系数化为1，得． 第三步 …… 任务一： 上述解不等式①的过程第______步出现了错误，其原因是______； 任务二：请你写出解此不等式组的正确过程． 【答案】任务一：三；不等式的两边同时除以时不等号的方向未改变；任务二：． 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤成为解题的关键． 任务一：根据解一元一次不等式的步骤以及等式的基本性质即可解答； 任务二：先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可 【详解】任务一： 解：第三步出现了错误，不等式的两边同时除以时不等号的方向未改变； 故答案为：三；不等式的两边同时除以时不等号的方向未改变 任务二： 解：由①得，， ， ， ； 由②得：即； 所以原不等式组的解集为． 巩固训练 1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期末）下面是小淇同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得    第一步 去括号，得．    第二步 移项，得．    第三步 合并同类项，得．    第四步 系数化为1，得    第五步 任务一：①以上解题过程中，第一步的依据是______． ②第______步开始出现错误，这一步正确的应是______． 任务二：请你直接写出正确的结果 【答案】任务一：①不等式性质2；②三， 任务二： 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查不等式的性质，解一元一次不等式： 任务一：①根据不等式的性质作答即可；②第三步开始出错，移项时没有变号，写出正确的步骤即可； 任务二：解不等式即可． 【详解】解：任务一：①第一步的依据是不等式性质2； 故答案为：不等式性质2； ②第三步开始出错，移项时没有变号，正确的应是：； 故答案为：三，； 任务二：解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并，得：， 系数化为1，得：． 2．（23-24七年级下·河南安阳·期末）圆圆解不等式的过程如下： 解：去分母得…第一步， 去括号得…第二步， 移项得…第三步， 合并同类项得…第四步， 系数化为1得…第五步， (1)以上运算步骤中，去分母的依据是__________； (2)以上解题过程中，第二步是依据__________（填写相关的运算律）进行变形的； (3)第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________； (4)写出正确的解题过程 【答案】(1)不等式的基本性质2 (2)乘法的分配律 (3)一，去分母时整数没有乘以最小公倍数 (4)见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、不等式的性质、有理数乘法运算律 【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的基本性质，在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：“>”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“<”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．掌握解一元一次不等式的步骤，正确在数轴上表示出不等式的解集是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质，进行计算即可解答； （2）根据乘法的分配律进行计算即可解答； （3）根据不等式的基本性质，进行计算即可解答； （4）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）以上运算步骤中，去分母的依据是不等式的基本性质2； （2）以上解题过程中，第二步是依据乘法的分配律（填写相关的运算律）进行变形的； （3）第一步开始出现错误，这一步错误的原因是去分母时整数没有乘以最小公倍数； （4） 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 3．（23-24七年级下·山西长治·期末）下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得． 第一步 解得． 第二步 由不等式②，得． 第三步 移项，得． 第四步 合并同类项，得    第五步 解得 第六步 所以，原不等式组的解集是． 第七步 任务一： （1）小明的解答过程中，第三步的依据是_______________________； （2）第______步开始出现错误，错误的原因是_______________________； 任务二： （3）直接写出这个不等式组正确的解集是____________． 【答案】（1）不等式的基本性质2；（2）六，化系数为1时没有变号；（3） 【知识点】不等式的性质、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1；依据：不等式的基本性质． 任务一： （1）第三步变形的依据是不等式的基本性质2；； （2）根据等式的性质可判断第五步错误 任务二： 通过解一元一次不等式得到这个不等式组正确的解集． 【详解】解：任务一： （1）第三步变形的依据是不等式的基本性质2； （2）明的解答过程中，第六步开始出现了错误，产生错误的原因是化系数为1时没有变号； 故答案为：（1）不等式的基本性质2；（2）六；化系数为1时没有变号； 任务二： 不等式组正确的解集是． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）以下为小颖在解不等式组时草稿纸上演草的过程： 解不等式②，…………………………第一步 …………………………第二步 …………………………第三步 ………………………第四步 (1)小颖发现不等式②解的不对，请指出是第　　　步开始出现错误； (2)请你完成本题的解答： 解：解不等式①，得　　　， 解不等式②，得　　　， 在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示： 所以原不等式组的解集为　　　． 【答案】(1)第一步 (2)，，见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解不等式组，熟练掌握运算规则是解题的关键． （1）根据运算法则进行解答即可； （2）根据运算法则计算得出解集画图即可． 【详解】（1）解：第一步， 等式两边同时乘以，故为； （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 故该不等式解集为：， 在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示： 故该不等式解集为：． 5．（2024·宁夏银川·二模）在解不等式组时，小颖同学求解不等式①的解答过程如下，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得……第1步 去括号，得……第2步 移项，得……第3步 合并同类项，得……第4步 两边都除以3，得……第5步 任务一：填空： （1）以上运算步骤中，第2步去括号依据的运算律是________； （2）第3步移项的依据是________； （3）第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二：请写出正确的解答过程，并求出不等式组的解集． 