第4章 统计 章末复习课-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

一、变量的相关性 1．变量的相关关系与相关系数是学习一元线性回归模型的前提和基础，前者可借助散点图从直观上分析变量间的相关性，后者从数量上准确刻画了两个变量的相关程度． 2．在学习该部分知识时，体会直观想象和数学运算的素养． 例1　(1)某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩对应如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理成绩y 72 77 80 84 88 90 93 95 绘出散点图如下． 根据以上信息，判断下列结论： ①根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系； ③甲同学数学考了80分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高． 其中正确的个数为(　　) A．0 B．3 C．2 D．1 答案　D 解析　对于①，根据此散点图知，各点都分布在一条直线附近，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，故①正确； 对于②，根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，不是一次函数关系，故②错误； 对于③，甲同学数学考了80分，他的物理成绩可能比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高，故③错误． 综上所述，正确的结论是①，只有1个． (2)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r1表示变量Y与X之间的相关系数，r2表示变量V与U之间的相关系数，则r1与r2的大小关系是________． 答案　r2＜r1 解析　由变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)． 可得变量Y与X正相关，因此r1＞0. 而由变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)， 可知变量U与V负相关，因此r2＜0. 因此r1与r2的大小关系是r2＜r1. 反思感悟　判断变量相关性的两种方法 (1)散点图法：直观形象． (2)公式法：可用公式精确计算，需注意特殊情形的相关系数． 跟踪训练1　(1)(多选)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，下列选项中，正确的是(　　) A．y与x负相关且＝2.347x－6.423 B．y与x负相关且＝－3.476x＋5.648 C．y与x正相关且＝5.437x＋8.493 D．y与x正相关且＝－4.326x－4.578 答案　BC 解析　若y与x负相关，则＝x＋中<0，故A不正确，B正确；若y与x正相关，则＝x＋中>0，故C正确，D不正确． (2)相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程为＝1x＋1，相关系数为r1；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到回归直线方程为＝2x＋2，相关系数为r2.则(　　) A．0<r1<r2<1 B．0<r2<r1<1 C．－1<r1<r2<0 D．－1<r2<r1<0 答案　D 解析　由散点图得两个变量呈负相关关系，所以r1<0，r2<0，因为剔除点(10,21)后，剩下点的数据的线性相关性更强，|r|更接近1，所以－1<r2<r1<0. 二、回归分析 1．主要考查两个变量线性相关的判定，以及利用最小二乘法求回归直线方程． 2．掌握求回归直线方程的方法和步骤，提升数学运算、数据分析素养． 例2　如图所示的是某高校2016至2022年高考报名学生人数(单位：千人)的折线图． (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明(精确到0.01)； (2)建立y关于t的回归直线方程，并预测2023年该高校高考报名人数． 参考数据：＝54，(ti－)(yi－)＝21，≈3.74，(yi－)2＝18. 参考公式：相关系数r＝，回归直线方程＝＋t中的系数分别为＝，＝－. 解　(1)由图中数据可得，＝4，(ti－)2＝28，又(ti－)(yi－)＝21， ∴r＝＝≈0.94. 故y与t之间存在较强的正相关关系． (2)由题意得，＝54， ＝＝＝， ＝－＝54－×4＝51， 所以y关于t的回归直线方程为＝t＋51. 当t＝8时，＝×8＋51＝57， 预测2023年该高校高考报名人数约为57 000人． 反思感悟　解决回归分析问题的一般步骤 (1)画散点图．根据已知数据画出散点图． (2)判断变量的相关性并求回归直线方程．通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出回归直线方程． (3)实际应用．依据求得的回归直线方程解决实际问题． 跟踪训练2　为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某知名电商平台决定为脱贫乡村的特色水果开设直播带货专场．该特色水果的热卖黄金时段为7月10日至9月10日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的7月10日至7月14日时段中的相关数据，这5天中的第x天到该电商平台专营店购物的人数y(单位：万人)的数据如下表： 日期 7月10日 7月11日 7月12日 7月13日 7月14日 第x天 1 2 3 4 5 人数y (单位：万人) 75 84 93 98 100 (1)依据表中的统计数据，请判断该电商平台直播的第x天与到该电商平台专营店购物人数y(单位：万人)是否具有较高的线性相关程度？(参考：若0.3<|r|<0.75，则线性相关程度一般，若|r|>0.75，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01) (2)求购物人数y与直播的第x天的回归直线方程；用样本估计总体，请预测从7月10日起的第38天到该专营店购物的人数(单位：万人)． 参考数据：(yi－)2＝434，(xi－)(yi－)＝64，≈65.879. 附：相关系数r＝，回归直线方程的斜率＝， 截距＝－. 解　(1)由表中数据可得＝3，＝90， 所以(xi－)2＝10. 又(yi－)2＝434，(xi－)(yi－)＝64，所以r＝＝≈0.97>0.75， 所以该电商平台直播的第x天与购物人数y具有较高的线性相关程度． (2)由(1)知可用线性回归模型拟合人数y与第x天之间的关系． 由表中数据可得＝ ＝＝6.4， 则＝－＝90－6.4×3＝70.8， 所以＝6.4x＋70.8， 令x＝38，可得＝6.4×38＋70.8＝314(万人)． 三、独立性检验 1．主要考查根据样本制作2×2列联表，由2×2列联表计算χ2，查表分析并判断相关性结论的可信程度． 2．通过计算χ2的值，进而分析相关性结论的可信程度，提升数学运算、数据分析素养． 例3　海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图． (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记事件A表示“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计事件A发生的概率； (2)填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有不少于99%的把握认为箱产量与养殖方法有关． 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 合计 旧养殖法 新养殖法 合计 附： P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 χ2＝. 解　(1)记事件B表示“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，事件C表示“新养殖法的箱产量不低于50 kg”， 旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P(B)的估计值为0.62， 新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P(C)的估计值为0.66， 则事件A的概率估计值为 P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)＝0.62×0.66＝0.409 2， 所以事件A发生的概率为0.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得到如下2×2列联表： 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 合计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 合计 96 104 200 提出统计假设H0：箱产量与养殖方法无关，由已知数据得χ2＝ ≈15.705>6.635， 查临界值表可知，有不少于99%的把握认为箱产量与养殖方法有关． 反思感悟　独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式χ2＝计算χ2的值； (3)查表比较χ2与临界值的大小关系，作出统计判断． 跟踪训练3　甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 级别 机床　　 一级品 二级品 合计 甲 150 50 200 乙 120 80 200 合计 270 130 400 (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ (2)依据独立性检验，能否有不少于99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附：χ2＝， P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 解　(1)根据2×2列联表知， 甲机床生产的产品中一级品的频率为＝75%， 乙机床生产的产品中一级品的频率为＝60%. (2)提出统计假设H0：甲机床的产品质量与乙机床的产品质量没有差异，由2×2列联表， 得χ2＝≈10.256>6.635. 查临界值表可知，有不少于99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异． 学科网（北京）股份有限公司 $$