【答案】任务一：（1）乘法分配律；（2）不等式性质；（3）1，去分母时没给常数项乘分母的最小公倍数；任务二：，过程见解析 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 任务一：（）根据乘法分配律即可求解； （）根据不等式的性质即可求解； （）根据去分母时，常数项漏乘最小公倍数，即可求解； 任务二：按照解一元一次不等式的步骤解答，再求出不等式②的解集，然后得出不等式组的解集即可． 【详解】解：任务一： （）第2步去括号依据的运算律是乘法分配律； （）第3步移项的依据是不等式的性质； （）第1步开始出现错误，这一步错误的原因是，去分母时，每一项都要乘以最小公倍数，第1步中常数项没有乘以最小公倍数； 任务二：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 题型八　列一元一次不等式（组） 例题1：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）小明准备用零花钱购买一个学生眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱个月，不等式可列为 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查列不等式，每月存25元，则x个月存元，与已存的60元之和大于等于480元即可． 【详解】解：由题意知，已存的60元与x个月存的钱之和大于等于480元， 因此， 故答案为：． 例题2：（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，理解不超过为小于等于，不少于为大于等于是解题关键．设购买篮球个，则购买排球个，再结合题意列出不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买排球个， 由购买资金不超过3600元，可列， 由购买篮球的数量不少于排球数量的一半，可列， 即可列不等式组为． 故选C． 巩固训练 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为千米，则付费，根据不足1千米按1千米计算，可得答案． 【详解】解：设他行驶的路程为千米， ∴， 故选A 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本，笔的单价为2元，笔记本单价为8元，若购买的总金额少于30元，依题意可列不等式： ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题主要考查不等式的应用，理解题意是解题关键．根据费用少于30元钱即可列出不等式即可． 【详解】解：小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本， 根据题意得：， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 题型九　用一元一次不等式的解决实际问题 例题1：（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）2024年诸暨美人城盛大开业，小聪与几个好朋友一起去街区消费购买同山烧饼和西施桂花糕．已知他们总共带有100元现金，已经买了5个同山烧饼和8个西施桂花糕，每个同山烧饼8元，每个西施桂花糕4元． (1)问他们最多还能再购买几个同山烧饼? (2)若再购买x个同山烧饼和y个西施桂花糕，恰好把现金用完，且，则同山烧饼和西施桂花糕总共最多能再购买多少个? 【答案】(1)他们最多还能再购买3个同山烧饼 (2)同山烧饼和西施桂花糕总共最多能再购买6个 【知识点】二元一次方程的解、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程的应用，正确建立不等式和方程是解题关键． （1）设他们还能再购买个同山烧饼，根据总花费不超过总共带的现金建立不等式，解不等式，结合为正整数即可得； （2）先根据题意建立关于的二元一次方程，再找出符合题意的正整数的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设他们还能再购买个同山烧饼， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最大值为3， 答：他们最多还能再购买3个同山烧饼． （2）解：由题意得：， 整理得：， ∵都是正整数，且， ∴或， ∴或， 答：同山烧饼和西施桂花糕总共最多能再购买6个． 例题2：（23-24七年级下·四川内江·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 【答案】(1)甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元 (2)三种，方案1：A产品12个，B产品48个，方案2：A产品11个，B产品49个，方案3：A产品10个，B产品50个． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，依题意，列式，再解出，即可作答． （2）设生产B产品a件，生产A产品件，依题意，列式，然后解出，再结合a的值为非负整数，即可作答． 【详解】（1）解：设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元， 依题意得：， 解得． 答：甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元． （2）解：设生产B产品a件，生产A产品件． 根据题意，得． 解得：． ∵a的值为非负整数， ∴， 则分别等于12、11、10． ∴共有三种符合生产条件的方案：方案1：A产品12个，B产品48个；方案2：A产品11个，B产品49个；方案3：A产品10个，B产品50个． 巩固训练 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）爱布服装厂给行知中学用同样的布料生产，两种不同款式的服装，每套获服装所用的布料米数相同，每套款服装所用的布料米数相同．若5套款服装和6套款服装需用布料19米，若7套款服装和4套款服装需用布料20米． (1)求每套款服装和每套款服装需要布料各多少米？ (2)行知中学需要，两款服装共400套，所用布料不超过740米，那么爱布服装厂最少需要生产多少套款服装？ 【答案】(1)每套款服装需要布料2米，每套款服装需要布料1.5米 (2)120套 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确列方程组和不等式是解题的关键． （1）设每套款服装需要布料米，每套款服装需要布料米，列方程组得，，解方程组即可得到答案； （2）设最少生产套款服装，根据题意得，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设每套款服装需要布料米，每套款服装需要布料米． 根据题意得：，   ∴   答：每套款服装需要布料2米，每套款服装需要布料1.5米． （2）解：设爱布服装厂需要生产套款服装，则需要生产套款服装， 根据题意得：， ∴ 答：爱布服装厂最少需要生产120套款服装． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）某中学因运动会开幕式演出需要，向佳衣服装厂购买A，B两种不同款式的服装，已知该厂用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米． (1)求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂这100套服装能否实现盈利不低于2185元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 【答案】(1)每套A款服装需用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米 (2)该服装厂最少需要生产60套B款装 (3)能；有四种方案：A款服装生产40套，B款服装生产60套；A款服装生产39套，B款服装生产61套；A款服装生产38套，B款服装生产62套；A款服装生产37套，B款服装生产6套 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式以及方程组是解题的关键． （1）每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设服装厂需要生产套款服装，则生产套款服装，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装．根据该厂这100套服装能否实现盈利不低于2185元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米． 根据题意，得， 解得 答：每套A款服装需用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米． （2）解：设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装． 根据题意，得 解得． 答：该服装厂最少需要生产60套B款装． （3）解：依据题意可列不等式：， 解得：， ∵， ∴， ∵m取正整数，∴，61，62，63， 相应方案有四种： A款服装生产40套，B款服装生产60套； A款服装生产39套，B款服装生产61套； A款服装生产38套，B款服装生产62套； A款服装生产37套，B款服装生产63套． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）为了增强中学生体质，某学校倡导学生在大课间开展打羽毛球活动，需购买甲、乙两种品牌羽毛球．已知购买甲种品牌羽毛球12个和乙种品牌羽毛球6个共需240元；购买甲种品牌羽毛球15个和乙种品牌羽毛10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌羽毛球和一个乙种品牌羽毛球各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌羽毛球共花费1800元，甲种品牌羽毛球数量不低于乙种品牌羽毛球数量的5倍且不超过乙种品牌羽毛球数量的16倍，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)每个甲品牌羽毛球15元，每个乙种品牌羽毛球10元 (2)有5种购买方案 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的方案选择问题 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组的应用， （1）设每个甲品牌羽毛球元，每个乙种品牌羽毛球元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解； （2）设购买甲品牌羽毛球x个，购买乙种品牌品牌羽毛球个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设每个甲品牌羽毛球元，每个乙种品牌羽毛球元，由题意得 ， 解得：， 答：每个甲品牌羽毛球15元，每个乙种品牌羽毛球10元； （2）解：设购买甲种品牌羽毛球x个，购买乙种品牌羽毛球个． 由题意得：， 解得：， 且均为正整数， ∴可以为：， ∴购买甲种品牌羽毛球106个，乙种羽毛球21个； 购买甲种品牌羽毛球108个，乙种羽毛球18个； 购买甲种品牌羽毛球110个，乙种羽毛球15个； 购买甲种品牌羽毛球112个，乙种羽毛球12个； 购买甲种品牌羽毛球114个，乙种羽毛球9个， ∴共有5种购买方案． 4．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）在党的二十大报告中，强调了教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校为提升教学质量，计划购买、两种型号的教学设备．已知购买台型设备和台型设备共需万元；购买台型设备和台型设备共需万元． (1)求型、型设备每台各是多少万元； (2)根据该校的实际情况，需购买、两种型号的教学设备共台，要求购买的总费用不超过万元，并且型设备的数量不少于型设备数量的，那么该校共有几种购买方案？ 【答案】(1)型设备每台万元，型设备每台万元 (2)一共有种购买方案 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用； （1）设型设备万元台，型设备万元台，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设型设备购买台，则购买型设备台，根据题意列出不等式组，求得整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设型设备万元台，型设备万元台， 依题意得： 解得 答：型设备每台万元，型设备每台万元． （2）设型设备购买台，则购买型设备台， 依题意得： 解得：， 又因为为正整数，所以的取值为，， 答：一共有种购买方案． 5．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元． (1)该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件个共需要元，求m、n的值． (2)该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共个，且投入资金不少于元又不多于元，设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，问：有哪几种购买方案？ 【答案】(1)， (2)共有3种购买方案：方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个；方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个；方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的方案选择问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，则购买“妮妮“造型钥匙扣挂件个，根据题意列出一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得： ， ∴，； （2）设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，则设购买“妮妮“造型钥匙扣挂件个， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以为，，， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$